Оглавление
Введение 3
0. Предварительные сведения 16
0.1. Топологические векторные пространства, алгебры и модули 16
0.2. Топологическая гомология..............................30
1. Свойства, близкие к инъективности 51
1.1. Косвободные модули Фреше..............................51
1.2. Инъективность и делимость.............................57
2. Основные результаты 74
2.1. Отсутствие инъективных модулей Фреше над полными нстеровыми локальными алгебрами............................75
2.2. Оценка и вычисление инъективных гомологических размерностей...............................................83
3. Приложения к классическим топологическим алгебрам 92
3.1. Алгебры, обладающие свободными бимодульными резольвентами Кошуля.......................................93
3.2. Алгебры аналитических функций от нескольких свободных переменных (алгебры Тэйлора).....................97
3.3. Алгебры гладких функций на многообразиях.............101
3.3.1. Обратимые бимодули и условие Ван ден Берга . . . 102
3.3.2. Фундаментальный локальный изоморфизм для гладких многообразий .................................107
3.3.3. Изоморфизмы между гомологиями и когомологиями Хохшильда и вычисления гомологических размерностей...........................126
4. Нерешенные проблемы и разное 129
Литература 138
2
Введение
Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам гомологической теории топологических алгебр, связанным, в первую очередь, с понятиями инъективного модуля п инъективной гомологической размерности. Гомологическая теория топологических алгебр (или, сокращенно, топологическая гомология) изучает те свойства локально выпуклых топологических алгебр, которые допускают естественную интерпретацию на языке абстрактной гомологической алгебры. Замечательно, что перечень таких свойств оказывается весьма обширным и разнообразным. Многие классические понятия, изучаемые в различных областях анализа, являются по своей сути гомологическими (хотя зачастую это далеко не очевидно) и доставляют тем самым «естественный матерная» для изучения в топологической гомологии. Такие понятия встречаются, например, в гармоническом анализе (аменабельная группа, компактная группа, дискретная группа), в геометрической теории банаховых пространств (свойство аппроксимации), в спектральной теории линейных операторов (спектр, локальный спектр, свойство (/3) Бишопа), в общей топологии (паракомпактное пространство, метрпзуемое пространство). В каждом из указанных примеров заданному математическому объекту (группе, линейному оператору, топологическому пространству) естественно соответствует банахова или локально выпуклая алгебра, а некоторому его свойству (аменабельности группы, свойству (/3) линейного оператора, паракомпактности пространства) — определенное гомологическое свойство соответствующей алгебры. Например, группа С амена-бельна тогда и только тогда, когда первая группа когомологий алгебры £*((?) с коэффициентами в любом дуальном банаховом ЬХ{С)~бимодуле тривиальна (см. [73]). Другие примеры такого рода приведены в обзорной работе А. Я. Хелемского [68]. Мы отметим лишь, что в процессе своего развития топологическая гомология не только доставляла эффективные средства для исследования тех или иных проблем анализа, но и стимулировала появление новых математических теорий (например, таких, как многомерная спектральная теория линейных операторов в банаховом пространстве [59]).
3
Появление и развитие топологической гомологии (впрочем, как и классической гомологической алгебры) было обусловлено в первую очередь ее «внегомологическими» приложениями. Например, необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 г. Данфордом [57] при исследовании спектральных операторов. Группы когомологий банаховых алгебр были впервые введены Камовицем [75] в 1962 г. (по аналогии с чисто алгебраической теорией Хохшильда [70]) и применены к некоторым вопросам структурной теории банаховых алгебр. В течение десятилетия, последовавшего за появлением основополагающей работы Камовица, группы когомологий банаховых алгебр использовались различными авторами для решения задач, связанных с расширениями [37, 72]. дифференцированиями операторных [74] и групповых [73] алгебр, когомологиями локально компактных групп [64, 65] и некоторыми другими специальными вопросами.
Общий подход к гомологической теории банаховых алгебр был предложен А. Я. Хелемским [38] в 1970 г. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие проективного банахова модуля, позволившее определить производные функторы на категории банаховых модулей, а также перенести на банахов случай многие другие классические конструкции гомологической алгебры. В частности, интерпретация групп когомологий банаховой алгебры в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы для их вычисления.
