- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Условные обозначения.......................................... 3
Введение...................................................... 5
Глава 1.
Элементы спектральной теории пар операторов
и обратимость разностных операторов.......................... 28
§ 1.1 Некоторые сведения из спектральной
теории пар линейных операторов....................... 29
§ 1.2 Об обратимости разностного оператора
с постоянными коэффициентами......................... 44
§ 1.3 Об обратимости разностного оператора
с переменными коэффициентами........................ -50
§ 1.4 Об обратимости замкнутого разностного оператора взвешенного сдвига
с переменными коэффициентам#......................... 61
Глава 2.
Обратимость и фредгольмовость разностных операторов
взвешенного сдвига и экспоненциальная дихотомия.............. 64
§ 2.1 Экспоненциальная дихотомия
на бесконечности..................................... 65
§ 2.2 Условия обратимости и фредгольмовости оператора V и структура ядер операторов
V ............................... *................. 74
§ 2.3 Структура образов операторов V и V' ................ 87
Литература.................................................. 92
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
К - поле действительных чисел;
С - поле комплексных чисел;
2 группа целых чисел;
Т множество точек, расположенных на единичной окружности комплексной плоскости;
р(А, В) - резольвентное множество пары линейных операторов (А В)\ (т(Л,В) = С \ р(А>В) - снекгр пары линейных операторов (А В);
С = Си {оо} - расширенная комплексная плоскость; д(АуВ) - расширенный спектр пары линейных операторов (А &)\ р(А.В) = С \ д(А,В) - расширенное резольвентное множество пары (Л. В);
X - комплексное банахово пространство;
Еп(1Х - банахова ачгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
и(п,т), п < т - семейство эволюционных операторов на группе целых чисел 2;
1р = /р(2, Х),р < оо - банахово пространство двусторонних последовательностей векторов из X, суммируемых со степенью р\
1х> = ^оо(2, X) пространство двусторонних ограниченных последовательностей векторов из X;
Нот(Х, У) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в У;
ЕЫХ = Нот{Х,Х)-у
С{Х,У) - множество линейных замкнутых операторов с областью определения в X и со значениями в У;
X = (Х(п),п 6 2), У = (У(п),п е 2) - двусторонние последовательности комплексных банаховых пространств с "вир"нормами;
-4-
1Р(Х, X) - банахово пространство таких х € что х 6 X, х(п) 6 Л'(п), п 6 2 и суммируемых со (ограниченных при р = оо) т.е. ^п^-оо 111(П)11Р < °°-
степенью р
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена вопросам обратимости некоторых классов разностных операторов.
Отметим важную роль, которую играют разностные операторы и связанные с ними разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом для описания процессов и явлений, происходящих в системах самой различной природы. Теория разностных уравнений находит разнообразные приложения во многих областях современной науки, в том числе, в биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования, теории принятия решений и др. Разностными уравнениями являются всевозможные рекуррентные соотношения. Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено, прежде всего, применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности, в работах А.Г. Баскакова [8-11|,Р. Веллмана и К.Л. Кука |17|, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [21], А.Б. Антоневича [1-4], П.П. Забрейко и Нгуен Ван Мияя [27|, В.Г. Курбатова [39,40], Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера [45], В.М. Тюрина |66], Д. Хенри [69].
Основные результаты диссертации связаны с исследованием условий обратимости разностных операторов в терминах экспоненциальной дихотомии методами спектральной теории пар линейных операторов.
Пара операторов {Л. В) возникает, например, при исследовании задачи Коши:
Вх = Ах, I € И*+, 1 < (ИтКетВ < +оо, (*)
-6-
.в которой линейные операторы А, В действуют из банахова пространства X в банахово пространство Y.
Работы, в которых фигурировали как операторное уравнение (*), так и тесно связанная с ним упорядоченная пара линейных операторов, действующих в банаховом пространстве, впервые появились в 70-х годах в работах С.П. Зубовой, К.И. Чернышова (28], А. Фавини [81], А.Г. Руткаса (см. |59]). При этом возникал регулярный операторный пучок, зависящий от малого спектрапьного параметра. Наиболее полное отражение полученные результаты нашли в работе С.Г. Крейна и К.И. Чернышова [35].
В последнее десятилетне появились работы И.В. Мельниковой, М.А. Алыпанского [46], Г.А. Свиридюка [61] и др., в которых фигурировал регулярный операторный пучок, зависящий от большого спектрального параметра.
Попытки изучать общую ситуацию начали предприниматься лишь совсем недавно, например, в работах А.Г. Баскакова и К.И. Чернышова (см. |15|).
Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX начале XX столетия. Так, в работах О. Перрона |85] •и А. Пуанкаре |87| изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.
Разностные операторы являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитец-ки [53] и П. Халмоша [67,68], а также в работах А.Г. Синая [31,34] и А.М. Степина [65] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривалась в работах И.К. Никольского [51,52], A.A. Миролюбова и М.А. Солдатова [47,48], Ю.Ф. Коробейника |33] и АЛ. Шилдса [89,90].
Спектральные свойства разностных операторов исследовались раз-
личными авторами. Например, структура спектра оператора взвешенного сдвига на группе вращений единичной окружности в комплексной плоскости, порожденного иррациональными вращениями окружности, изучалась в работах А.Б. Антоиевича [4), Ж. Диксмье (24), II.К. Карапегянца [29],
Э. Мухамадиева и Б.Н. Садовского [50], С. Парро [83].
Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов (см. [8.9,10,12,27,42,45,66,69|). Как правило, исследования обратимости дифференциального или связанного с ним разностного операторов проводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на К функций установлена О. Перроном [84,85]. Дальнейшие исследования в этой области продолжались Л.Д. Майзелем |44|, а для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами - X. Массера и X. Шеффером [45]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. Например, в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [22] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, причем сразу для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах 13.11. Жикова [26] и А.Г. Баскакова [8,10,12).
Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер [76], делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е. Слюсарчука [63] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными .операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспо-
-8 -
иенциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, ’получен в .монографии Д. Хенри |69|. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве /О0(г,Л'). Соответствующий результат для всех пространств получен в работах А.Г. Баскакова (8,10,12).
Вышеизложенное позволяет заметить, что разрешимость разностных и сводимых к ним уравнений, условия обратимости и фредгольмовости соответствующих разностных операторов и структура обратных операторов несомненно представляют собой важную область современного анализа. Исследованию условий обратимости разностных операторов и структуры обратных К ним операторов посвящена данная диссертационная работа.
Основные цели работы состоят в следующем:
- изучить условия обратимости разностного оператора с постоянными коэффициентами V вида (Т>х)(п) = Лх(п) - Вх(п - 1) где п е 2;
изучить условия обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами V вида (Т>х)(п) = А(п)х(п) - В[п)х{п - 1) где п € 2;
изучить условия обратимости и фредгольмовости разностного оператора V = / - В, где В - оператор взвешенного сдвига, семейство эволюционных операторов которого допускает экспоненциальную дихотомию на множествах - 1,т1} и {т^т2 +1,—} для целых чисел тх < т2.
Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием методов теории линейных операторов, гармонического анализа, функционального исчисления операторов, теории представлений абелевых групп и теории функций комплексного переменного, а также спектральной теории пар операторов.
Все результаты диссертации являются новыми. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:
- получены необходимые и достаточные условия обратимости разност-
- Київ+380960830922