2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3 стр.
§1. Критерий существования ненулевой, гармонической в Кп функции, обращающейся в нуль на конусе ..................................... 22 стр.
§2. Критерий существования ненулевой, гармонической в IV1 функции, обращающейся в нуль на конечном числе конусов ..................... 44 стр.
§3. Убывание гармонических функций в конусе пространства Щ1 ............................. 48 стр.
§4. Убывание полигармонических функций в конусе
пространства Лп ........................ 57 стр.
§5. Критерий существования ненулевого решения, уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах ............. 59 стр.
§6. Критерий существования ненулевой функции, с
нулевыми сферическими средними ......... 65 стр.
§7. О скорости убывания на бесконечности решений
уравнения Гельмгольца .................. 73 стр.
ЛИТЕРАТУРА ................................ 82 стр.
3
ВВЕДЕНИЕ
В фундаментальных и прикладных исследованиях важное место
занимают уравнения Лапласа и Гельмгольца. Свойства решений
этих уравнений находят многочисленные применения.
В обзоре [36, стр.494] сформулирована следующая задача: при
каких Ос существует ненулевая, гармоническая в Н? функция,
/ 2 2\1/2
равная нулю на конусе 1^2 ' ^"3/ = ОсХ\ ? В настоящей
диссертации этот вопрос решается для случая IV1.
В теории аналитических функций хорошо известна следующая
Теорема. Пусть аналитическая функция 0J регулярна в угле J arg Z < 7Г/2/&0 1 \z\ CI (Re Z > 0) . Если внутри угла
\<jj(z)\ < Сехр{— rho+r1}, г = \z\,
с любыми фиксированными С > 0, Hq > 1 и Г} > 0, то
и = 0.
Следует сразу же отметить, что этот результат может быть уточнен [см., например, [12] стр.209]. Однако пример функции
ш(г) = ехр{-гь°~11}, Г] > 0,
в угле | arg z\ < 71/2Н{) , Re Z > 0 , показывает, что существенное усиление теоремы уже невозможно.
Теорема устанавливает предельную скорость убывания регулярной внутри данного угла функции, при которой эта функция еще отлична от тождественного нуля. С помощью конформных отображений из теоремы получаются оценки предельной скорости убывания аналитических функций, регулярных внутри других бесконечных областей типа угла или полу полосы.
4
Постановка задачи о предельной скорости убывания легко переносится с аналитических функций + 2'1’(х,7/),
которые можно рассматривать как решения системы Коши—Рима-на на решения других эллиптических систем и уравнений. При этом интересен в основном случай более чем двух независимых переменных.
Требуется установить наличие предельной скорости убывания и найти ее оценку, во-первых, через степень эллиптичности соответствующего дифференциального оператора и, во-вторых, через геометрические характеристики области.
Пусть и(Х) — гармоническая функция трех переменных
в некоторой неограниченной области Г) . Требуется оценить функцию (р(Х) — нижнюю грань таких функций Ы*) , что из условия
ЩХ)! <Сехр{-^(Х)}
следует
и(Х) = 0.
Существование доказано Е.М. Ландисом для решений лю-
бого эллиптического уравнения второго порядка, коэффициенты которого ограничены вместе с двумя первыми производными; однако метод, примененный в этой работе, не позволяет существенно улучшить полученную оценку (р[Х) в сколь угодно ”хорошем” частном случае, например, даже для решений системы Коши—Римана (т.е. для аналитических функций).
Поэтому представляет известный интерес уточнения результата Е.М. Ландиса для конкретных операторов — в частности, для оператора Лапласа с числом переменных более двух (при двух переменных вопрос сводится к теоремам Фрагмена—Линделефа для аналитических функций).
Известны результаты Аршона И.О., Иглицкого М.Д., Пака М.А. для гармонических функций трех переменных в полупространстве, полуцилиндре, конусе.
Теорема(Аршон). Пусть и(Х^) 'гармоническая функция трех переменных в неограниченной области I) , содержащей внутри себя конус V :
7Г
8и£(ж ± i у/у2 + г2) | <
2/го ’
г = у/х2 + у2 + г2 > а (х > 0).
Если внутри I)
|п(Х)| < Сехр{—гл°+т/} (0.1)
с любыми фиксированными С > 0 и Но > 1, г/ > 0 , т,о
и{Х) = 0.
Эти и близкие вопросы рассмотрены в большом количестве работ: Л. Хёрмандера, В.З. Мешкова, И. А. Киприянова, В.В. Катрахова и ДР-
В настоящей диссертации рассмотрен случай, когда в условии (0Л) теоремы (Аршона) от Т] > 0 можно избавиться. Кроме того, как следует из доказательства, указан метод применимый к вопросам об убывании гармонической функции в телах вращения
6
пространства Пп . Из которого следует, что при некоторых довольно естественных предположениях на тело вращения характер убывания гармонической функции будет такой же как и в плоском случае.
В §5 доказан критерий существования ненулевого решения уравнения Гельмгольца в некоторых линейных функциональных пространствах.
Пусть Т1 ^ 2 — фиксированное натуральное число, ИР' — вещественное евклидово пространство размерности 71 с евклидовой
нормой
. fix) локально суммируемая в Rn функция. Предположим, что при некотором фиксированном Г > 0 и почти всех (по мере о!ебега) X £ Rn имеет место равенство
f{x) da = 0, (0.2)
S(x,r)
где S(х ? Т) — сфера с центром X и радиусом V в Rn с ее нормированной поверхностной мерой (1(7 . В данный момент подробно исследован вопрос: верно ли, что /О) ненулевая функция ? В общем случае ответ отрицательный, однако при некоторых дополнительных предположениях равенство J (х) = 0 имеет место. Одним из таких предположений является ограничение роста J (х) на бесконечности. Первые результаты в этом направлении принадлежат Ф. Иону и Д. Смиту (14],[41, стр. 102], которые установили, что если f(x) € C(Rn) с условием
- Київ+380960830922