Начиная с вышеупомянутой работы Хелемского, гомологические методы стали успешно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они позволили, в частности, получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры (см., напр., [31, 32, 90]), дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как паракомпактность [39], получить глубокую информацию о структурных свойствах С*-алгебр и алгебр фон Нойманна (см. [44, 67, 69]), а также несамосопряженных операторных алгебр (см. [12, 13]). Подробный обзор этих и многих других результатов, полученных при помощи гомологических методов, дан в [68].
Что касается гомологической теории общих локально выпуклых алгебр, то первыми в этой области стали работы Киля и Вердье [77], а также Тэйлора [101], появившиеся несколькими годами позже работы Хелемского [38], но независимо от нее. С технической точки зрения, примененный указанными авторами подход был в основном аналогичен
4
подходу Хелемского. Важно отметить, что в обеих работах гомологическая теория строилась не как самоцель, а как средство для решения конкретных математических задач. Так, статья Тэйлора появилась в связи с поиском удобного аппарата для построения мультиоператор-ного голоморфного исчисления; работа же Киля и Вердьс имела своей целью приложения к некоторым вопросам комплексной аналитической геометрии. В обоих случаях использование методов топологической гомологии оказалось весьма плодотворным и получило дальнейшее развитие. Например, в комплексной аналитической геометрии с их помощью был получен ряд результатов, касающихся теории двойственности на комплексных пространствах (см. [96, 99]) и общей теоремы Римана-Роха [81]. Что же касается спектральной теории операторов, то здесь топологическая гомология не только позволила обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов (теоремы о существовании и единственности голоморфного исчисления, теорема об отображении спектра и т.п.: см. [102, 91, 92]), но и получить новые результаты в «теории одного оператора» (см., напр., [58, 93]). Свойство (,в) Бишопа, понятия разложимого и субразложимого оператора, понятие локального спектра получили естественную гомологическую интерпретацию, что позволило установить новые взаимосвязи между этими понятиями. Из наиболее впечатляющих результатов, полученных с использованием методов топологической гомологии, отметим следующий: оператор Т в банаховом пространстве X разложим тогда и только тогда, когда Т и его сопряженный Т' обладают свойством (Р) Бишопа [58]. По поводу других результатов в этой области и литературных ссылок см. недавнюю монографию Эшмайера и Путинара [59].
Как уже упоминалось выше, в техническом отношении топологическая гомология представляет собой вариант относительной гомологической алгебры в категориях локально выпуклых модулей над топологическими алгебрами. Напомним, что один из наиболее общих принципов абстрактной гомологической алгебры состоит в том, что для построения содержательной гомологической теории в той или иной аддитивной категории весьма желательно располагать «достаточным количеством» проективных и (или) инъективных объектов. Как первые, так и вторые необходимы для построения производных функторов — основных технических инструментов гомологической алгебры.
С этой точки зрения, ситуация в «классической» гомологической алгебре Картана-Эйленберга [20], изучающей модули над ассоциативными кольцами, является наиболее благоприятной. Дело в том, что категория модулей над произвольным ассоциативным кольцом (или алгеброй) имеет достаточно много как проективных, так и инъективных объектов.
Это означает, что любой модуль, с одной стороны, может быть представлен в виде фактормодуля некоторого проективного модуля, а, с другой стороны, может быть вложен в некоторый инъективный модуль. Сходная ситуация имеет место и в гомологической теории банаховых алгебр и модулей1. Однако при переходе к более общим (ненормируемым) локально выпуклым алгебрам и модулям — скажем, модулям Фреше над алгебрами Фреше — положение дел существенно меняется. В то время как категория модулей Фреше над произвольной алгеброй Фреше все еще обладает достаточным количеством проективных объектов, при попытке построения достаточного количества инъективных модулей Фреше возникает ряд технических трудностей. Не вдаваясь в детали (подробности см. в главе 0) и ограничиваясь для наглядности случаем алгебр и модулей Фреше, опишем некоторые из трудностей такого рода.
