ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...........................................................4
Предварительные обозначения и терминология........................27
Глава 1 Отображения с ^-усредненной характеристикой..............37
1.1 11екоторыс необходимые сведения из теории непрерывных отображений...............................................37
1.2 Определение отображений с ^-усредненной характеристикой...........................................42
1.3 11ример отображения с х усредненной характеристикой 46
1.4 Связь классов отображений с х-усредненной характеристикой с некоторыми другими классами пространственных отображений..............................51
Глава 2 Аналитические свойства отображений с
^-усредненной характеристикой.............................71
2.1 Теоремы о дифференцируемости отображений с
х-усрсднснной характеристикой. Достаточные условия того, что /е^„‘+5> ,„«;(£>)...........................71
2.2 Полунепрерывность снизу отображений с х-усредненной характеристикой..........................................7 6
Глава 3 Некоторые геометрические свойства отображений
с ^-усредненной характеристикой...........................83
3.1 Определение и свойства модуля семейства кривых.
Теорема об оценке.........................................84
3.2 Поведение отображений с /-усредненной характеристикой
в окрестности изолированной особой точки..................90
3.2.1 Оценка искажения евклидовых расстояний..............91
3.2.2 Теорема о порядке роста.............................93
3.3 Искажение модуля семейства кривых для отображений с /-усредненной характеристикой. Эквивалентность аналитического и геометрического определений.................95
Заключение..........................................................112
Литература..........................................................113
3
Введение
В последние десятилетия XX века начала интенсивно развиваться важная часть теории функций многих переменных - теория пространственных квазиконформных отображений и их обобщений. Теория плоских квазиконформных отображений, как обобщение классических конформных отображений, возникла в конце 20-х годов XX века в работах Г. Греча и М.А. Лаврентьева. Ее зарождение было обусловлено как внутренними потребностями комплексного анализа, так и его практическими приложениями. За годы своего существования теория плоских квазиконформных отображений стала хорошо разработанной областью теории функций комплексного переменного и нашла широкое применение для решения классических задач динамики и сплошных сред. Например, задача о волновом движении тяжелой жидкости, задача о струйном обтекании контура и др. Достаточно полное изложение теории таких отображений дано в монографиях [3], [4], [22], [26], [40] [83] и др.
Понятие пространственного гомеоморфного квазиконформного отображения было введено М.А.Лаврентьевым [27] в 1938 г. в поисках подходящего аппарата для построения математических моделей некоторых явлений гидродинамики, в частности пространственного течения сжимаемой среды. Изучение класса пространственных квазиконформных отображений представляет особый интерес, так как он достаточно широк, по сравнению с классом конформных отображений, который, согласно известной теореме Лиувилля (1850 г.), исчерпывается лишь преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями конечного числа инверсий относительно сфер или плоскостей, что приводит к невозможности переноса техники получения свойств квазиконформных отображений в 5£2 на изучение свойств пространственных квазиконформных отображений.
Начало интенсивных исследований в этой области относится к концу 50-х и началу 60-х годов. Одна из причин этого состояла в том, что методы,
4
развитые для исследования плоских квазиконформных отображений, оказались непригодными для изучения пространственных квазиконформных отображений, так как они в основном основывались на теории конформных отображений. Поэтому появилась необходимость создания новых методов. В этот период, благодаря работам Б. Фугледе, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, Б.В. Шабата и др. создается один из основных методов исследования свойств квазиконформных отображений, суть которого заключается в характеристическом свойстве квазиинвариантности конформных инвариантов (конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых или поверхностей) при квазиконформных отображениях пространственных областей. Применению этого геометрического метода посвящены монографии [11], [61], [66], [75], [93]. Обзор разнообразных эквивалентных условий квазиконформности гомеоморфных отображений содержится в [69].
Наиболее существенный вклад в развитие теории просгранственных квазиконформных отображений в эти годы внесли М.А.Лаврентьев, Б.В. Шабат, П.П. Белинский, Ю.Г. Решетняк, В.А Зорич, Г.Д.Суворов,
А.В.Сычев, И.П. Митюк, В.М. Гольдштейн, В.В. Кривов, В.М. Миклюков,
С.Л. Крушкаль, Б.Г1. Куфарев, В.В. Асеев, С.К. Водопьянов, А.П.Копылов, Л. Альфорс, Ф. Геринг, О. Мартио, С. Рикман, Ю. Вяйсяля, М. Вуоринен, Г. Андерсон, Р. Някки и др.
