Метрические свойства мероморфных функций

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОЦЕНКИ а-ПОТЕНЦИАЛОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
§1. Основные определения. Вспомогательные результаты........27
§2. Первая теорема о покрытии носителей потенциалов подобластями Грина ......................................................36
§3. Вторая теорема о покрытии подобластями Грина ...........44
§4. Третья теорема о покрытии подобластями Грина (теорема о комбинированном методе покрытия) .................................53
§5. Интегральные оценки некоторых ядер на границах подобластей
Коши ..........................................................56
§6. Приложение а-емкостей к задачам о разделении особенностей 66
ГЛАВА 2. ОТДЕЛИМОСТЬ ОСОБЕННОСТЕЙ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА КОШИ ОТ ГРАНИЦ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
§1. Основные определения ...................................78
§2. Некоторые оценки для логарифмических потенциалов мер, носители которых расположены в верхней полуплоскости ..............80
§3. Теорема о гиперболической плотности меры, порождающей потенциал Коши с мажорантой специального вида....................87
§4. Оценка снизу для расстояний полюсов функций класса HL;*'(C+)
от действительной оси .........................................90
§5. Оценка снизу для расстояний от действительной оси корней многочлена, вторая логарифмическая производись которого ограничена на
этой оси заданным числом ......................................99
§6. Оценка снизу для расстояний полюсов функций класса HL^(Uf)
до окружности dU .............................................103
§7. Оценка снизу для расстояний полюсов функций классов HL^(C1)
до действительной оси при 1 < р < со .........................111
§8. Оценка снизу для расстояний полюсов отдельных функций класса ИЦ°(С+) до действительной оси..............................112
2
§9. Некоторые дополнительные результаты.....................115
ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ ДЛИН ЛИНИЙ УРОВНЯ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ
§1. Введение...............................................119
§2. Вспомогательные результаты о линиях уровня ............121
§3. Оценки взвешенных длин линий уровня мероморфной функции с
конечным числом полюсов.......................................128
§4. Оценки интегральных норм граничных значений голоморфной и рациональной составляющих мероморфной функции с конечным числом
полюсов ......................................................132
§5. Пример области со сколь угодно медленным ростом норм голоморфных составляющих мероморфных функций при увеличении числа
их полюсов ...................................................138
§6. Некоторые приложения к теории аппроксимаций............140
ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МЕРОМОРФНЫХ И РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§1. Введение...............................................143
§2. Оценка вариации рациональной функции на подмножествах кривых с ограниченным вращением секущей .........................147
§3. Гиперболически разреженные множества ..................149
§4. Оценка в метрике V1 на кривых Альфорса сумм специального
вида .........................................................155
§5. Конструкция мажорантных сумм для функций класса 1Г(Ст) +
Е‘(С) в жордановых областях О с границами Альфорса............158
§6. Применение мажорантных сумм в неравенствах с критическим
соотношением параметров на кривых конечной плотности..........161
§7. Использование мажорантных сумм при оценках квазинорм функционалов Харди и Литтлвуда....................................165
§8. Аналог теоремы Шапиро и Шилдса об интерполяции функциями класса Ер на гиперболически разреженных последовательностях .. 168
§9. Приложения к рациональным аппроксимациям...............171
§10. Критические неравенства с ослаблением интегральной метрики
в общем случае регулярной меры ...............................173
§11. Обобщения теорем §10 .................................180
3
§12. Ограниченное изменение внешней а-меры Хаусдорфа при рациональных отображениях.........................................182
§13. Соотношения между характеристиками S2 и V плотности множества .......................................................187
§14. Другие приложения к рациональным аппроксимациям 191
Литература.................................................195
4
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена, в основном, задачам теории функций комплексного переменного, касающимся метрических свойств мероморфных (в частности, рациональных) функций, возникающим в теории рациональных аппроксимаций. Это задачи о потенциалах Грина и емкостях, о разделении особенностей мероморфных функций (и оценках норм компонент и производных этих компонент), об оценках длин линий уровня мероморфных функций с конечным числом полюсов в области их определения, об оценках производных рациональных и мероморфных функций в интегральных метриках на множествах комплексной плоскости, о трансформациях величин хаусдорфовых мер множеств при их отображениях посредством рациональных функций, об оценке снизу расстояний полюсов сумм Rn(z) = ££=1(г — г*)-1 наипростейших дробей (т.е. логарифмических производных R„{z) = Q'(z)/Q(z) полиномов Q(z), degQ = п, от прямых и окружностей L комплексной плоскости при условии | Rn(z) |< 1 V2 Е L.
