Содержание
Введение 4
Глава 1
РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРИ ПОНИЖЕННОЙ ГРАВИТАЦИИ 14
1.1 Математическая формулировка задачи ..................... 14
1.2 Разностная краевая задача............................... 20
1.3 Общий алгоритм решения задачи........................... 23
1.4 Численные расчеты ...................................... 25
Глава 2
МОДИФИКАЦИЯ ДВУХПОЛЕВОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ 32
2.1 Математическая формулировка задачи ..................... 32
2.2 Одномерная модельная задача............................. 33
2.3 Уравнения Стокса........................................ 38
2.3.1 Разностная начально -краевая задача............... 38
2.3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений . 39
2.3.3 Устойчивость разностной схемы .................... 45
2.3.4 Примеры тестовых расчетов ........................ 48
2.4 Уравнения Навье - Стокса................................ 48
2.4.1 Разностная начально- краевая задача............... 49
2.4.2 Алгоритм решения и устойчивость................... 52
2.4.3 Результаты расчетов............................... 55
2
2.5 Методы обращения матриц С/............................... 58
2.5.1 Метод 1............................................ 58
2.5.2 Метод 2............................................ 60
Глава 3
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СХЕМ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ 62
3.1 Разностная начально-краевая задача....................... 63
3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений ........... 64
3.2.1 Решение разностного уравнения для функции тока . 66
3.3 Устойчивость разностной схемы ........................... 72
3.4 Результаты расчетов..................................... 77
Заключение 80
Л итература 81
3
Введение
Известно, что в неравномерно нагретой жидкости возникает движение. Если жидкость не имеет свободных (жидкость — газ) или внутренних (жидкость — жидкость) границ раздела, основная причина явления состоит в том, что более холодная жидкость, которая обычно тяжелее, тонет в поле силы тяжести. Движение, вызванное этой причиной, называется тепловой гравитационной конвекцией. Обычно для его описания используется система уравнений Обсрбека - Буссинеска [23, 28), которая выводится из общих уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости в предположении, что плотность жидкости не зависит от давления, но может зависеть от температуры. Предполагается также, что вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения настолько малы, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Система уравнений конвекции мало отличается от системы уравнений Навье - Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Численные схемы для изучения конвективных течений сохраняют все особенности схем для уравнений однородной несжимаемой жидкости и содержат некоторые дополнительные особенности.
Уравнения Навье - Стокса, составляющие основу уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в их численной реализации:
• одной из особенностей является пространственно-эллиптический ха-
4
рактср решений. Поэтому для решения используются типичные для эллиптических уравнений методы, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области;
• система уравнений Навье - Стокса не является системой типа Коши -Ковалевской, так как нет эволюционного уравнения для давления;
• эти уравнения нелинейны.
Методы численного решения уравнений Навье - Стокса можно условно разделить на две основные группы. Первая связана с введением функции тока ф и вихря скорости ы и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно (ф, со) (для пространственных течений вводят вектор вихря и векторный потенциал скорости). Достоинства такого подхода в том. что нет необходимости заботиться о соленой дальности вектора скорости (условие выполняется автоматически). Однако возникают трудности, связанные с заданием граничного условия для вихря на границе с прилипанием, которое отсутствует в физической постановке задачи. Условие первого порядка точности, впервые предложенное Томом (50), до сих пор с успехом используется многими исследователями.
Другую группу составляют методы решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных скорость — давление |7, 17, 26, 58). Основное затруднение при таком подходе заключается в определении граничного условия для давления |5, 6). Исторически сложилось так, что большая часть численных методов разработана применительно к системе уравнений, записанных в переменных функция тока — вихрь (3, 8, 9,11, 25, 29, 37,42,48, 49).
В настоящее время существует очень много разнообразных численных методов решения двумерных уравнений Навье - Стокса в переменных
5
(ф) и>), отличающихся друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для иг и ф |8, 9, 11, 37, 49]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухполевым методом. Типичным здесь является прием, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. По терминологии работы [29] такие схемы будем называть линейными. Полученное уравнение относительно значений и на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Опыт расчётов показывает, что при использовании подобных алгоритмов, как правило, возникают довольно жёсткие ограничения на шаг но времени т.
Давно было замечено, что существенное влияние на устойчивость вычислительного процесса метода оказывает способ вычисления вихря на твердой границе. Это влияние настолько значительно, что может свести на нет преимущества неявных схем и при отсутствии нелинейных слагаемых (уравнения движения при отсутствии конвективных слагаемых ещё называют системой уравнений Стокса).
Отметим ряд работ, в которых предпринимались попытки снять ограничения на временной шаг.
Для улучшения сходимости двухполевого метода применялась релаксация граничных условий [38, 49]. Использование релаксации при вычислении вихря на границе весьма эффективно, оно позволяет вести вычисления с
6
- Київ+380960830922