В середине 50-х годов в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений в частных производных возник интерес к изучению плоских, а затем пространственных отображений с ограниченными интегралами Дирихле. Однако объектом теории отображений этот класс стал только после того, как было замечено, что неравенство, уже давно используемое в теории аналитических функций и известное как «принцип длины и площади», вполне применимо к изучению и этих отображений, более общих, чем конформные. Отображениями плоских областей занимались Лелон-Фсрран [84], [85] Г.Д. Суворов [59], а также его ученики Б.П. Куфарев, И.С. Овчинников, В.М. Миклюков и др. Систематическое исследование
5
свойств пространственных отображений с ограниченными интегралами Дирихле началось с работы И.С. Овчинникова и Г.Д. Суворова [41].
Также в 60-е годы, наряду с продолжающимся развитием теории квазиконформных отображений, начинается и систематическое изучение пространственных квазиконформных отображений в И", >?>3, называемых отображениями с ограниченным искажением (или квазирегулярными отображениями). Аналитические методы исследования таких отображений были разработаны Ю.Г. Решетняком [47], а геометрический метод (как и в случае квазиконформных отображений) — метод модулей, основанный на свойстве квазиинвариантности конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, был предложен Ю. Вяйсяля, О. Мартио, С. Рикманом [87], и Е.А. Полецким [43], М. Вуориненом [94].
Естественным обобщением квазиконформных отображений являются гомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, поскольку в пространстве &я, п>Ъ существуют достаточно простые области, гомеоморфные шару, которые невозможно квазиконформно отображать на шар. При аналитическом определении таких отображений, ослабляя требование квазиконформности, предполагается ограниченность каких-либо интегральных средних от аналитических отклонений отображения. Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, рассматривались в работах [2], [4], [13], [17], [21], [25], [39], [48], [50], [54]-[58] и др.
Разнообразие классов пространственных квазиконформных
отображений обусловлено, прежде всего, тем, что каждый класс отображений отражает то или иное качественное свойство, присущее исследуемому классу отображений, что, в свою очередь, порождает различные приемы и методы исследования их свойств.
Разработке же общих геометрических методов, использующих емкостную и модульную технику, и их применению при исследовании свойств отображений, квазиконформных в среднем, посвящен ряд статей
В.И. Кругликова (см., напр., [17], [18]). Эти методы отражают законы
6
искажения емкостей конденсаторов при отображениях, квазиконформных в среднем, и по своей значимости они подобны соответствующим геометрическим методам в теории квазиконформных отображений.
Первые попытки систематического исследования свойств негомеоморфных отображений, квазиконформных в среднем (называемых также отображениями с искажением, ограниченным в среднем), при помощи геометрических методов были предприняты в 80-х годах XX века в работах [18], [20], [27], [62]. Общие геометрические методы, использующие
емкостную технику при исследовании свойств отображений с искажением, ограниченным в среднем, получены в работах [5], [6], [7], [8], [9], [20], модульную технику - в работах [27], [62] и др.
Следует отметить, что негомеоморфные отображения, квазиконформные в среднем, могут иметь неограниченными на компактах свои кратность и степень [19], [20], в отличие от отображений с ограниченным искажением, где, согласно теореме Ю.Г. Решетняка [45], данное обстоятельство не имеет места.
В последнее десятилетие XX века и до настоящего времени интенсивно изучаются различные отображения с конечным искажением [70]-[73], [76]—[82], [86] и др., естественным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квазирегулярные отображения. Во всех этих обобщениях,/ как и в классической теории, модульная техника играет ключевую роль. Имея в виду такую значимость модульной техники, профессор О. Мартио предложил следующую общую концепцию - теорию 0-гомеоморфизмов, основы которой были заложены в работах [38], [89], [90], а в работе [88] концепция 0-гомеоморфизмов была распространена на отображения с ветвлением, так называемые 0-отображеиия. Основной целью теории 0-гомеоморфизмов является изучение взаимосвязей свойств отображения /со свойствами мажоранты 0(х) (см. опр. 3.1.7).