Пусть G - область на расширенной комплексной плоскости С, имеющая обобщенную функцию Грина, [i - неотрицательная <т-конечная борелевская мера в G. Обобщенным a-потенциалом Грина (а > 0) назовем потенциал меры ц вида
MG,z) := /K.(G;z,flWO,
где Ко(ф2,£) = g(G\z,Q - обобщенная функция Грина для G с полюсом ( £ G, K0(G;z,Ç) = exp(ag(G-, z, £)) — 1 - при а > 0. Потенциалы типа [ла широко используются в теории субгармонических и гармонических, а также в теории аналитических функций. Систематическое применение таких потенциалов в комплексном анализе началось в работах Т.Карлемана (1921г.), Р.Неванлинны (1922г.), Г.Сеге (1924г.), И.И.Привалова (1925г.), Ф.Рисса (1926г.), О.Фростмана (1935г.). В теории субгармонических функций центральным результатом является теорема Ф.Рисса о локальном представлении произвольной субгармонической функции в G виде разности гармонической функции и 0-потенциала Грина. Это же представление имеет место и для допускающих обобщенную функцию Г рина областей G в евклидовых пространствах RA
5
размерности N > 3 (О-потенциал fi${G,z) Грина определяется при z eG С Rv, N > 3, аналогично предыдущему). С целью приложения этой теоремы и для других целей разработаны различные методы оценок а-потенциалов Грина. В частности, имеется ряд методов получения оценок таких потенциалов вне их исключительных множеств, точнее, вне некоторых специальных покрытий носителей их мер fi. Такие оценки нашли широкое применение, в частности, в теории распределения значений меромофных и субгармонических функций и при получении асимптотик для значений этих функций в неограниченно удаляющихся точках на С и в RiV, N > 3 (см.,например, [2],[3],[37],[68],[69]). При этом, как правило, рассматриваются простые области (круги, полуплоскости, шары, полупространства). В настоящей работе разработаны некоторые новые методы покрытия носителя меры fx и получения оценок соответствующих потенциалов в произвольных односвязных областях G на комплексной плоскости. Перенесение этих методов на пространственный случай дает для областей-шаров в R v некоторые новые покрытия и оценки. Среди приложений полученных оценок «-потенциалов в настоящей работе важное место занимают теоремы о разделении особенностей аналитических и гармонических функций. Приведем постановку некоторых задач о разделении.
Пусть G - произвольная область на плоскости С, граница которой 3G может быть разбита на два не пересекающихся компакта К\ и К2. Для определенности будем считать, что оо £ К\. Говорят что в этом случае компакты К\ и К2 образуют (электрический) ’’конденсатор” [К\,К2] с пластинами К\ и К2. Напомним определение а-емкости Са\К\, К2] конденсатора [К\, К2], « Е [0,1). Через G\ обозначим связную компоненту дополнения к iT], включающую область G (и содержащую оо), а через G2 обозначим связную компоненту дополнения к К2 на С, которая содержит О (Gi П G2 — G). Если G2 не имеет обобщенной функции Грина, то положим Со[^ь-К2] = 0. В противном случае рассмотрим класс всех неотрицательных счетно аддитивных боре-левских мер р. с supp/л С К1, для которых их «-потенциалы pa(G2^z) (см. выше) удовлетворяют неравенству fi0(G2,z) < 1 при z Е К\. Положим Ca[#i,.K2] = sup{p(/fi) : fi € £„}.
Пусть задана функция г(р), положительная и невозрастающая при р > 0. Обозначим через Е(0; К2\ г) класс функций /, голоморфных
6
в (7, для которых
I /(«) |< г(р{г,К{)) в достаточно малой окрестности К\ (своей для каждой функции /) и
М(/,К2) := Шпзир | /(г) |< оо, (7 Э г -» К2.
