Краевые задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге

г
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................... 3
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР
ЛИТЕРАТУРЫ .................................... 21
§1.1. Основные понятия и обозначения ............... 21
§ 1.2. Об одном методе решения обобщенной задачи Гильберта
для аналитических функций в круге ............. 24
§ 1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для
полианалитических и метааналитических функций . 37
ГЛАВА II. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В
КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ ..................... 40
§2.1. Постановка основных классических задач типа Г ильберта 40
§2.2. Методы решения задачи ГК1 .................... 41
§2.3. О решении задачи Гю .......................... 72
ГЛАВА III. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ ....................... 87
§3.1. Постановка основных неклассических задач типа
Г ильберта .................................... 87
§3.2. Метод решения неклассической задачи Г'т для
обобщенных метааналитических функций в круге .. 88
§3.3. О решении неклассической задачи Гю для обобщенных
метааналитических функций в круге ............. 108
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................... 118
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .............. 119
ВВЕДЕНИЕ
Теория краевых задач для аналитических функций и различных их обобщений в настоящее время является одним из бурно развивающихся разделов теории функций комплексного переменного. Устойчивый интерес многих ученых к исследованию различных вопросов этого раздела математики обусловлен, прежде всего, наличием большого числа практических приложений и тесными связями с другими математическими теориями. Еще в начале XX века Г.В. Колосовым [35] было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции, т.е. решения обобщенного уравнения Коши-Римана:
^=0, (0.1) дг
д 1 ГД6 дг ~2
' д .а4 —+*—
- дифференциальный оператор Коши-Римана.
ду)
Кроме того, теория краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [5], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [14] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [15], [31], [42], [44], [45], [60], [66], [86].
Следует отметить, что, благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [14], Н.Г1. Векуа [ 15]-[ 16], Ф.Д. Гахова [20],
Э.И. Зверовича [28]-[29], Д.А. Квеселава [32], Г.С. Литвинчука [39], С.Г. Михлина [41], Н.И. Мусхелишвили [42]-[43], Л.И. Чибриковой [77] и многих других математиков, классическая теория линейных краевых задач в классах аналитических функций на сегодняшний день представляет собой хорошо систематизированную отрасль знаний. Однако при решении многих вновь возникающих прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории оказывается недостаточно. Поэтому при постановке краевых задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных
4
и искомых функций, о границах рассматриваемых областей и о других параметрах задачи.
Российскими и зарубежными авторами в последние два-три десятилетия опубликовано значительное количество оригинальных работ в области краевых задач комплексного анализа, исследования в которых ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функций, комплексно сопряженных с искомой; исследуются краевые задачи в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного (бианалитические, метааналитические функции) [45]-[52], [60], [62], [64]-[66], [81]-[85].
Следуя K.M. Расулову (см. [45], с. 14), краевую задачу для решений дифференциального уравнения второго порядка (0.1) будем называть классической, если в ней требуется найти решения уравнения (0.1) по двум независимым краевым условиям; если же требуется найти решения дифференциального уравнения (0.1) лишь по одному краевому условию, то такую краевую задачу назовем неклассической.
Среди классических краевых задач для бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1)) наиболее часто встречающимися в математической литературе и приложениях являются следующие две задачи типа Гильберта: в конечной односвязной области Т\ ограниченной простым замкнутым гладким контуром у, требуется найти бианалитическую функцию F(z) = t/(x,y) + /P(x,y), удовлетворяющую на у одному из следующих краевых условий'.
Задача ГК1.
Rc{A0(OF40} = ?o(0>
Re{MÖ^r^}=<7,(0;
з».
(0.2)
5
Задача ГК2.
Re{MÖF+(0} = ?0('),
Re{^(/).AF+(0} = ^(0, 1 '
^2 q1 q
где F+(r)= lim F{z), Д = —- +—г- - оператор Лапласа, ------- - производная по
*-**г дхг ду дпм
внутренней нормали к у, а hk(t), qk{t) (Je = 0,1) - заданные функции точек контура у, удовлетворяющие условию Гёльдера вместе со своими производными до второго порядка включительно (т.е. hk{t), qk(t) е Н{2)(у)\ причём Л*(/)*0 на у.
Впервые задачи вида (0.2) и (0.3) в классах бианалитических (полианалитических) функций были изучены в начале второй половины прошлого столетия в работах В.С Рогожина [61] и М.П. Ганина [18]-[19].
