Наилучшее равномерное приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами

Содержание
Список обозначений........................................ 4
Введение 7
Глава 1. Наилучшее равномерное приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами и родственные экстремальные задачи 23
§ 1.1. Построение приближающего оператора.................... 23
§1.2. Оценка сверху величины наилучшего равномерного приближения оператора Лапласа линейными ограниченными
операторами.............................................. 28
§ 1.3. Оценка снизу константы в неравенстве Колмогорова . ... 34
Глава 2. Задача Стечкина и родственные экстремальные задачи для функций двух и трех переменных 36
§ 2.1. Построение приближающего оператора.................... 36
§2.2. Оценка сверху величины наилучшего равномерного приближения оператора Лапласа линейными ограниченными операторами для функций двух и трех переменных .... 37
Глава 3. Наилучшее Ьр -приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами и родственные экстремальные задачи 44
§3.1. Построение приближающего оператора..................... 44
§3.2. Оценка сверху величины уклонения приближающего оператора от оператора Лапласа в случае т> 2 48
§ 3.3. Оценка сверху величины уклонения приближающего оператора от оператора Лапласа в случае тп = 2, 3.......... 49
§ 3.4. Оценка снизу константы в неравенстве Колмогорова . . . . 50
Список литературы 55
Список работ автора 60
3
Список обозначений
N = {1,2,...} - множество натуральных чисел;
К = (—сю, +оо) - множество действительных чисел;
= [0, 4-оо) - неотрицательная вещественная полуось;
К™, та > 2, - евклидово пространство точек X = (#ь ..., хт)у Х\у . . . , Хт Є К СО скалярным Произведением (X, У) — ХіУи и нормой ||Х|| = у/{Х, X);
§т-1(^) _ |у ^ . цу — Х|| = /г} - сфера радиуса к с центром
в точке X Є
§т-1 = {У еКт: ||У|| < 1} - единичная сфера в Мт;
В™ = {У Є К™ : ||У|| < к} - шар радиуса к с центром в начале
координат пространства Кт;
С(Мт) - пространство веіцественнозначньїх функций, непрерывных и ограниченных на Кт, с равномерной нормой ||/||с(нт) =
Loo = ^oo(R7U) - пространство измеримых, существенно ограниченных функций на Rm с нормой ||/||оо = esssup{|/(X)| : X е R"*};
Ьр = Lp(Rm), 1 < р < оо, - пространство измеримых функций / на Rw с суммируемой степенью |/|р, наделенное нормой ||/||р =
V — V(Rm) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на R771;
XeRm
4
Ср - множество линейных ограниченных операторов из Ьр в Ьр при 1 < р < оо и из С(Кт) в С(Кт) при р = оо;
Д - оператор Лапласа, на дважды дифференцируемых функциях / определен формулой Д/ = 4- • • • 4- на класс менее глад-
ких функций оператор Лапласа и его степени распространяются с помощью теории обобщенных функций по схеме Соболева;
У/*1 = И^"(Кт) = {/ Є Ьр(Шт) : Д2/ Є £р(Кт)}, 1 < V < оо, -соболевский класс функций в Ьр\
^2н _ р^1(Ет) = {/ Є С(Шт) : Д2/ Є Лоо(Мт)} - соболевский класс функций в С(Кт);
Я2рп = {/ е : ||дп/||р < 1}, 1 < Р < оо;
£/(Т)р = зир{||Д*/ - Т/||р : / Є <52и} - уклонение оператора Т €
1 < р < оо, от к -й степени оператора Лапласа на классе <32п ;
Д(ЛГ) = Е(М)Р = /с,п)р = «^{17(7% : ||Т||£р < /V} - наилучшее приближение к-й степени оператора Лапласа линейными ограниченными операторами;
и(6) = и(6)р = 8ир{||Д*/||р : / Є Я1п, ||/||р < 6} - модуль непрерывности к -й степени оператора Лапласа на классе ф2п;
1 < V < оо, - наилучшая константа в неравенстве Колмогорова;
Ор - множество однозначных отображений Ьр в Ьр при 1 < р < оо и С{Жт) в С(МШ) при р = оо;
7£р - множество методов восстановления, т. е. множество операторов из Ьр в Ьр при 1 < р < оо и из С(Кт) в С(Кт) при р = оо;
5
и5{Т)р = зир{||Д*/ - Тг)\\р : / Є <?*>, г, Є £*(*"•), ||/ - ц||, <6}, 1 < р < оо, - уклонение оператора Т є 'Яр от к -й степени оператора Лапласа на функциях из <ЗрП, заданных с ошибкой 6;
£$(Яр) = іп{{и$(Т)р : Т Є 1 < р < оо, - величина ошибки
оптимального восстановления к -й степени оператора Лапласа с помощью множества методов восстановления Яр на элементах класса 0>у , заданных с погрешностью 6.
6