Класс функций /, голоморфных и ограниченных в (7, обозначим через Е(й; К\,К2)- Пусть / е Е((7; К2;г) с некоторым г(р). С по-
мощью интегральной формулы Коши для составного контура получается разложение /(2) = + }2(г) (г € <7), где функция =
{]_{К\^К2\г) аналитична в С\ и нормирована условием /1(00) = 0, а Ь(г) = /2(^11 аналитична в (72. Задачей о разделении особен-
ностей в классах Е((7; Ки К2\ г), Е((7; АГ1? АГ2) будем называть задачу об оценке величин М(/],К2\ М(/2уК]) в зависимости от г, а также от определенных метрических и емкостных характеристик границы К[ и К2 области О. Эта задача (и ее аналоги для других классов голоморфных и гармонических функций) возникает в теории аппроксимаций функций комплексного переменного (см.,например, работу [11]
А.Г. Витушкина о полноте алгебры рациональных функций (р.ф.) в пространствах АС(К) функций, непрерывных на компакте К С С и голоморфных на множестве его внутренних точек), в теории граничных свойств аналитических функций (см., например, работы Л.А.Гончара и Л.Д.Григоряна [17],[18], работы В.П.Хавина, о разделении особенностей голоморфных функций). Задачи разделения особенностей гармонических функций возникают в теории потенциала и граничных свойств гармонических функций, в теории гармонических аппроксимаций (см., например., работ}' [48] П.В.Парамонова).
Значительный интерес для приложений представляет следующий частный случай задачи о разделении. Пусть заданы произвольная область (7 С С, мероморфная в в функция /, имеющая в С конечное множество К\ = {^} полюсов (и не имеющая других особенностей в О) и ограниченная вблизи <9(7. Тогда / 6 Е(0\/^1; Ки <9(7; р~к) с некоторым к € N. Очевидно, компонента fl(z) является р.ф., равной сумме главных частей лорановских разложений /(2) относительно полюсов {г^} С 61. В данном случае будем писать /а вместо /ь При гг 6 N введем величины
Ап(<7) := *щ'>{М(}0,дО)1М{/,дО) : М(/,0б0 > 0}>
7
где супремум берется по всем мероморфным функциям / указанного вида с условием (\egfc < п. К задаче об оценках величины Л„(С) и ее различным обобщениям обращались многие аналитики. Впервые эта задача появилась, по-видимому, в работе В.Э.Кацнельсона [39] в 1967 году, где рассматривался случай, когда <7 - верхняя полуплоскость плоскости С. В 1970 г. А.М.Бочтейн и В.Э.Кацнельсон [б] получили неравенство Л„(и) < Ап2 для случая круга 6г = и:={|г|<1}.В 1974 году С.И.Пореда, Е.Б.Сафф, Г.С.Шапиро [55] установили аналогичную оценку в областях О с аналитическими границами и с А = А{С). Существенное продвижение было сделано в работе А.А.Гончара и Л.Д.Григоряна [17] 1976 года: для произвольной односвязной области О было показано, что
А„(С) < Ап2,
где А - абсолютная постоянная. В 1976 году Л.Д.Григоряном [20] для случая области С с гладкой границей дС было доказано неулучшае-мое по порядку величины п неравенство А„(С) < А(0)п, где А зависит лишь от С. Л.Д.Григоряном было также показано, что в любой односвязной жордановой области О, граница которой дС имеет касательную хотя бы в одной точке, справедливо и обратное неравенство с некоторой абсолютной константой А > 0. Для круга и А.А.Пекарским [53] вычислено значение Л„(и) = 2п. Для областей С, ограниченных достаточно гладкими кривыми (в частности, кривыми Ляпунова или Радона без точек заострения), А.А.Пекарским получено следующее уточняющее результат Л.Д.Григоряна неравенство
М(/сг,дО)/М(/,дО) < А(С)т\п{е<\ъ%}с/т),
где т - число геометрически различных полюсов функции /<?. Сходные задачи рассматривались Е.А.Севастьяновым [62]. Он установил точное неравенство для норм /ц в метрике Лебега Ьх(д\5). Именно, для рациональных функций / он установил неравенство
\\/и\\ь'(дУ) < 2кАе^/\\/\\с(ди)-
В 1984 году автором [70] было получено точное по порядку величины неравенство
Л „(С) < Ап с абсолютной постоянной А > 0
8
для произвольных односвязных областей (7, а в 1990 году - такое же неравенство для произвольных областей С С С [75].
Задача, близкая к упомянутой задаче о разделении особенностей для функций класса ЕКо), рассматривались Л.Л.Гончаром и Л.Д.Григоряном [18]. В частности, ими показано, что если компакт К2 включает некоторый невырожденный в точку континуум К, то для колебания := зир{| /(г7) — f(z") |: г',г" Е К} компоненты }\ на
К справедливо неравенство
Я(ГиК) < 2тгМ(/,дО) С0[КиК2].
