Оглавление
Введение 3
1 Предельный спектр задачи Орра—Зоммерфельда с профилем, обладающим одним экстремумом на отрезке 16
1.1 Предельные спектральные кривые...........................19
1.2 Граф Стокса..............................................25
2 Асимптотика спектра задачи Штурма-Лиувилля на вещественной оси с потенциалом ^(х) = х2п 35
2.1 Граф Стокса..............................................38
2.2 Предельный спектральный граф.............................41
3 Квазиклассическое приближение для несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с потенциалом ц(х) = хл — а2х2 44
3.1 Кривые в Л-плоскости, соответствующие сложным графам
Стокса....................................................49
3.2 Классификация сложных комплексов Стокса..................59
Литература 67
2
Введение
В гидромеханике хорошо известно уравнение Орра-Зоммерфельда, которое возникает при линеаризации уравнения Навье-Стокса в пространственном слое (х,£, и) £ М3, где | х |< 1, (£,/') € М2, когда невозмущенное стационарное течение для скорости имеет форму (</(т),0,0). Это уравнение относительно функции у = у(х) (см. подробности, например, в монографии [37]) имеет вид
{(£>2 — а2)2 - іаЯ[д(х)(1У2 - а2) — д"(х)]}у = -гаЯ\(02 - а2)у, (1)
Здесь И = (1!(1х, а — волновое число (о: ф 0), возникающее при разделении переменных по (^, и) £ К2. Я — число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости, а Л — спектральный параметр. Обычно уравнение Орра-Зоммерфельда рассматривают с краевыми условиями
Задача Орра-Зоммерфельда изучалась многими авторами с начала XX века. Основные результаты и литературные ссылки можно найти в монографиях Драйзина и Райда [37], Дикого [7], а также в работах Гейзенберга, Вазо-ва, Липа и др (см. библиографию в [37]). В частности, вопрос о том, как ведет себя спектр задачи Орра-Зоммерфельда был поставлен еще Гейзенбергом.
Особый интерес представляет описание поведения спектра задачи (1), (2) при /?.-)■ оо. Число Рейнольдса Я обратно пропорционально вязкости жидкости, поэтому сформулированная проблема эквивалентна описанию спектра задачи Орра-Зоммерфельда для жидкости, близкой к идеальной. Долгое время считалось, что для решения этой проблемы важно знать спектр задачи Рслся
Задача Релея получается (после деления уравнения (1) на — гаЯ) формальным предельным переходом при Я -» оо и отбрасыванием "липших"краевых
У(-1) = = »(1) = !/'(1) = 0.
(2)
я(х){02 ~ °?)у - я"(х)у = К°2 ~ а2)У, у{-1) = 2/(1) = 0.
(3)
(4)
3
Введение
4
условий. Изучению спектра задачи (3) посвящена обширная литература, с которой читатель может познакомиться в статьях Лина [43] и монографии [37]. В действительности, как отмечено в [28], основная проблема описания спектра задачи Орра-Зоммерфельда при Я —> ос по существу не имеет отношения к задаче Релея. Известно [37], что спектр задачи Релея состоит из отрезка [т, М], где га и М - минимум и максимум функции </(я) (предполагается, что функция q(x) непрерывна), и, возможно, изолированных собственных значений вне этого отрезка. Первым, кто заметил, что спектр задачи Орра-Зоммерфельда при больших Я. не подходит непрерывно к спектру задачи Релея, был, по видимому, Гейзенберг. Может существовать область, содержащая интервал (га, М), свободная от спектра задачи (1), (2) при всех больших числах Я. Это явление получило название "язык Гейзенберга". Гейзенберг еще в 1024 году доказал существование фундаментальной системы решений для уравнения (1), имеющей специальное представление (см. (37)), что очень существенно для объяснения этого явления. Но нам неизвестны работы Гейзенберга, где содержатся идеи, позволяющие объяснить это явление. В этой связи укажем важную работу Моравец [45], где показано, что при у(х) = х собственные значения задачи Орра-Зоммерфельда могут локализоваться только вблизи отрезков [—1, —г/л/З], [1, —г/\/3] и луча [—г/л/З, —гоо). хотя подчеркивается, что информацию о собственных значениях в малых окрестностях первых двух отрезков получить не удается. Информация о собственных значениях на мнимой оси получена в указанной работе только для достаточно далеких собственных значений, что вытекает из общих методов, развитых еще Биркгофом, а для уравнения Орра-Зоммерфельда — Гейзенбергом.
