Содержание.
Введение...................................................4
Глава 1. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца... 24
§1.1 Предварительные сведения...........................27
§1.2 Весовые банаховы пространства пробных функций......29
§1.3 Пространства пробных функций типа Берлинга.........42
§1.4 Пространства ультрадифференцируемых функций тиггя Берлинга....................................................48
§1.5 Ультрараспределения................................54
§1.6 Теорема типа Пэли-Винера-Шварца....................55
Глава 2. Абсолютно представляющие системы экспонент и их свойства (многомерный случай)..........................62
§2.1 Основные определения и вспомогательные результаты 63
§2.2 Связь абсолютно представляющих систем экспонент и слабо
достаточных множеств................................68
§2.3 Р-кратно ненулевые дискретные абсолютно представляющие
системы экспонент...................................75
§2.4 Специальный класс абсолютно представляющих систем экспонент ....................................................78
Глава 3. Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа (одномерный случай).......................96
§3.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы ......................................................96
§3.2 Пространство непрерывных мультипликаторов..........99
§3.3 Формулировка основного результата главы...........101
§3.4 Достаточные условия для абсолютно представляющих систем
минимального типа. ..............................103
§3.5 Описание абсолютно сходящихся нетривиальных разложений
нуля по минимальным системам.......................111
§3.6 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального типа...........................................112
Список обозначений.......................................117
Литература...............................................118
з
Введение.
Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались с разных позиций многими математиками и имеют широкую сферу применений (см., например, [4], [25]-[27], [33], [34], [42], [44] и библиографию к ним). Одно из важнейших направлений в изучении этих пространств тесно связано с теорией распределений и ее приложениями [38], [39], [41], [43], [45]. Так, Р.Брауном, Р.Майзе и Б.А.Тейлором [41] было осуществлено обобщение подхода Берлинга-Бьорка, основанного на определении пространств ультрадифференцируемых функций и соответствующих пространств ульгр-араспределений через весовую функцию. Суть этого подхода заключается в том, что берется одна весовая функция а;, а пространства определяются с помощью весовых последовательностей двух типов и В частном случае ц;(г) = гр пространство, со-
ответствующее последовательности {^■о;}^=1, совпадает с пространством Жеврея порядка 1/р, которое, как известно, используется в математической физике и теории тригонометрических рядов. В то же время, такие важные классы пространств, которые задаются последовательностями где до ИЛИ дгг \ Яо € (0,со),
до сих пор в общей ситуации не изучались.
С другой стороны, в последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем в различного рода пространствах. Во-первых, это обусловлено тем, что решению задач, связанных с
4
разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Коши для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений и, наконец, проблемой продолжения по Уитни. Отметим, что впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю.Ф.Коробейником в [7], под влиянием работ А.Ф.Леонтьева. Исследования в рамках данной тематики проводились в дальнейшем многими авторами (главным образом, Ю.Ф.Коробейником [7]—[12], [15]—[19], [46], [47], а также, В.В.Напалковым [28]—[30] и их учениками и последователями) и достаточно интенсивно проводятся в настоящее время.
В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении полученных результатов из [41] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями общего вида 1? и изучение абсолютно предста-
вляющих систем экспонент в них.
Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи:
- определение и изучение некоторых свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга, построенных по произвольной весовой последовательности; описание топологически со-
5
пряженных к ним. получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;
- применение полученных результатов к исследованию абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах ультрадиф-ференцируемых функций типа Берлинга; получение критерия для абсолютно представляющих систем в этих пространствах в терминах слабо достаточных множеств для сопряженных пространств;
- установление двойственной связи между возможностью продолжения по Уитни ультрадифференцируемых функций с толстого компакта во все пространство и существованием в соответствующем пространстве абсолютно представляющих систем экспонент с чисто мнимыми показателями;
- описание абсолютно представляющих систем минимального типа в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга специального вида в одномерном случае.
Отметим, что в диссертации рассмотрен лишь случай пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга (то есть, для неубывающей по п последовательности весовых функций хотя исследования, касающиеся первой главы, также проведены и для пространств типа Румье (то есть, для невозрастающей весовой последовательности) и опубликованы в [51].
Методы исследования. В диссертации, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании абсолютно представляющих систем в пространствах ультрадифференцируемых функций типа Берлинга применяются подходы и результаты, разви-
6
тые ранее Ю.Ф.Коробейником и А.В.Абаниным, а в задаче о двойственной связи между абсолютно представляющими системами экспонент и продолжением по Уитни - Ю.Ф.Коробейником.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам разрешимости уравнений типа свертки и продолжения бесконечно дифференцируемых функций по Уитни.
Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель - профессор Ю.Ф.Коробейник), на студенческих научных конференциях механико-математического факультета Ростовского госуниверситета, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализе памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998 года).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы 1 опубликованы в [51]-[53], главы 2 - в [54], [55], [57], [58], главы 3 - в [56]. В совместной с научным руководителем работе [51] по результатам главы 1 А.В.Абанину принадлежит постановка задачи и определение общих параметров метода доказательства теорем 2 и 3, а Е.С.Тищенко - все остальные результаты и доказательство теорем 2 и 3.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 58 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою нумерацию. Объем диссертации -124 страницы машинописного текста.
7
Обзор главы 1. В первой главе диссертационной работы осуществлено распространение на более общий случай подхода Берлин га-Бьорка [38], [39], получившего недавно дальнейшее развитие в [41]. Остановимся кратко на основных моментах последней работы, имеющих непосредственное отношение к тематике диссертации.
В соответствии с определением из [41] непрерывная неубывающая на [0, +оо) функция и; : [0, +оо) [0, +оо) называется весовой, если она удовлетворяет следующим условиям:
(а) со(2г) = 0(со(г)) при г -» -foo
+ ОС
для нашего случая в дальнейшем будет обозначаться <р*.
В [41] для каждой весовой функции со и открытого в множества С определяются следующие два типа пространств бесконечно дифференцируемых функций
£{ы) (С) ’—{/ € С°° (С) : для любого компакта К С <2 и любого п Е N
1
(7) In г = о(си(г)) при г —► -foo
(S) (рш(х) := и(ехрх) выпукла на [0, +оо).
Двойственная по Юнгу с <ри(х) функция
К(у) := ыр(ху - <ры(х))
х^О
WfWn.K :== SUP SUP |/(0t)(ar)| ехр( -nip
aÇNj хеК V
И
8
((?) := {/ € С°°(С) : для любого компакта К С <2 найдется N \
или к := 8иР 8иР 1/(")(®)|ехрГ-^у*Н«1)') < ос}-
Эти пространства наделяются естественными топологиями. Первое пространство называется пространством ультрадифференцируемых функций типа Берлинга, а второе - типа Румье. В частности, если и(г) — гр, 0 < р < 1, то (Ер) - не что иное, как хорошо известное пространство Жеврея класса 1/р. Отметим также, что менее жестким в [41] по сравнению с [38], [39] является условие (а) на весовую функцию. В [38], [39] требовалось, чтобы ы была полуаддитивна сверху, то есть, чтобы и(х + у) ^ и(х) + 6о>(у), для всех х, у. Одним из основных рез}лльтатов в [41] является аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца об описании сопряженных к £(и){&) и £{и,}(С?) (С - выпуклая область в Ер) пространств как пространств целых функций, удовлетворяющих определенным весовым оценкам.
Фактически и £{шу задаются весовыми последовательностями и , соответственно. Основной целью главы
1 является распространение результатов [41] на произвольные последовательности {^п}^ весовых функций, удовлетворяющих некоторым естественным ограничениям и, в частности, получение аналога теоремы Пэли-Винера-Шварца, которая является основополагающей для глав 2 и 3. Заметим, что если в [41] удалось рассмотреть лишь два крайних случая - ”максимальный” ({пи;}^_1) и ’’минимальный” 5 то в рамки настоящего исследования укладывается
и принципиально новый - ’’нормальный” (например, где
Уп /* (I или \ <7, у 6 (0, оо)).
9
В целом, применяемые нами методы хорошо известны и заключаются в следующем. Сначала вводятся соответствующие пространства пробных функций и распределений, затем линейные непрерывные функционалы на S^) и £{шу характеризуются как распределения с компактным носителем в G, и, наконец, для выпуклых G получается аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца с помощью преобразования Фурье-Лапласа функционалов. Более общую, чем в предыдущих работах, ситуацию удалось исследовать, главным образом, за счет уточнения ряда оценок.
В первом параграфе приводятся некоторые известные определения и результаты из теории обобщенных функций. Во втором параграфе вводятся весовые банаховы пространства пробных функций.
Пусть и : [0, -foo) —»[0, +оо) - непрерывная неубывающая функция. Положим, не меняя обозначений, cj(z) = w(||z||) для любого
z — (zi,..., zp) е Ср, где ||z|| := max \zA. Для каждой такой функции
1
о; и компакта К С Rp изучается нормированное пространство
D(u; К) := {/ € D(K) \ \\f\\w := J |/(х)| е“<»> dx < оо},
R р
где D(K) - пространство бесконечно дифференцируемых в IR? функ-ций с носителем в А", а / - преобразование Фурье функции /.
Пусть гр - произвольная вещественнозначная функция, определенная на [0,-foe) (достаточно, чтобы она была определена на М0). По ней определяется банахово пространство
D{ip; K) = {f€ D(K) | | f\n, := sup sup ^ < oo }.
10
- Київ+380960830922