В настоящей работе (см. также [70]) доказано неравенство
М(/иК2)<Л(а)М(/,дСг) Ссо
где / € Е(й] Кх, К2), К2 - континуум, Са =Са[Ки К2] - а-емкость конденсатора [К\) К2], а € [0,1).
В диссертации рассматриваются одна специальная задача о разделении особенностей, в некотором смысле обратная к приведенным выше. В первоначальном виде она возникла в работах Е.А.Горина [19], Е.Г.Николаева [46], А.О.Гельфонда [15], В.Э.Кациельсона [39] и известна как задача об оценке мнимых частей корней многочленов (}(г) степени < п, имеющих ограниченный числом 1 модуль своей логарифмической производной Яп(г) = (д'(*)/(2^) на действительной оси К.
Итак, пусть п - натуральное число, (}^) - алгебраический полином степени п, Нп(г) = ) = £2=1(г - я*)”1, | #п(я) |< 1 Ух € К,
0(7^) = р{{*к}, И) - расстояние между множеством {г;-} полюсов функции И-п и осью И, Оп := тГ{В(Яп)}, где пробегает все функции, указанного вида. Вопрос о принципиальной возможности оценки снизу положительной величиной, зависящей лишь от п, был поставлен и положительно решен в 1962 году Е.А.Гориным. В 1965 году Е.Г.Николаев доказал, что
> 2(2^ - I)"-1 (п € I*).
Он также поставил вопрос о точности этой оценки и следующую проблему: вообще, стремится ли Вп к 0 при п —> оо? В связи с этой проблемой Е.Г.Николаев привел принадлежащий А.И.Колмогорову пример последовательности целых функций /7(-г), имеющих бесконечное множество
9
нулей в открытой верхней полуплоскости С4" и ограниченные
числом 1 модули своих логарифмических производных fj(z)/fj{z) на действительной оси R и таких, что p({2j',fc}jfeLi»R) 0 при j -» ос. В 1966 году существенное уточнение оценки снизу для Dn было получено А .0.1 ельфондом:
T-V 1 1
о» > —, П > щ.
17 Inn
A.О.Гельфондом также были рассмотрены аналогичные задачи при других нормировках Rn(z) - в частности, при замене условия | R„(x) |< 1 Vx Е R” условием ”| Rl£n)(x) | < 1 Чх Е R, т = const Е N”.
B.Э.Кацнельсон получил некоторое уточнение результата А.О.Гельфонда, но при том же логарифмическом порядке убывания величин Dri. Вопросы же, сформулированные Е.Г.Николаевым, оставались открытыми.
В 1993 году автором [71],[74] была получена окончательная по порядку величин п двусторонняя оценка для Dn. В настоящей работе она приводится в виде неравенств с несколько уточненными константами:
1 1п Inn In Inn , ^ .
Г--Т <Dn<2.- (n > По).
9 Inn Inn
Приводится также двусторонняя оценка для величин Dn(r), определение которых получается из определения для Drt заменой прямой R произвольной окружностью радиуса г > 0. Так, в случае г = 1 имеем:
1 Inn ^ ^ ^ Inn . ^ ч
- ■ — < D„ 1) < 2 • — (п > п0).
on п
Отметим, что задача для окружностей в указанных работах других авторов не рассматривалась.
В диссертации получены аналогичные результаты и при нормировках другого вида, а также более общие результаты об оценках расстояний от носителя неотрицательной борелевской меры /2 до оси R при нормировке на R функции вида R(z) = C(z) -1- f(z), где C(z) = /(£ — z)“Ld/2(£) - потенциал Коши этой меры, а / - функция класса Харди Н°°(С+).
В заключение этого раздела отметим, что необходимость в оценках для Dn возникает в задачах о устойчивых многочленах, задачах асимптотической устойчивости динамических систем, в задачах теории потенциала о распределении заряда, и т.п.
