Оглавление
Введение ..................................................... 3
Предварительные сведения ..................................... 16
Глава 1. Восстановление лапласиана функции в метрике L2(3d) по ее преобразованию Фурье, известном точно или
приближенно в метрике L2 ..................................... 25
Глава 2. Восстановление лапласиана, функции в метрике L2(Е'1) по ее преобразованию Фурье, известном точно или
приближенно в метрике Loo .................................... 47
Глава 3. Восстановление лапласиана функции в метрике L00(K'i) по ее преобразованию Фурье, известному приближенно
в метрике Lqo ................................................ 60
Литература ................................................... 69
2
Введение
1. Работа посвящена вопросам оптимального восстановления дробных степеней оператора Лапласа функций на по информации о преобразовании Фурье самой функции, известном томно или приближенно (в той или иной метрике) на некотором подмножестве К**, а также тесно связанным с этим вопросам существования точных неравенств для дробных степеней оператора Лапласа, являющихся аналогами неравенств Колмогорове кого типа для производных.
Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда требуется восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой информации (которая обычно не точна и не полна) о других его характеристиках. Например, необходимо восстановить функцию в точке, или интеграл от нее, или саму функцию целиком (в той или иной метрике) по информации о ее значениях в других точках, о ее преобразовании Фурье, коэффициентах Тейлора и т. п. Существует множество подходов к решению подобных задач. Здесь мы следуем подходу, который предполагает наличие априорной информации об объекте, характеристики которого требуется восстановить. Это позволяет поставить задачу о нахождении паилучшего метода восстановления данной характеристики среди вообще всех возможных методов восстановления. Такой взгляд на задачи восстановления идеологически восходит к работам А. Н. Колмогорова 11) 30-годов прошлою века о нахождении наилучших средств приближения для классов функций. Математическая теория, где изучаются задачи восстановления на основе указанного подхода, активно развивается в последние десятилетия.
Предшественником тематики, связанной с оптимальным восстановлением функционалов, можно считать задачу Колмогорова-Никольского о наилучших квадратурах (см. [2)). Ее простейшая постановка такова. Пусть IV — некоторое подмножество (класс)
з
непрерывных функций па отрезке [а, Ь] и пусть фиксированы точки а = я?! < ... < х* < Ь. Для каждой функции /(•) € И7 мы
женную (формулу 51Г-! рДе коэффициенты рх> 1 < г < п,
следует выбрать так, чтобы эта формула осуществляла иаилучшее приближение интеграла сразу доя всех функций из IV. Точная постановка задачи состоит в том, чтобы найти величину
где нижняя грань берется по всем наборам (рь...,рп)> и тот набор, на котором эта нижняя грань достигается. Этот набор и будет задавать искомую квадратурную формулу.
На данную задачу можно посмотреть несколько иначе. Функции из IV известны неточно, а именно, о каждой функции /(•) € И7 известен вектор {/{х\/(••£„)) - набор ее значений в точках XI,...,Хц. Мы берем произвольную линейную функцию I: 1£п —У
Ку) = "1ргУх {у = (Уь •■•,&«)), И ее значение на векторе (/(*1),... ,/(*«)), т. е. величину £Г=1 Р.Д-Т«), принимаем за оценку интеграла х)<1х сразу для всех функций /(•) € И7. Погрешность такой оценки определяется величиной
Нас. естественно, интересует та линейная функция, на которой эта погрешность минимальна. Такую функцию можно назвать оптимальным методом восстановлением интеграла на данном классе функций.
Отсюда один шаг до общей постановки. Пусть X — линейное пространство, \У — непустое подмножество (класс) элементов в X и /х, і = 0,1,..., п, — линейные функционалы на X. Элементы из И7 известны неточно, а именно, о каждом х 6 IV известны числа /,(х), і = 1,...,п (значения линейных функционалов 11} г = 1,...,п, на элементе х). По этой информации мы хотим восстановить значения линейного функционала 10 на классе IV, и по возможности наилучшим образом. Под этим понимается следующее. Любая функция т: Кп -> К объявляется методом восстановления (значений /0 па
хотим вычислить интеграл ^ /(.т) (1х, используя для этого прибли-
іпГ аир
РЬ. .Рл /()<ЕЦ/
4
W no дайной информации) и погрешность такого метода определяется величиной
= sup \10{х) -m(li(x)t...,ln{x))\.
x&V
Это “наихудшее”, что можно получить, используя данный способ восстановления.
Нас интересует величина
E(lo,W,lu...tln)= inf e(lo,W,l\y... Jn,m)t
т
которая называется погрешностью оптимального восстановления и те методы, па которых эта нижняя грань достигается. Такие методы называем оптимальными методами восстановления.
Задача Колмогорова-Никольского является частным случаем общей постановки Действительно, в качестве X можно взять пространство непрерывных функций на. [a,b\, 1о — линейный функционал на Xу сопоставляющий функции ее интеграл по отрезку |а, 6], /ч — линейный функционал на X, сопоставляющий функции ее значение в точке я„ 1 < г < п, а в качестве методов восстановления рассматриваются только линейные методы.
Приведенная общая постановка задачи оптимального восстановления функционала принадлежит С. А. Смоляку |3|. Он доказал в этой общей ситуации, что если множество W центрально симметрично (W = ~W), то среди оптимальных методов есть линейный. В дальнейшем тематика, связанная с оптимальным восстановлением, развивалась и обобщалась в разных направлениях. Большое внимание удалялось задачам оптимального восстановления, в которых информация об элементах W задана неточно (например, в общей постановке числа г = 1 известны приближен-
но) и, вообще говоря, бесконечномерна (например, информация об х € W задается не конечным набором чисел, а элементом бесконечномерного пространства). Для таких задач выяснялись условия существования линейного оптимального метода (см., например, |4], [5] и |6|). Окончательный результат — необходимые и достаточные
5
условия существования линейного оптимального метода восстановления для достаточно общей постановки задачи оптимального восстановления линейного функционала — получен в работе (7). Кроме того, было решено множество конкретных задач, где находились методы оптимального восстановления. Представление об этом этапе развития данной тематики отражено в следующих обзорах |8], [9], [10] и монографии [11]. Следует отметить, что подход к решению задач оптимального восстановления линейных функционалов по неточным исходным данным с позиций теории экстремума впервые был предпринят в работе (12).
В указанных обзорах ставилась и задача оптимального восстановления значений линейного оператора на классе элементов по неточной и неполной информации о самих элементах. Общая постановка этой задачи такова. Пусть X — линейное пространство и W — непустое подмножество (класс) в X. Пусть, далее. У — нормированное пространство, /: X —> Y — линейный оператор и <5 > 0. Элементы из W известны приближенно, а именно, о каждом элементе х € W нам известен (нам показывают) элемент у € Y такой, что ||/х — у||у < (5 (если <5 = 0, то известен элемент 1х). По этой информации мы хотим восстановить (но возможности, паилучшим образом) значения па классе W линейного оператора А X —> Z, где Z — другое нормированное пространство.
Любое отображение т: Y —> Z объявляется методом восстановления (значений Л на И7 поданной информации). Его погрешность определяем по формуле
ez(A,W,Y}dtm)= sup l\Ax-m(y)\\z.
xevv, ye У
l|/*-*l|y <6
Если <5 = 0, то это-выражение, очевидно,-переписывается так----------
ez{A, W, Y, 0, m) = sup \\Ax - rn{Ix)\\z.
x$W
Величину
Ez{A, Wt Y, 6) = inf ez(A: W. Y,6,m)
m
С
- Київ+380960830922