Большой вклад в развитие теории классических краевых задач для бианалитических функций и их различных обобщений внесли В.А. Габринович [17], K.M. Расулов [45]-[52], И.А. Соколов [64]-[66], М. Canak [81]-[82], В. Damjanovich [83]-[84] и др.
Начало систематическому исследованию неклассических краевых задач для уравнения (0.1) было положено в работах A.B. Бицадзе [9]-[11]. В работе [9], в частности, было установлено, что задача отыскания функций, бианалитических в круге Kr ={z:|z|<r,r>0} и непрерывных в замкнутом круге
Kr - {z :\z\ < г,г > 0}, по краевому условию (однородная задача Дирихле)
F(0 = 0, tey, (0.4)
где y = {r:|/| = r} и Г(/)= lim F(z), имеет бесконечно много линейно
1 1 ;-*!с/
независимых решений и, следовательно, не является нетеровой.
В дальнейшем изучение неклассических краевых задач велось в работах
A.A. Закаряна [26], [27], K.M. Расулова [45], [50], [52], Товмасяна [68], [69],
Н.Т. Хопа [72], [73] и др. К числу наиболее часто встречающихся в математической литературе неклассических задач в классах бианалитических
6
функций можно отнести следующие две задачи (см. также [11], [26], [62]).
Требуется найти бианалитическую в области Г* (Т~) функцию Т(г) = и(х,у) + 1У(х,у), удовлетворяющую на контуре у одному из следующих краевых условий:
Задача Гм •
Задача Г\2.
AF+(/) + G(r)F*(/) = g(0; (0.5)
арчо
дп
♦
D2 д2 д
где F*{t)- lim F(z), Д = —т-+—Т - оператор Лапласа, — - производная по
дх ду дп+
внутренней нормали к у, a G(i), g(t) - заданные функции точек контура у,
удовлетворяющие условию Гёльдера вместе со своими производными первого
порядка, причём G(t)* 0, tey.
Естественным обобщением классических краевых задач (0.2), (0.3) и
неклассических краевых задач (0.5), (0.6) являются аналогичные краевые задачи
в классах метааналитических в области V функций, т.е. для функций,
являющихся регулярными в области Г4 решениями дифференциального
уравнения вида
d2F(z) dF(z) т 7ч
—zH + ai + aoF& = 0> (°-7)
dz oz
где а,, а0 - комплексные постоянные.
Известно (см., например, [5]-[7], [30], [45]), что если Л0 и А, - корни характеристического уравнения
А2 + я, А + üq = 0, (0-8)
то общее решение уравнения (0.7) в области Т¥ можно задавать в виде
r(z) = [<Po(z) + z <p;(z)]если А0=А), (0.9)
или
7
Р{.г) = <рЦ?)-е*** +фЦ.г)-ег'*, если Л,* Л,,
(0.10)
где (р1(1),(р1{2) - произвольные аналитические в V функции. В частном случае, когда а, =а0 =0, решения уравнения (0.7), очевидно, образуют класс бианалитических в Г+ функций.
Следует отметить, что исследованию классических и неклассических краевых задач в классах метааналитических функций посвящено большое количество оригинальных работ [4], [6], [13], [24], [25], [30], [34], [40], [45], [63] и др.
В работе [40] было установлено, что основные качественные свойства метааналитических функций (внутренние и граничные теоремы единственности и др.) остаются справедливыми и для более общих классов функций; в частности, для класса функций комплексного переменного Ь\г), представимых в области Г+ в виде
где <р* (г), (р,+ (г) - произвольные аналитические (голоморфные) в Т+ функции, а Л* (г), Я, (г) - заданные функции, аналитические в области Т*, для которых вронскиан
системы функций е*«* не обращается тождественно в нуль в Т\
Всюду в дальнейшем функцию представимую в области Г+ в виде (0.11), мы называем обобщенной метааналитической функцией первого типа. Аналогично, функцию Г(г), представимую в области Т* в виде (0.12) и для которой вронскиан (0.13) не обращается тождественно в нуль в Г+, будем называть обобщенной метааналитической функцией второго типа.
Нг) = №1 (г) + г■ (г)]• ем’>!, геГ,
(0.11)
ИЛИ
Я*) = <р1 (I) • «*<*>г + ч>; (г) • , г е Г*,
(0.12)
ем’)!
(0.13)
8
Насколько нам известно, задачи ГК1у ГК2, Гм и rN2 до сих пор оставались не исследованными в классах обобщенных метааналитическнх функции. Поэтому разработка методов решения краевых задач ГК1, ГК2, /д7> /ли Для обобщенных метааналитическнх функций, а также исследование картин их разрешимости является на сегодняшний день актуальной проблемой теории краевых задач комплексного анализа.