10
Следующий круг рассматриваемых в диссертации вопросов - поточечные и получающиеся из них интегральные оценки производных от р.ф. на областях, кривых и других множествах комплексной плоскости. При этом поточечные оценки нуждаются в информации о расположении полюсов рассматриваемой р.ф. (экстремальные оценки такого рода производных от р.ф. на прямой и на окружности были получены В.С.Виденским [9],[10] и В.Н.Русаком [58-60]) интегральные же оценки получаются без каких-либо ограничений на расположение полюсов рассматриваемой функции. В диссертации основные оценки производных получены в наиболее трудных случаях - при так называемых критических соотношениях между параметрами интегральных норм (и квазинорм). Постановка и решение ряда таких задач восходит к фундаментальным работам Е.П.Долженко [25-30] (.1962-1978гг.) и Е.А.Севастьянова [30],[61] (1973,1974гг.). В дальнейшем этими задачами занимались В.И.Данчеико [75-80], В.В.Андриевский [1] А.А.Пекарский [49-53], Г.Шталь [52] и другие. Важнзчо роль в этом направлении исследований сыграла задача Е.П.Долженко (1966,1978гг.) об описании максимального класса $1 множеств Е С С, допз'скающих оценки величин И-К'И/и^) (т-е- Длин образов Я(Е) множества Е с учетом кратности покрытия точек при отображении ю = Я(г)), где Я -р.ф., через ||Д||с’(^) и (1 ^Я, а также о выявлении зависимости этих величин от метрических характеристик множества Е. Задача описания класса всех кривых 7 = 7?, входящих в класс Й была решена автором (1980г.), а также В.В.Андриевским (1983г.). При этом В.В.Андриевский [1] получил оценку
ЦД'1Ьы < АЬ')(А^щ2\\щ\сЪ).
В [70,76] автор получил уточнение последней оценки: множитель A('y)(degR)2 был заменен на А('у,е)(с\о^ Я)х^е \/е > 0. Окончательное решение этой и более общей задачи о преобразовании а-мер Хаусдор-фа множеств Е С С при отображениях их посредством ограниченных на Е рациональных функций было дано в 1985-1987 годах в совместных работах Е.П.Долженко и автора [72,79,85]. Чтобы сформз'лироватъ соответствующий резз'льтат введем определение а-плотности неотрицательной борелевской меры /1 на плоскости С:
П(а,//) := 8ир{ц(.0)(сПат /7)~л},
11
где sup берется по всем открытым кругам D С С. В упомянутой работе [72] Е.П.Долженко и автора доказано, что^орелевское множество Е принадлежит классу Ü тогда и только тогда, когда Q(i,mesi) < оо, где mes! - длина по Хаусдорфу множества Е. Доказано также, что для любой р.ф. Я, борслевского множества Е, неотрицательной борелевской меры у/ и числа а € (0,2] имеет место неравенство
lE I R'(z) г м*) < го8 • • deg R ■ \\щаС{Е), (*)
причем эта оценка точна по порядку величины deg Я и Q(a,/x).
В 1973 году Е.А.Севастьянов [61] поставил следующую задачу: имеют ли место оценки вида
И-ft'II £'([0,1]) < Cp(deg R) ■ IIД 111,([0,1])
при критическом соотношении г = р/(1 -}-р) < 1 (где р > 0, Cp(degЯ) зависит лишь от р и deg Я; при 0 < г < р/(1 + р) соответствующие неравенства Е.А.Севастьяновым были получены). Отметим, что при р = оо точное неравенство
l№.(E)^27rdeg^-||K||c(E)
получено в 1978 году Е.П.Долженко [28] для любого измеримого по Лебегу множества Е С R . Кроме того, в работах 1960-1962 годов Е.П.Долженко были получены точные по порядку deg Я неравенства для полных изменений Var7 Я р.ф. Я на прямых , окружностях и достаточно гладких кривых 7. В работах 1982-1986 годов автор обобщил эту задачу на кривые 7 € Ô и при 1 < р < оо получил ее положительное решение ([76]):
||й'||£--(-г) ^ Cp(degÆ • ln3degÆ)1+1/p||Æ||£,(7), r = 1 < р < оо,
В 1989 году точное по порядку величины deg Я неравенство
||Я'||£'(7) < ср(у) deg R ■ ||Я||£,(7),
л
для кривых 7 6 ÎÎ получил А.А.Пекарский [51]; при р Е (0,1) (р Ф 1 /&, к £ N) это неравенство получено А.А.Пекарским и Г.Шталем [52] (1995г.).
12
В работе автора [78] предложен новый метод решения подобных задач. Существенным и новым в этом методе является то, что множества Е = 7 С С не обязательно связны (как в методе, использованном в работах Л.Л.Пекарского и Г.Шталя) - они могут быть, в частности, и всюду разрывными. Напомним, что при р = оо точное по порядку входящих в него величин неравенство для ||Я'||ше), где Е - произвольное борелев-
л
ское множество из П, получается из приведенного выше неравенства (*) при а = 1, р = тев!.
