Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью

Оглавление
Введение 3
Глава I. Дифференциальные уравнения е регулярной особенностью 8
§ 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с особенностью . 8
§ 2. Теорема равносходимости..................................... 20
§ 3. Постановка обратной задачи. Спектральные данные ......... 32
§ 4. Теорема единственности решения обратной задачи.............. 54
Глава II. Решение обратной задачи 57
§ 1. Вспомогательные утверждения................................. 57
§ 2. Основное уравнение обратной задачи.......................... 70
§ 3. Алгоритм восстановления дифференциального оператора по спектральным данным............................................. 82
§ 4. Необходимые и достаточные условия на спектральные данные .... 91
Литература
102
Введение
з
Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки но заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратпых задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полно изучены обратные задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
-y" + q{x)y (0.1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А.Амбарцумяну [72], который исследовал исключительный случай восстановления потенциала q{x) по спектру. Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г.Борга (76]. Он доказал единственность восстановления функции q(x) на. конечном интервале по двум спектрам дифференциального оператора ПГтурма-Лиувилля с одним общим краевым условием. Аналогичный факт был установлен Н.Левинсоном [83], но для других спектральных характеристик. В работе Л.Н.Тихонова [52] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.
Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратной задачи оператор преобразования первым применил В.А.Марченко [30], [31]. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.
Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М.Г.Гасымова, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна, Б.М.Левитана, Ф.С.Рофе-Бекетова, Л.Д.Фалдссва и других [4], [11], [13], [21] - [24], [30] - [34], [45], [54], [55], [75], [78], [80] - [82], [85].
Многие приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными
4
операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами
п-2
УЫ + £рЛ*)»0) (0.2)
3=0
В сравнении с дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля, обратная задача для операторов (0.2) сложнее для изучения. В различных постановках она исследовалась в [25] - [28], [47] - [49], [57] - [59], [62] - [66], [68], [70], [73], [74] и др. В работах Л.Ф.Леонтьева [29], В.И.Мацаева [35], М.К.Фаге [53], Л.II.Хромова [60] выяснено, что оператор преобразования при тг > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако в случае аналитических коэффициентов [47], [56] операторы преобразования имеют- такой же треугольный вид, как и для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В частности, М.Г.Гасымов [10], Л.А.Сахович [47] - [49], И.Г.Хачатрян [57], [58] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного” оператора преобразования.
В работах З.Л.Лейбснзона [25]-[28] исследовалась обратная задача для дифференциального оператора (0.2) на конечном отрезке при условии "разделеино-сти” спектров. З.Л.Лейбонзон предложил эффективный метод решения обратной задачи, основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н.Левинсона [83]. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах В.Л.Юрко, Д.ВеаЬ, Р.БеШ, С.Топки, Х.ХЬои [62]-[66], [68], [70], [73], [74], [79], [90] - [92].
Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю.Е.Аниконова, К).М.Березанского, А.Л.Бухгейма, И.А.Васина, В. В. Дубровского, А.Б.Костина, Л.П.Нижника, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, В.А.Садовничего [1] - [3], [5], [15] - [17], [38], [41] - [44], [86].
Данная работа посвящена исследованию обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью
(у = у(п) + £ + %(*)) уи) (0.3)
3=0
на конечном отрезке. Дифференциальные операторы (0.3) возникают н различных разделах математики и их приложениях (см. [6], [7], [14], [84] и литературу в них). К уравнениям с особенностью £у = Ху также сводятся многие дифференциальные уравнения с точкой поворота, например, уравнение
2г(п)(*) = Аг(*).г(г), г > 0. г(г) ~ а*7, I -л +0, 7 > 0,
5
и другие более общие уравнения. Точки поворота появляются в теории упругости, оптике, геофизике и других областях естественных наук. Обратная задача для уравнений с точками поворота и особенностями используются, в частности, при исследовании разрывных решений уравнений математической физики (см., например, [77]).
В случае п = 2 прямые и обратные задачи для операторов с особенностью (0.3) исследовались в работах многих авторов [7]-[9], [18], [39], [50], [89]. При произвольном п прямые задачи исследовались в [6], [67], [71]. В работе В.А.Юрко [67] построены специальные фундаментальные системы решений для дифференциального уравнения с особенностью £у = Ху , получена асимптотика множителей Стокса для построенных фундаментальных систем решений. В работе [71] получена асимптотика спектра краевых задач для дифференциального оператора (0.3), доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций в соответствующих пространствах, получена теорема о разложении в равномерно сходящийся ряд но собственным и присоединенным функциям. В отличие от обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью на полуоси, исследовавшейся в работах В.А.Юрко [67], [69], [88], обратная задача на конечном отрезке до сих пор не была изучена.
Наличие особенности у дифференциального оператора (0.3) вносит существенные трудности в исследование обратной задачи. Оператор преобразования не годится для этих целей ввиду сложности своей структуры. Поэтому в данной работе реализован иной подход, связанный с развитием идей метода контурного интеграла. Важную роль в этом методе играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью (у = Ху , построенные в [67].