Основной целью настоящей диссертации является разработка общих методов решения и исследование картин разрешимости основных классических краевых задач типа Гильберта Гк, и Гк2, а также неклассических краевых задач типа Гильберта Гм и Гм в классах обобщенных метааналитических функций в единичном круге Т* ={z: |z| < 1}.
Перейдем к краткому изложению содержания работы.
Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из трех параграфов.
В параграфе 1.1 приводятся основные и наиболее часто используемые понятия и обозначения.
Параграф 1.2 посвящен изложению некоторых фактов из теории краевых задач для аналитических функций, играющих важную роль при исследовании задач ГК!у ГК2, Гм и Г#2 в классах обобщенных метааналитических функций. В частности, здесь приводится один из методов решения обобщенной задачи Гильберта в классах аналитических функций.
Параграф 1.3 посвящен обзору литературы по теме диссертации.
Вторая глава «Классические краевые задачи в классах обобщенных метааналитических функций в круге» содержит в себе три параграфа.
В пара1рафе 2.1 даны точные постановки задач ГК1 и ГК2-
Параграф 2.2 посвящен изложению методов решения задачи ГК1. В зависимости от вида искомых обобщенных метааналитических функций ((0.11) или (0.12)) отдельно рассматриваются два случая.
В пункте 2.2.1 разработан метод решения задачи Гщ в классе функций вида (0.11), суть которого заключается в сведении решения рассматриваемой
9
задачи к последовательному решению двух хорошо известных краевых задач: обобщенной (с интегральными членами в краевом условии) и обычной задачам Гильберта в классах аналитических функций.
Далее кратко опишем логическую схему разработанного метода.
Используя общее представление искомых функций (0.11), краевые условия (0.2) задачи Гк/ записываются в виде
Res
Re
= 9о(0,
(0.14)
А,( О
+ Re
dt dt dt
(0.15)
Отметим, что равенства (0.14) и (0.15) можно рассматривать как развернутую форму записи краевого условия следующей обобщенной векторно-матричной задачи Гильберта относительно аналитического вектора
W*)J
Re
D, + Da(t)<p* (t)
dt
= Q( 0,
(0.16)
где ö(0 =
Г4о('Я
MO)
, a Z>0(/) и D,(/) - вполне определенные матрицы, элементы
которых выражаются через коэффициенты краевых условий (0.2), причем здесь dct Д (г) - 0, / е у • Следовательно, векторно-матричная задача Г ильберта (0.16) является вырожденной.
Далее для решения вырожденной векторно-матричной задачи Гильберта (0.16) используется метод, общая идея которого была впервые предложена в монографии K.M. Расулова [45].
Сначала краевое условие (0.14) переписываем в виде
Считая временно функцию ()0(1) известной, решаем обычную скалярную задачу Гильберта (0.17) относительно аналитической в круге 7” функции (рЦг). Используя формулу для общего решения обычной задачи Гильберта (0.17),
получаем соотношение, связывающее граничные значения аналитических
компонент <р*й (г) и (г):
Ро*(0 = -уРГ(0+ /4(/,г)р,+ (г)</г + |5,(/,г)^4(гУг + О0(0, (0.18)
г г
где функции Л,(/,г), Вх(1,т)е Н12\уху) и О0(/) е Н(2\у) определенным образом выражаются через известные функции Л0(/)> ?0(/).
Дифференцированием из (0.18) получаем
ж_1Ю£)+\_ (о.19)
Ш ( ш г Зг д1 * а ш
Наконец, подставляя в левую часть равенства (0.15) вместо <рЩ) и ——
Ж
их значения, задаваемые формулами (0.18) и (0.19) соответственно, будем иметь:
Яе
Р|('Ж(0+ /л„(/,г)р,+ (г)</г + |5,,(/,гХ(г)^г
= 0,(/), (0.20)
где 0,(0, Р|(0вЯ0)(у), Л11(/,г),5м0,т)€Я:,)0'ху),причем р,(0*0, /€у.
Равенство (0.20) представляет собой краевое условие хорошо известной в теории краевых задач (см., например, [20], [45]) обобщенной задачи Гильберта нормального типа относительно аналитической в круге Т* функции (р'{г).
Далее, решая обобщенную задачу Гильберта (0.20), найдем первую аналитическую компоненту ^,*(2). Затем, подставляя граничные значения