ч-
Содержание
Введение .........................................................3
Глава 1. Приближение операторами Баскакова функций с разрывными производными ......................................... :.........16
1.1. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства ...............................................................17
1.2. Поведение величины Мп{/{г)>х + 2гп~]), если х - изолированная
точка разрыва (0..................................................22
2 г
1.2.1. Оценка величин Мп((',0) 9 Л/п(/',—) и некоторых дру-
и
гих...............................................................22
1.2.2. Вспомогательное утверждение .....................25
1.2.3. Оценка приближений 2п -периодических функций вблизи
точки, где (0 имеет разрыв первого рода . 28
1.3. Свойства функций Ф, (г) ...............................29
1.4. Элементарные свойства функций Ф, (г) при т~2.........48
Г лава 2. Линейные комбинации операторов Баскакова................................51
2.1. Вводные замечания............................................52
2.2. Линейные комбинации операторов М*1,(1) и М^к).........54
2.3. Линейные комбинации операторов А/*1](1), М*1,<2) и М1п1](к) ..56
Заключение........................................................62
Приложение 1 .....................................................63
Приложение 2......................................................68
Литература..................................................................................................................
2
Введение
По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева [29] 1854 г., в которой он задастся вопросом: как паи лучшим образом приближенно представить заданную функцию?
В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начато в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона [28] и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского [25] и многих других, нашло весьма полное освещение во многих моншрафиях и обзорных статьях.
Первым .методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье [12].
Однако, в 1876 году П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2яг -периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно [28].
Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблем}' равномерного приближения непрерывных функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую
функцию с порядком 0(/Г1) (в том числе и 5Ш/). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0(п2). Операторы Фейера и Джексона укладываются в
некоторую общую схему. Они получаются с помощью гак называемых методов суммирования рядов Фурье.
В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коровкина [23].
В работе В.А. Баскакова [9] была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков [10] нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие - тригонометрические операторы Баскакова.
Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов следует отметить статьи Ю.Г. Абакумова [2], Е.С. Коган [21], Т.В. Дубровиной [13].
Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математической науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.
Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.
В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (С.М. Никольским, П.П. Коровкиным, С.Б. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.
В диссертации рассматривается приближение периодических функций специального вида (точнее будет сказано далее) тригонометрическими полиномами. Норма разности функции и полинома определяется ра-
4
венством |і/(*) - р(*)|| = вирЩх) - р(х)|. Если /(*)- непрерывна, то
-V
такая норма называется чебышевской. Название связано с тем, что П.Л. Чебышев поставил и в принципе решил (нашел критерий) задачу поиска полинома, наименее уклоняющегося от функции именно в смысле выше указанной нормы.
Ряды Фурье приближают в чебышевской метрике любую 2я -периодическую дифференцируемую функцию, то есть, если /(/)“
дифференцируема, то Нт||5„(/(/)**)- /(^)|| = О-
и-->с©
Ряд Фурье функции /(х) имеет вид
/(х) ~ сияк* ч-^віпАд:), (1)
2 А=1
\\ \\
где ик=— }/(/)соъкШ, Ък - — І/(()ьіп кіїїґ.
Отрезок ряда (1)
^„(/(О,*) = ~ + £(<** совАх + Ьк віп Ах) (2)
2 а=1
называется частной суммой Фурье (или просто суммой Фурье) порядка п.
Задачу равномерного приближения любой непрерывной 2л -периодической функции можно решить, используя операторы Фейера
. 2 М
(И } I Ъ 5|П V
<7„(/«),*)= 2Х(/(0,*) / л — —^ I/(г + X) (3)
и* ^ 2л"-* 8ІПЛ
2
Для любой непрерывной 2л -периодической функции /(/) (то есть для АОє^2* ) выполняется ИшЦсг (/(/),х) - /(я:)|| = 0.
и—>00 "
Операторы Джексона в интегральной форме имеют вид
2>„(ДО,*) = --Л-- {/« + *)
2яя(2п +1)
Г . я* >
ЯШ —
. / 8Ш —
2;
4
Л - (4)
Методы суммирования рядов Фурье представляют собой правила нахождения элементов матрицы
Л = {ЛмК п = 0,1,2,..., к = Um jj(n) = co!
’ Л—>00
а операторы
л, *12) / \
£„(Л,/(/),*) = + + E-**,,,("*c°sfcv + 6*sinA*) (5)
2 А=1
называются Л-средними сумм Фурье или просто Л-средними. Коэффициенты называются множителями суммирования.
Применив преобразования, операторы (5) можно записать в виде
-1
л {1 ч(п)
(Л,/(/),*) = ти ! + ХІ-+ Z Я, cos(A/)
[2 к-\ J
dt.
1 ^('О
Функцию« (*) = -- + X Я, ео8(А/) называют ядром оператора Ьп . п 2 к = \ 1,1
к
Для операторов Фейера множители суммирования Як = 1------------, для
п
операторов Джексона т}(п) = 2« - 2, при 0 < к < п - 2
2л(2л +1)
(2л-А + 1)! (л-А + 1)!
((2 л - А - 2)! (л-А-2)!
при л - 2 < А 5 2л - 2, Д. =__________________*_______________(2л - А +1)!
•" 2л(2л2 + 1) (2л - А - 2)!
ГлУ
Для операторов Зигмунда Хкп = 1 — 1 — 1 , Д > 1.
Для операторов Коровкина
з ft Л ^ Ля- I . кл л
Ак,п = 1 г cos н sin ctg .
V п + 2) /1 + 2 // + 2 /1 + 2 ц + 2
Также для операторов Коровкина известно интегральное представление
- Київ+380960830922