В работе Е.П.Долженко 1966 года при 1 < А < 2 получены оценки для производных р.ф. Я в метриках ЬХ(С) для областей С с достаточно гладкими границами Г, а в работе 1977 года - в метриках (7) с
с1р(г) = ра~1(г,Г)(1те$2(г) (где р(г, Г) - расстояние от г £ О до Г, а > 0) оценки вида
ЦД'И^о < сл(«,а)(ае8Я)1-^ • цяцс(е)
при 1 < А < 1 + а. Было показано, что при А > 1 4- а никакая оценка сверху для ЦЯ'Н^с) через норму ||Я||с(о) невозможна, и ставилась задача об исследовании случая критического соотношения параметров А = 1 +<г. Этот случай исследован автором в работе [77] 1979 года, где в случае единичного круга и найдена практически качественная оценка
с1р(г) = раХ~1(г,Г)<1тей2(г), А>1,р>1,а>1 + ~~^. Здесь при а < 1 -|- ^ ^ оценка невозможна, случай а = 1 ^ является критическим,
наиболее трудным для исследования. А.А.г/екарский (1987 г.). показал, что здесь можно взять С(А,р, а-, Я) = С(\,р, а:)(с1ео‘ Я)1^“1^, и соответствующая оценка является точной по порядку величины degR. Автором [78] аналогичное неравенство получено для произвольных огра-
А
ниченных областей (7 с границами Жордана <9(7 6 О.
Все приведенные оценки для норм производных от рациональных функций сразу используются для доказательства так наз. обратных теорем теории рациональных аппроксимаций.
13
Содержание работы
1; 1. Первая глава, в основном, посвящена оценкам гриновых а-потенциалов неотрицательных борелевских мер ц в произвольных одно-связных областях G на расширенной комплексной плоскости С вне специальных покрытий носителей supp /г этих мер. Пусть G - односвязная область с невырожденной в точку границей dG, z0 Є G. Через cpo(z; *о) обозначим какое-либо конформное однолистное отображение G на единичный круг U = {д; :| w |< 1} с условием (Pg(zq\zu) = 0. Пусть ц - неотрицательная борелевская мера в G с конечной и положительной полной вариацией ||/х||, К = supp/л. Определим а- потенциал меры ц равенствами
Ао(г) = MG,z) =■•- J ln I 9g(z;C) I dß(C),
ßa{G,z) := J(\ <pG(z;() Г° -1 )ф(С) (а > 0).
Очевидно, 0 < faa{G,z) < +00 в G, и ßa(G,z) — 0 на dG (а > 0) при К С G; в G\K функция fro гармонична, а fiQ при а > 0 субгармонична. Области вида
9g(z0;S) = {z Є G : I <pa(z;z0) |< p, p = (1 + .5)} (1)
(0 < S < 1, z0 € G) будем называть подобластями Грина (п.Г.) области G. Это - ’’обобщенные круги” с гиперболическими центром zq и радиусом |1п|. Именно п.Г. играют основную роль в наших конструкциях упомянутых покрытий. Аналогично определяются ö-гютенциалы и п.Г. в шаре G С RA\ N > 3, через мебиусовы отображения этого шара G на единичный шар в Rv. Пусть, к примеру, G - открытый шар с центром в начале координат О радиуса г, z0 CG. Рассмотрим какое-либо фиксированное конформное отображение w = <Pg(z; zq) шара G на единичный шар | гг |< 1 с нормировкой <Pg(zoJ^o) = 0. Легко проверить, что
g(G; z, zo) = (1- | *>) Г“2)1 - г |2'Л'
является классической функцией Грина для шара G с полюсом zq. Следовательно, п.г. в шаре G можно определить так:
9g(zo;S) = {zeG: g(G;zyzo) \zq-z |v_2> 1 -рЛ~2},р~ (1 - S)/(l + S).
14
1;2. В следующих трех теоремах через G будем обозначать либо произвольную односвязную область на С с границей, содержащей более одной точки, либо шар в RA.
Теорема 1. (§1.2.) Для любой неотрицательной и конечной в области G борелевской меры р существует конечный или счетный набор п.Г. Gk = gcizk-Ajc) (k £ N), объединение которых W оладает следующими свойствами.
1) Для всех z £ G\W и а Є [0,1) имеем pQ(G, z) < А(а).
2) -£*1пД*<|Н|.
В теореме 1 и ниже через А(-), Aj(-) обозначаются вспомогательные положительные величины, зависящие лишь от указанных аргументов, а через Л, Aj - положительные константы.