Пусть вначале А — унитальная (т.е. обладающая единицей) банахова алгебра, а Е произвольное банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство Л?(А,Е), состоящее, по определению, из всех непрерывных линейных отображений из А а Е и снабженное обычной операторной нормой. Это пространство обладает естественной структурой левого банахова А-модуяя. Именно, действие А на Л?(А,Е) определяется формулой
(а • р)(Ь) — <р(Ьа) (а, 6 Е А, 9 Е Л?(А,Е)) (1)
Банаховы А-модули вида Л?(А,Е) называются косвободными. Они могут быть определены так лее в чисто теоретико-категорыых терминах и обладают рядом замечательных свойств; в частности, каждый несвободный модуль инъективен (см. главу 1). Если теперь X — произвольный левый банахов А-модуль, то он может быть вложен в косвободныи модуль ^(А,Х) посредством отображения
г: X — сг(.с)(а) = а • х
Нетрудно проверить, что отображение г является допустимым мономорфизмом банаховых А-модулей (см. главу 0), т.е. обладает левым обратным непрерывным отображением. В данном случае такое отображение е: -5?(А, А”) —* X можно определить формулой е(<р) = 9(1), где 1 — единица алгебры А.
Итак, каждый банахов А-модуль может быть вложен в некоторый инъективный банахов А-модуль посредством допустимого мономорфизма. Этот факт, имеющий фундаментальную важность для всей теории,
1Для сохранения строгости отметим, что в топологической гомологии фразам «представлен в виде фактормодуля» и «вложен в качестве подмодуля» следует придавать не совсем традиционный смысл; см. по поводу деталей главу 0.
6
обычно выражают, говоря, что категория левых банаховых А-модулей обладает достаточным количеством, инъективных объектов. С очевидными изменениями указанная конструкция обобщается на категорию модулей Фреше над банаховой алгеброй А.
Если же А — ненормируемая алгебра Фреше, то векторное пространство «£?(А,#) не является пространством Фреше нп в какой естественной топологии (каково бы ни было пространство Е ф 0). Более того, на ~2?(А, Е) не существует никакой разумной топологии, в которой действие А х 5£{А,Е) —> 5£{А*Е\ определяемое формулой (1), было бы совместно непрерывным (см. далее предложение 1.1.7). Таким образом, каноническая конструкция, доставляющая достаточное количество инъективных модулей над банаховой алгеброй, не переносится на ненорми-руемый случай.
Трудности такого рода были замечены в цитированной выше работе Тэйлора [101]. Он же предложил и возможный выход из этой ситуации: «расширить» категорию А-модулей таким образом, чтобы включить в нее косвободные модули -2ДА, Е) (снабженные топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах) и обеспечить тем самым наличие достаточного количества инъективных объектов. Разумеется, при этом не удается добиться того, чтобы действие алгебры А на всех модулях из полученной категории было совместно непрерывным (см. выше). Тем не менее, оно удовлетворяет более слабому условию — так называемой гипонепрерывности (см., напр., [47, ТТТ.5]), поэтому объекты построенной им категории Тэйлор назвал гипомодулями. Отметим, что конструкция Тэйлора фактически относится не только к алгебрам Фреше, но и к более общим локально выпуклым алгебрам с гипонепрерывным умножением, удовлетворяющим некоторым дополнительным линейио-топологическим условиям.
Другой подход к данной проблеме был предложен С. С. Акбаровым в работе [1] (см. также [50]). В построенной им теории роль «рабочей» категории топологических А-модулей играет категория так называемых стереотипных, модулей. Как и категория гипомодулей, категория стереотипных модулей обладает достаточным количеством инъективных объектов; кроме того, она имеет ряд других замечательных свойств (по поводу деталей см. [50]). Однако и она с необходимостью включает в себя модули, действие А на которых не является совместно непрерывным. Другая особенность «стереотипной» теории состоит в том, что она не является расширением «банаховой» теории. В частности, топология, которая вводится на косвободных стереотипных А-модулях &(А,Е), в случае бесконечномерной банаховой алгебры А совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах и поэтому ненормируема даже
при Е = С.