Дополнительную трудность в исследование обратной задачи вносит кратность спектра. В этом случае даже для оператора без особенностей вида (0.2), коэффициенты которого являются суммируемыми функциями, открытым является іюнрос о постановке и решении обратной задачи. В данной работе вводятся дискретные спектральные данные - совокупность спектров (п—1) -ой краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и матриц порядка п . Введенные спектральные характеристики можно рассматривать как обобщение спектральных характеристик, известных для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В данной работе доказана теорема едипствеипости восстановления коэффициентов дифференциального оператора по спектральным данным. Также получено конструктивное решение обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Центральным местом здесь является построение и исследование так называемого основного уравнения обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная
6
задача сводится к решению линейного уравнения. Доказана однозначная разрешимость этот уравнения. Возникающие при этом трудности, связанные с наличием особенности и кратностью спектра, преодолеваются введением дополнительного параметра в основное уравнение обра тной задачи, а также выявлением и использованием структурных свойств спектральных характеристик.
Данная диссертация состоит из двух глав. В главе I производится исследование спектральных свойств операторов с особенностью, дается постановка обратной задачи, доказывается единственность ее решения. В §1 вводится дифференциальное уравнение с особенностью, строятся специальные фундаментальные системы решений, вводятся краевые задачи 5*, к = 1,п — 1 приводится асимптотика их спектров.
§2 посвящен равносходимости разложений в ряд Фурье по системе собственных и присоединенных функций краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и по тригонометрической системе внутри конечного интервала. Для этот используется метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В случае, когда V} = 0, 3 = 0, и — 2 , равносходимость имеет место для всякой суммируемой
функции, что совпадает с результатом, полученным М.Стоуном [87]. Отметим, что вопросам равносходимости посвящены также работы [19], [20], [36], [46], [51], [61] и многие другие.
В §3 вводятся спектральные данные - совокупность спектров (я — 1) -ой краевой задачи 5'* и матриц 91_*_1,Р(А0); выявлены структурные свойства спектральных характеристик.
В §4 главы 1 доказана единственность восстановления дифференциального оператора с регулярной особенностью по спектральным данным.
Глава II диссертации посвящена построению конструктивного решения обратной задачи. В §§ 1-2 строится основное уравнение обратной задачи
которое при каждом фиксированном х является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве. Здесь уз(аг) - элемент этого пространства., подлежащий определению, а элемент (р(х) и оператор 6'(.т) строятся по известному модельному дифференциальному оператору
и заданным спектральным характеристикам дифференциального оператора (0.3).
В §3 доказана разрешимость основного уравнения обратной задачи, получены явные формулы для коэффициентов дифференциального оператора (0.3), пред-
Щх) = (Е + 5(х)) ф),
7
ложен алгоритм восстановления дифференциального оператора по спектральным данным.
§4 посвящен наиболее трудному вопросу: получению необходимых и достаточных условий, дающих описание спектральных данных. Эти условия получены опираясь на основное уравнение обратной задачи. При этом используются структурные свойства спектрльных данных, выявленные в предыдущих параграфах.
Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [93]-[102].
Автор выражает искреннюю благодарность доктору физ.-мат. наук, профессору В.А.Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.
8
Глава I. Дифференциальные уравнения с регулярной особенностью
В данной главе изучаются спектральные свойства дифференциальных операторов с регулярной особенностью (0.3). Строятся специальные фундаментальные систем решений дифференциального уравнения Су = Ху , исследуется их поведение в окрестности нуля по х и при стремлении спектрального параметра Л к ос . При построении фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью элементарными решениями простейшего уравнения являются уже не экспоненты, а функции, являющиеся обобщением решений Ханкеля уравнения Бесселя. Важное значение здесь имеют асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построенных фундаментальных систем решений. Существенную роль как в прямой так и в обратной задачах играют построенные в работе фундаментальные системы решений Вейля и матрица Вейля дифференциального оператора с особенностью, являющихся обобщением классических решений Вейля и функций Вейля для задачи Штурма-Лиувилля (см., например, [24]). Опираясь на свойства фундаментальной системы решений Вейля и матрицы Вейля проводится исследование спектральных свойств краевых задач. Доказана теорема равносходимости разложений в ряд Фурье но системам собственных и присоединенных функций.
Далее дается постановка обратной задачи. Для этого вводятся дискретные спектральные данные, являющиеся обобщением спектральных данных для классического дифференциального оператора Штурма-Лиувилля без особенности. Установлена связь между спектральными данными и коэффициентами главной части разложения в ряд Лорана матрицы Вейля в окрестности точек спектра. Доказана единственность восстановления дифференциального уравнения по спектральным данным. Основные трудности здесь связаны с получением и исследованием специальных структурных свойств спектральных данных и наличием неинтегрируемой особенности.
§ 1. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с
В данном параграфе вводятся дифференциальные уравнения с регулярной особенностью, строятся специальные фундаментальные системы решений, изучаются их свойства. Введены краевые задачи для дифференциального уравнения с особенностью, исследуется поведение их спектров.
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
особенностью
О < X < Г,
(1.1)