1;3. Оценка суммы гиперболических радиусов гиперболических кругов покрытия (на С), полученная в теореме 1, может оказаться недостаточной для приложений в случае произвольной области G. В §1.3 получена конструкция покрытия с более жесткими метрическими ограничениями. Сформулируем результат (G, GАк обозначают то же, что и в теореме 1).
Теорема 2. (§1.3.) Пусть р - неотрицательная борелевская мера с supp р С G. Тогда для каждого с € (0,1] в G существует конечный набор (зависящий от е) п.Г. Gк, объединение которых W обладает следующими свойствами
1) Ед. Д^1+<г < Л(о-)||/х|| при любом о £ (0,1);
2) для любой п.Г. g = gc{z]S) с z £ C?\W при m = p(g) и £ Є g имеем I <pg(z;Q |> (mln1+t(em) — l)/(mln1'rc(em) 4- 1).
1;4. Последнее неравенство выполняется тривиально при m < 1и может оказаться малоэффективным для мер р с малой mesj-плотностью. Этот недостаток в определенной мере устраняет следующая - основная в первой главе - теорема о комбинированном методе покрытия (см.§1.3).
Теорема 3 [70]. Пусть р - борелевская мера, как в теореме 1, ß > 0. Тогда существует конечный или счетный набор (зависящий от ß) п.Г. Gf. = gG(zk]Ak) (А: Є N), объединение W которых обладает следующими свойствами.
1) £ lnö Д^1 + £ Д*т1+Ст < Ax{a,ß)IHI V<7 Є (0,1);
Д*>1/й Д*< 1/е
15
2) MGtz) < A2(a,/3) Va € [0,1), г € G\W.
Как следстве отсюда получается оценка для потенциала Грина в открытом шаре G С Rv (ДГ > 3) радиуса г. Именно, если g(G;z,() -функция Грина в G, то при (5 > N - 2 имеем (при выполнении 1))
£(G,*) := f g(G;z,Qdv(C) < Л3(0)(г- I г 1)2Л * € G\W
1;5. В §1.6 рассматриваются приложения теорем о покрытии. Приведем некоторые из них. В этом пункте считаем, что G - односвязная область с неограниченным дополнением на С, К - компакт в G, имеющий положительную аналитическую емкость, 0< а < 1, Сл =
CQ[K, dG}. Пусть, далее, / G E(G; К, dG) и / = fK 4 f0G, где компо-
нента /а', аналитична на С\К и удовлетворяет условию /д-(оо) = 0, а компонента аналитична в G.
Теорема 4. Пусть М := M(/,iT),m := M(f,dG). Тогда \\1к\\оо,дс < Ат(1 4- 1п(М/т)) • С0 (А = const > 0),
ll/dloo,*? ^ ^(°0 таХ(М) т} • Са {<* > 0).
Неравенства точны по порядку величин М и т.
Теорема 5. Пусть е G (0,1/2), / G E(G;dG,К;р~€), т.е. pt(z,dG) I f(z) |< a n/m некотором a> 0 u при всех z G G\K. Пусть 7 - любой спрямляемый контур, охватывающий компакт К и лежащий в G. Тогда
I / f(QdC\<aA(e>a,dG)'C*9 a > 0,
j 7
Яслд dG - ляпуновская кривая, то эта оценка справедлива и при е G [0,1). Кроме того, еслд <9G - кусочно гладкая кривая, 1 < р < 2, 0 < 6 < 1/р —1/2, то интеграл типа Коши /д-(г) = (27гг)~1 ./lf(С — 2Г)_1/(С)^С оценивается в метрике I/{dG) сверху величиной аА(е, а,р, dG)CQ.
2;1. Перейдем к содержанию гл.2. В этой части обзора через G будут обозначаться следующие простейшие области: С+ = {2 : Sz > 0} или DJ = {z : | z |> />}, р > 0. Пусть /1 - неотрицательная борелевская мера с suppju CG. При 1 < р < оо введем класс HIТ(р, G) всех функций вида Я = 4 /, где 0*(z) = J(z — С)-1Ф(0 - потенциал Коши, а /
16
принадлежит классу Харди №(6’), причем, если G = D*, то /(оо) = 0. Пусть R £ Доопределим значения R(t) почти всюду на 6G
как некасательные пределы R(z) при z t из G. При 1 < р < оо положим ||Ä||p = (Sac \ R(t) |р| dt I)1/?, ||Д|| = Через HlTn(G)
будем обозначать подкласс всех функций из HLp(p, G) вида R = 9п + /, где вп = Q'JQri - логарифмическая производная некоторого многочлена Qn с нулями лежащими в G. Положим
D(G) R) := m\n{p(zk,dG) : к = 1,п},
Pn(G;P) = inf{D(G; R) : R £ HL£(G), ||Ä||P < 1},
I>;(G) = inf{D(G; R): R = 0ne HL^(G), ||Ä'|| < 1}.