Таким образом, несмотря на все достоинства двух вышеупомянутых подходов к построению «симметричной» гомологической теории топологических алгебр, которая включала бы в себя достаточно много как проективных, так и инъективных объектов, оба эти подхода приводят к необходимости изучать более общие (и более сложные) топологические модули, чем хотелось бы. Сходные проблемы возникают и в других математических дисциплинах «гомологического характера» — например, в недавно возникшей теории «квантовых» (операторных) модулей (см. [52]).
Тем не менее, естественное желание развивать гомологическую теорию ненормируемых алгебр Фреше, оставаясь при этом в рамках категории модулей Фреше, приводит к ряду вопросов. Один из таких вопросов, сформулированный А. Я. Хелемским в [42] (см. также [66]), состоит в следующем:
Верно ли. что над произвольной алгеброй Фреше А имеется достаточно много инъективных модулей Фреше?
В работе Хелемского [66] была высказана гипотеза о том. что, возможно, над некоторыми алгебрами Фреше вообще не существует ненулевых инъективных модулей Фреше. В качестве возможных кандидатов на роль таких алгебр были предложены алгебры голоморфных функций 0(11) на областях V С С", снабженные компактно-открытой топологией. Эта гипотеза была подтверждена в работе автора [29], однако сам факт несуществования инъективных модулей Фреше был установлен не для алгебр голоморфных функций, а для алгебр формальных степенных рядов С[[^і,... ,г„]|. Приведенное в [29] доказательство существенно опираюсь на некоторые специфические свойства аігебр степенных рядов (такие, как, например, замкнутость идеалов и нетеровость), не имеющие места для функциональных аігебр. Впоследствии в работе [87] автору при помощи несколько иных методов удалось доказать несуществование инъективных модулей Фреше для более широкого класса аігебр, включающего в себя как алгебры степенных рядов, так и алгебры гладких (бесконечно дифференцируемых) функций на областях в М”, алгебры голоморфных функций на полиобластях в С", а также некоторые их некоммутативные аналоги (аігебрьі «голоморфных функции от нескольких свободных переменных»). Таким образом, отсутствие (или недостаток) инъективных объектов в категориях топологических модулей является, по-видимому, скорее закономерностью, чем патологией.
Несмотря на это обстоятельство, предложенный в [87] подход позволил вычислять инъективные гомологические размерности произвольных
8
модулей Фреше над многими классическими алгебрами анализа. Например, в случае алгебры А = &(£") целых функций от п переменных оказалось, что инъективная гомологическая размерность любого ненулевого -4-модуля Фрешо равна в точности п. (Для сравнения отметим, что как в «классической» гомологической алгебре, так и в ее «банаховом» варианте, инъективная гомологическая размерность может принимать любое целое значение, заключенное между нулем и глобальной размерностью данной алгебры.)
Общее свойство алгебр, для которых удалось получить вышеупомянутые результаты, состоит в том, что между их гомологиями и когомологиями Хохшпльда существует определенное соотношение, в случае алгебр гладких или голоморфных функций по своему внешнему виду напоминающее двойственность Пуанкаре1. Оказалось, что если алгебра Фрсше А удовлетворяет такому соотношению и. кроме того, является ядерной и локально мультипликативно выпуклой, то инъективная гомологическая размерность любого /1-модуля Фреше оценивается снизу некоторой фиксированной положительной константой, а в ряде важных случаев совпадает с этой константой (как это происходит, например, для А = А = С°°(Шп) или А = С[[гь... ,гп]]; во всех трех слу-
чаях эта константа равна п). В этой связи представляет интерес подробнее изучить класс алгебр, удовлетворяющих вышеупомянутому соотношению между гомологиями и когомологиями, а также привести новые примеры таких алгебр. Попытка исследования подобного рода была предпринята в работе автора [88]. В частности, было показано, что соотношение* между гомологиями и когомологиями Хохшпльда имеет место также для алгебры Фреше гладких функций С°°(М) на произвольном гладком многообразии М.
Основу настоящей диссертации составили работы [29, 87, 88], а также [86] и [28]. Некоторые доказательства подверглись при этом существенной переработке, что позволило упростить их и получить более общие результаты. Прежде чем переходить к описанию структуры работы, сформулируем еще раз вкратце ее основные выводы.