7
Настоящая работа посвящена изучению негомеоморфных пространственных отображений, заданных на произвольной области £>с=1Й”, /7 > 3 и называемых далее отображениями с л-усрсдненной характеристикой. Данные отображения были введены в работе [32] в качестве естественного обобщения класса отображений с искажением, ограниченным в среднем (см. работы [17], [18], [24], [25], [55]). Используя модульную технику, нами описан общий геометрический метод исследования свойств отображений с .у-усредненной характеристикой - метод, базирующийся на оценках искажения модулей семейства кривых, полученных в данной работе для класса исследуемых отображений; теорема об оценке модуля, доказанная в третьей главе, указывает на непосредственную связь исследуемых нами отображений с вышеназванными классами гомеоморфизмов. Установлены некоторые аналитические свойства отображений с ^-усредненной характеристикой, такие как полунепрерывность снизу, дифференцируемость -достаточные условия того, что 1ос(£>). Показано, что класс*.
исследуемых отображений не пуст и обобщает класс отображений с искажением, ограниченным в среднем. Беглое представление о затрагиваемом здесь круге вопросов можно получить из оглавления.
Результаты работы имеют теоретическое значение, являются новыми и могут найти применение в различных областях теории пространственных отображений. Так, например, продолжая начатое в первой главе изучение взаимосвязей отображений исследуемого здесь класса с отображениями других классов, мы установили, что полученные включения позволяют распространить свойства хорошо изученных классов отображений на класс отображений с 5-усредненной характеристикой.
Например, можно установить, при каких условиях на 5 свойство равностепенной непрерывности (весового) класса отображений с (.?,ос)-усредненной характеристикой, 0*к'*(к90) [37], будет иметь место для некоторого подкласса отображений с ^-усредненной характеристикой.
8
С помощью геометрического метода исследования свойств отображений, описанного в третьей главе, - метода модулей и включений, полученных в первой главе, установлена эквивалентность геометрического и аналитического определений для отображений с .у-усредненной характеристикой, заданных на ограниченной области Ост К", п> 3. Найдены оценки модуля и законы искажения модуля семейства кривых, применение которых является ключевым моментом при изучении геометрических свойств отображений с у-усредненной характеристикой, таких как поведение отображений в окрестности изолированной особой точки (теоремы о порядке роста и искажении евклидовых расстояний (раздел 3.2 настоящей работы)). Результаты работы в дальнейшем позволяют изучить вопросы о соответствии границ и асимптотическом поведении отображений заданных на единичном шаре 5лсЕл, п > 3, о стирании особенностей, и др.
Содержание работы изложено в трех главах, имеющих свою нумерацию параграфов (разделов), разбитых, в свою очередь, на пункты. Для утверждений типа лемма, теорема и т.п. в работе принята тройная нумерация (глава, параграф, порядковый номер). Так, например, утверждение типа теорема 1.3.1 является первой теоремой § 3 главы 1. Формулы, на которые имеются ссылки в тексте работы, нумеруются четырьмя цифрами, означающими главу, параграф, утверждение и т.п., порядковый номер. Также для формул, ссылки на которые имеются только внутри некоторого утверждения, теоремы и т.п., предусмотрена вспомогательная нумерация, состоящая из порядкового номера со штрихом справа, например, (Г). В список литературы включены лишь те публикации, на которые имеется ссылка в тексте.
Все рассуждения в работе, если не оговорено особо, проводятся в д-мерном евклидовом пространстве К" при п > 3.
9
Переходя к содержанию диссертации, будем использовать предварительные обозначения и терминологию, приводимые сразу после введения, в разделе 1.1 главы 1 и в разделе 3.1 главы 3.
Основной целью первой главы является определение класса отображений с 5-усредненной характеристикой, представление примеров таких отображений, подтверждающих, что класс исследуемых отображений не пуст, а также сравнение с другими классами пространственных отображений, например, с отображениями с ограниченным искажением [47], с отображениями с искажением, ограниченным в среднем [13], [20], [27], [29], [42], [55] и др., а также с открытыми, непрерывными, изолированными отображениями с конечным интегралом Дирихле [41].
Содержание главы 1 изложено в четырех пунктах и опирается на работы [32], [33], [34].
После вспомогательного раздела 1.1, содержащего некоторые сведения из теории пространственных отображений, в разделе 1.2 дано аналитическое определение отображений с 5-усредненной характеристикой.
Пусть £>-область в К", п>3, и отображение /- открытое, непрерывное, изолированное, / 10С(О), .9 > 1/(д-1). Якобиан отображения
J(xyf) сохраняет знак почти всюду в О (для определенности возьмем
Определение 1.2.1. Отображение / называется отображением с Л^-усредненной характеристикой, если
2) Существует постоянная /С0>5 > 0 такая, что выполняется неравенство
Лх,Л> 0).
В каждой точке хей определим величину
х
1) /еИ'!,,«:(£>);
(1.2.1.1)
10
- Київ+380960830922