Отметим одну интерпретацию величин Dn(G;p), следующую непосредственно из определения и из соотношения двойственности. Величина Dn(G\p) равна наименьшему расстоянию от 8G всевозможных наборов из п точек Z\,..., zn, лежащих в G и обладающих свойством:
2пsup{| jr f(zk) |} < 1 к=1
где sup берется но всем функциям / 6 Нq(G) (l/p+1/q = 1) с нормировкой \\f\\q < 1, а при G = Dp - с дополнительным условием /(оо) = 0.
2;2. Пусть ^(г; Q = (г — С)/!* “ 0>А* " неотрицательная борелевская мера в С+. При zi = Xi + iyi £ С+ и 0 < J < 1. Для п.Г. g(zi\S) = {z : I <p(z;zi) |< (1 — £)/(l-f£)} положим m(£) = p(g(z\\S)). Скажем, что точка z\ £ supp p является точкой С* -плотности для меры р, если liminf(Jexp(ra(<£)/2)) > I при Ö -* 1. Достаточным для С ^-плотности точки z\ является, например, условие limr__>o(r’’V({/ • \ t — z |< г})) > 5/2/1. В §2.3 получена
Теорема 6. Пусть R £ HL°°(/i, С !) и каждая точка множества supp/i является точкой С+-плотности для In у/2 • р/\\р\\. Предположим, что в некоторой окрестности компакта supp р имеем
\n(\R(C)\/\\R\\)<p-lpo(C)
с некоторым положительным параметром р < т(1/2). Тогда либо У\ > 2||ДII“1 \\р\\, либо, в противном случае,
17
У1 > Ар • ЦДЦ-1 In ( гаШъ ?*M ) (in )->,
где к = s\ip{8m(8) : 8 G (0,1)} < \\р.\\.
Как ужо говорилось, в работе получены соотношения типа слабой эквивалентности х для величин Dn и D* при п ->• оо . Приведем основные результаты (§§2.4-2.5).
Теорема 7 [71]. Пусть R = вп + / (Е НЬ£°(С+)(прм некотором п > 1). Пусть, далее, и{х) := R)), А := ||^||/||jR||. Тогда
1 2А
100 ■ L>(C+; Д) II Д|| > min{l, - In —}.
С помощью теоремы 7 доказывается соотношение £)„(С+;оо) х In In п/ In п. Отметим, что аналогичное соотношение справедливо и в Rv, N > 3. Именно, пусть фиксированы некоторая прямая L С RiY, число п € N и множество М всевозможных сумм вида Rn(x) := Lk=i{x-Xk) I x — xk I"2 (XyXk e KNyN > 1) с нормировкой \\Rn\\c(L) < 1* Тогда для точной нижней грани Dn(Кдг) расстояний от полюсов хк всех сумм Rr. £ М до прямой L имеем £)„(КЛ) х In In п/ Inn.
Теорема 8 [71,74]. Справедливы следующие неравенства
1/32 < D*(С+) • у/п/\п п < 5/4.
Отметим, что задача об оценках величин D*(С+) впервые рассматривалась А.О.Гельфондом в 1966 году. При этом им было установлено, что £)*(С+) > А02“”/4 с некоторой абсолютной постоянной Ло > 0.
В §2.6 получены аналоги теорем из §§2.4-2.5 для кругов. Пусть R = вп + / G HL^(D/), где D+ = {z : ) z |> г} (n > 1, г > 0). Напомним, что здесь ви = QjJQn? а / - функция класса Харди Н°° в D/, /(оо) = 0.
Теорема 9 [71]. Пусть М = ||i^||«3* Тогда при выполнении неравенства п — 2rM ln(2n -f 1) > 2 ( n > 1) имеем
I V Т1 -j- 1 Г
£>(D+;R) > 2„ + 1 ln 1 + 2rM 1п(3п) “ п + 1'
С помощью этой теоремы получается соотношение DnÇD+]Oo) х r ln n/n.
18