Численные методы решения обратных задач для некоторых моделей популяции

Содержание
1 Введение 4
2 Глава 1. Обратные задачи определения одного из коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. 12
2.1 Модель популяции с постоянной скоростью роста объектов. 12
2.2 Задача определения скорости смертности объектов ц(х) и
итерационный метод ее решения........................... 13
2.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента ц(х).................................................. 21
2.4 Численные результаты решения задачи нахождения коэффициента д(я)................................................ 25
2.5 Задача определения плотности начального распределения
объектов (р(х) и итерационный метод ее решения 29
2.6 Метод регуляризации Тихонова для нахождения плотности (р(х).................................................... 32
2.7 Численные результаты решения задачи нахождения начальной плотности (р(х)...................................... 33
3 Глава 2. Обратная задача одновременного определения двух неизвестных коэффициентов в модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. 37
3.1 Задача одновременного определения скорости смертности
объектов //(я) и плотности их начального распределения 4>{х)................................................... 37
3.2 Итерационные методы для определения коэффициента /х(х). 38
3.3 Итерационные методы для определения плотности <р(х). 43
3.4 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента ц{х) и плотности (р(х)................................ 46
2
3.5 Численные результаты решения задачи одновременного
нахождения коэффициента /х(х) и плотности <р(х)...... 48
4 Глава 3. Обратная задача определения скорости роста объектов в модели популяции с переменной скоростью роста объектов. 53
4.1 Модель популяции с переменной скоростью роста объектов. 53
4.2 Задача определения скорости роста объектов д(х) и итерационный метод ее решения................................ 55
4.3 Метод регуляризации Тихонова для нахождения коэффициента д(х)............................................... 68
5 Заключение 71
6 Литература 72
3
1 Введение
В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей., являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.
Теория обратных задач - одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств физических объектов и процессов, вызывающих затруднение для непосредственного наблюдения. Одна из основных сложностей, возникающая при решении обратных задач, состоит в том. что по большей части такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может’ не существовать, быть не единственным и быть неустойчивым по отношению к изменениям исходных данных. Это создает существенные трудности при решении обратных задач поскольку дополнительная информация известна не точно, а лишь приближенно. Поэтому построение устойчивых численных методов решения обратных задач имеет' большое значение. Развитие теории и методов решения некорректных задач началось с фундаментальной работы А.Н.Тихонова [24]. в которой был предложен принцип устойчивого решения обратных задач. В дальнейшем теория обрат-
4
ных задач и методы их решения были развиты в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иваиова и целого ряда других авторов [2]. [3], [б],
Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются популяционные модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных. Модели популяции биологических объектов описывают поведение совокупности объектов, которая задается функцией плотности объектов. Плотность объектов популяции характеризуется параметром, которым объекты отличаются друг от друга, это может быть размер или возраст объекта, и временем. Итак, функция плотности объектов популяции - это плотность объектов определенного размера (возраста.) в момент времени. Также моделями популяции описываются биологические процессы, которым подвержены объекты популяции, например, смертность объектов, их рождаемость, рост объектов во времени и многие другие. Количество коэффициентов описывающих поведение объектов модели может варьироваться от двух-трех до десятков. В настоящее время в этой области поставлено и исследовано большое количество моделей популяций биологических объектов.
Рассмотрим некоторые модели популяций. В работе [50] изучена одна из моделей популяций, в которой учитываются только две характеристики объектов — смертность и рождаемость.
где п(а. £) — плотность объектов возраста а в момент времени /л(а) — коэффициент скорости смертности объектов, (р(а) — начальное распределение плотности объектов и (/(а) — относительный коэффициент ско-
[8], [12], [13], [15], [19], [20], [23], [25], [27], [28], [29].
п(а, і)а + п(а. = -д(а)п(а, і), ао < а < 0 < £,
До
п(а, 0) = по(а), ао < а < а\,
5
рости рождения объектов. Следует заметить, что переменную а можно трактовать и как возраст объектов популяции, и как размер объектов популяции, тогда при одинаковой математической записи можно получить две разные по смыслу описываемых физических процессов модели.
В работе [43] в вышеописанную модель добавляется характеристика ^(х). описывающая скорость роста объектов популяции.
и(х, £)* + {д{х)и(х, і))х = ~іі(х)и(х,£), 0 < х < 1, £ > 0.
і
д(0)и(0,і) = I (?(б)гг(5,£)Й5, Ь > 0, о и(х,0) = (р(х), 0 <х <1.
В данном случае переменная х описывает размер объекта популяции.
В ряде математических моделей популяций учитывается вероятностный характер популяционных процессов, например, таких как вероятность соединения двух объектов популяции в один или вероятность разделения одного объекта на два меньших по размеру [32].[36]. Некоторые другие модели популяций биологических объектов можно найти в [33]. [34].. [35].. [40], [41]; [42], [44].
Для моделей популяции биологических объектов ставятся обратные задачи, состоящие в определении неизвестных коэффициентов модели но дополнительной информации о решении краевой задачи. Не смотря на то. что широко применяются различные математические подходы и методы к решению популяционных задач, обратные задачи определения неизвестных коэффициентов для этих моделей исследованы в меньшей степени. Поэтому постановка и исследование таких обратных задач, а так же построение численных методов решения обратных задач для моделей популяций видятся актуальными для развития математических методов анализа биологических процессов.
В работе [32] и некоторых других ставятся обратные задачи определения неизвестных коэффициентов моделей популяции. Так в [32] обос-
6