В начале 90-х годов Редди, Хсинингсон и Шмидт [48], а также Трефезен [52] начали изучать более простую задачу вида
представляющую несамосопряжениый вариант классической спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Здесь є - малый, а А - спектральный параметры. Их численные расчеты подтверждали схожесть спектральной задачи Орра-Зоммерфельда и модельной задачи. В пользу того, что спектральную задачу (5), (6) можно рассматривать как упрощенную модель для (1), (2) можно привести следующие аргументы (см. [28]). Сделаем в уравнении (1) следующую замену 2 = (О2 - а2)у. Из этого равенства и краевых условий ?/(—!) = ?/(1) = 0 найдем у(х) по формуле
геу" 4- д{х)у = А у, 2/(-1) = У(З-) = 0,
(5)
(6)
Введение
5
у{х) = -^ ! «М* ~ 0*(€Ж- (7)
Тогда уравнение (1) запишется в виде
—гбг(1> —а )г •+■ (](х)г -I- Кг = А-г, (8)
где
К* = I^Ь2{х - 0?"(0г(0^> е=:~д’ (9)
Из (7) следует, что г/(—1) = 2/(1) = 0, поэтому краевые условия (2) примут вид
J г(Е,)зНос( 1 — £)<і£ = 0: J г(£)сІіа(1 — £)<і£ = 0.
(10)
Таким образом, задача (1), (2) эквивалентна задаче (8), (10). Эта редукция была проведена еще в работе Орра 1915 года. Теперь, если пренебречь влиянием интегральной добавки - оператора К (заметим, что для д(х) = х имеем К = 0) - и предположить, что краевые условия не существенно меняют спектральный портрет при є -» 0, то с точностью до сдвига спектрального параметра на ієа2 мы приходим к модельной задаче (5), (б).
Отметим, что если в уравнении (5) вместо гє участвует параметр є > 0, то получается самосопряженная задача с малым параметром. Спектр такой задачи вещественный, сгущается при є —> 0, причем можно найти явные ((юр-мулы для локализации собственных значений (формулы квантования Бора-Зоммерфельда). Замена параметра є на і є меняет задачу кардинально.
В диссертации основной акцент поставлен на изучении поведения спектра несамосопряжепной задачи Штурма-Лиувилля вида (5) при различных краевых условиях. При решении одномерных задач одним из наиболее эффективных методов является, так называемый, метод фазовых интегралов или метод \¥КВ. В общем случае он используется для исследования уравнений типа
\и' Н- Ь2д(г, Н)и) = 0,
Введение
6
где 1г — большой параметр. При некоторых условиях па д приближенные решения этого уравнения имеют вид
w
_ -1/4 db* hfyfid*
(11)
где 0(1//?) равномерно по г, лежащему в некоторых определенных областях плоскости z. Нули функции q(z) называются точками поворота. Ясно, что формулы (11) перестают быть верными вблизи точки поворота, поскольку множитель имеет особенность в этой точке. Формулы (11) называются часто WKB-приближспиями по именам создателей метода WKB: Вентцсль, Крамере и Бриллгоэи (1926). Однако вкладом этих авторов было не построение приближения (которое уже было известно), а установление формул, связывающих экспоненциальное и осцилляторное решения в точках поворота на действительной оси. Кроме того, необходимо отметить, что эти формулы фактически были получены ранее Джеффрисом (1924), в связи с чем этот метод также называют методом WK13J. Джеффрис, в свою очередь, указал, что ему предшествовали работы Ганса (1915) и Рейли (1912). Сами же приближения (11) были, по-видимому, впервые использованы Лиувиллем (1857) и Грином (1837), поэтому их также называют ЛГ-нриближеииями. Справедливости ради надо отметить, что первые применения этих приближений были весьма сумбурными и начали систематически применяться только после появления работ Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна. Метод фазовых интегралов был впервые систематически изложен в монографии Хединга [25].
Стокс впервые заметил, что произвольные постоянные, входящие в асимптотические решения, изменяются скачком при переходе через некоторые линии, которые теперь называются линиями Стокса. Он изучал уравнение
w" — 9 zw = 0 (12)
в комплексной плоскости 2. В настоящее время множитель 9 обычно опускают и называют (12) уравнением Эйри. Стокс нашел интегральные представления для решений этого уравнения и получил асимптотические разложения при больших \z\ для двух линейно независимых решений. Он заметил, что если в некоторой области изменения arg z решение является произвольной линейной комбинацией двух основных асимптотических решений, то в соседней области изменения arg г коэффициенты линейной комбинации могут быть совсем другими. Эта тематика (формулы связи) получила дальнейшее развитие во многих работах в области математической физики и квантовой механики. Достаточно полное освещение этого вопроса можно найти в (23|.
- Київ+380960830922