ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................... 3
Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в пространстве Харди Яр, 1 < р < оо . 18
§1.1. Определения и обозначения .............................21
1.1.1. Вспомогательные факты.................................21
1.1.2. Описание модулей непрерывности высших порядков........24
1.1.3. Наилучшее приближение функции /(г) € П #£2..........26
§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических
функций /(г) € Нр^ П НрГ}, 1 < р < оо, структурные свойства
которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости 28 §1.3. Верхние грани наилучших полиномиальных приближений на некоторых классах аналитических функций, задаваемых усреднёнными с весами модулями непрерывности высших
порядков или их мажорантами..................................40
§1.4. О некоторых обобщениях результатов Л.В.Тайкова и
Н.Айнуллоева о полиномиальном приближении аналитических
функций, принадлежащих классу ЯРУ2...........................49
Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди
Яр, 1 < р < оо...............................................54
§2.1. Определения и обозначения п-поперечников, классы функций . 54 §2.2. Значения п-поперечников для классов функций И
И$(Ф), И^Г,(Ф)...............................................61
/А
§2.3. О точных значениях п-поперечников для классов функций
/11., Лй(ф) .............................67
§2.4. Точные значения п-поперечников для классов функций
И^Цф,/*) и \У£\ф,ц)...................................70
Литература................................................76
Введение
В настоящее время вопросам наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций и вычисления точных значений различных поперечников классов аналитических функций посвящено достаточно много работ, где уже получен целый ряд окончательных результатов. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко |3| и Л.В.Тайкову (33-35]. Именно работа К.И.Бабенко [3] явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М.Тихомирова (36] и Л.В.Тайкова (33]. В последующих работах Л.В.Тайкова [34,35] и Н.Айнуллоева. и Л.В.Тайкова [2] в норме пространства Харди были получены точные значения поперечников в смысле Колмогорова некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё отражение в работах М.З.Двейрина (14-16], М.З.Двейрина и И.В.Чебаненко (17|, Ю.А.Фаркова [39],
S.D.Fisher (40], S.D.Fisher and C.A.Michelli (41], A.Pinkus |29], С.Б.Вакарчука [6-11], М.Ш.Шабозова (43-46], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова (47], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [48] и многих других математиков.
Целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие этой тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов функций, аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.
Приводим краткое содержание диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. Напомним, что
функция
оо
/(г) — 2 = ре1*, 0 < р < 1, 0 < /, < 2тг
Л-=0
- аналитическая в единичном круге \г\ < 1, принадлежит банахову пространству Яр, 1 < р < оо, если
р •= 11/11яр = Дт_о Мр(/, р) < оо,
(2тт
= := ІІ/ІІЯос = тах{ 1Лг)1 ; И^1}. Р = оо.
При этом норма функции /(г) Є Яр реализуется на её угловых граничных значениях /(£) := /(егі). Всюду далее через ЯРід, 0 < Я < 1 обозначим пространство Харди аналитических в круге \г\ < Я функций /(г), для
которых
Символом
№>1„ - 1|ЛЙ2>
< ОС.
Еп-1 (Яр := Е{/,'Рп-)) = 1пг|||/ -р„-1||р : Рп- 1(г) € ^-1}
обозначим величину наилучшего приближения функции }{г) € Нр> р > 1 подпространством полиномов Тп-х степени не выше гг — 1. Производную г-го порядка функции /(г) по аргументу £ комплексного переменного г = регЬ обозначим /а\г), а обычную производную г-го порядка обозначим /!г)(2)-При этом очевидно, что
й'Ч*) = /'(г) • и, $\г) = {Дг-,)(г)}^1), Г = 2,3.......
Соответствующие граничные значения производных обозначим через /а\ь) и Через Нр* (г € 2+, Яр°^ = Нр) обозначим множество анали-
тических в единичном круге функций /(г) € Яр, у которых }^г\г) 6 Яр,
1 < р < оо. Аналогичным образом, обозначим
Нр} = {/(2) € Нр, ||/|г)||р < 001, 1 < р < 00.
Если функция /(г) е Нр имеет непрерывные граничные значения /(£) € Ьр\0, 27г], то их гладкость охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности т-го порядка её граничных значений
Ыт(/; Ор = 8ир
£(-<)
/(+(т-к)т)
: 1т| < I
(1)
при £ -> 0, либо зададим скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усреднённой величины, содержащей с^т(/;£)р. В частности, из (1) для произвольной /(г) £ Н^ П имеем:
со
= 2т виР < ^2 к2г Ы2 (1 - сое кт)т : |т| < і У
(2)
“4(/(г);*)2 = 2т8ир і ^ а£г \ск\2 (1 - соэ(А; - г)г)т : |г| < Д , (3)
и=г+1 J
где оси,г = к{к - 1)... (А: - г + 1), к > г.
При решении экстремальных задач во всех основных результатах в качестве экстремальной функции выступает функция
/о(г) = *“ Є Я” П Л« 1 < р < оо,
модуль непрерывности т-го порядка которой в #р-нормс, при всех р Є [1, оо), имеет вид
- Київ+380960830922