• Существует достаточно широкий класс алгебр Фреше, включающий в себя, в частности, алгебры формальных степенных рядов, алгебры гладких и голоморфных функций, а также некоторые их некоммутативные аналоги, над которыми не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше.
1В чисто алгебраической ситуации такие соотношения были недавно рассмотрены в работе М. Ван ден Берга [104] в связи с некоторыми вопросами некоммутативной алгебраической геометрии.
9
• Гомологвпн и когомологии Хохпшльда алгебр из этого класса связаны между собой определенным соотношением («двойственностью Пуанкаре»). Это позволяет, в частности, вычислять инъективные гомологические размерности модулей Фреше над такими алгебрами, несмотря на отсутствие над ними инъективных модулей Фреше.
Общая структура настоящей работы такова.
Глава 0, носящая вспомогательный характер, содержит необходимые для дальнейшего сведения из топологической гомологии, а также некоторые обозначения и определения из теории топологических векторных пространств и алгебр.
Прежде чем приступать непосредственно к рассмотрению вопроса о существовании инъективных модулей Фреше, мы рассматриваем в главе I некоторые свойства модулей Фреше, в той или иной степени близкие к свойству инъективности. Основными объектами исследования для нас здесь являются ко свободные п делимые модули Фреше.
В §1.1 мы изучаем вопрос о наличии косвободных модулей Фреше над ненормируемыми алгебрами Фреше. Как уже упоминаюсь выше, в банаховом случае несвободные модули доставляют материал для построения достаточного количества инъективных модулей. Косвободные банаховы модули, имеющие вид ^(Л, Е) (где Е — банахово пространство). допускают также общее теоретико-категорное определение, которое сохраняет смысл и для ненормируемых топологических алгебр
в частности, для алгебр Фреше. Хотя косвободные модули Фреше с необходимостью инъективны (предложение 1.1.1), тем не менее, из их абстрактного категорного определения никоим образом не следует, что они вообще существуют. Мы покажем, что дело тут не просто в отсутствии адекватного «конструктивного» определения. Основной результат §1.1 — теорема 1.1.2, утверждающая, что над произвольной ненормиру-емой алгеброй Фреше не существует нп одного ненулевого косвободно-го модуля Фреше. Это утверждение было доказано в [86] для частного случая аігебр Фреше-Аренса-Майкла; здесь мы приводим новое, более простое доказательство, справедливое и в неметризуемом случае.
В §1.2 исследуются некоторые вопросы, касающиеся делимых модулей Фреше. Как известно, в чистой алгебре между свойствами делимости и инъективности имеется тесная взаимосвязь. В частности, для модулей над областями главных идеалов (например, для абелевых групп) указанные свойства эквивалентны. Основная цель §1.2 — выяснить. имеет ли место такая взаимосвязь в топологической гомологии.
10
Хотя результаты этого параграфа предназначены в основном для использования в последующих главах, некоторые из них представляют и самостоятельный интерес. Основными утверждениями здесь являются теорема 1.2.2 о наличии кручения в делимых модулях Фреше и теорема
1.2.5 о несуществовании банаховых делимых модулей. В целом, результаты §1.2 показывают, что большинство чисто алгебраических фактов, указывающих на взаимосвязь понятий инъективности и делимости, не переносится на случай модулей Фреше.
Сходная ситуация наблюдается и при рассмотрении аналогичных вопросов, касающихся плоских модулей и модулей без кручения. Отправляясь от чисто алгебраического факта, утверждающего, что для модулей над областями главных идеалов плоскость эквивалентна отсутствию кручения, мы исследуем аналогичный вопрос для случая модулей Фреше. При этом наибольшее внимание уделяется алгебре Фреше &(С) целых функций (в которой, как известно, все замкнутые идеалы — главные). С одной стороны, мы покажем, что все конечно порожденные £?( С)-модули Фреше без кручения являются не только плоскими, по даже свободными (теорема 1.2.13). Последний результат справедлив и для алгебры <^(Х), где X — некомпактная рпманова поверхность. С другой стороны, мы приведем пример ^(С)-модуля Фреше без кручения, который, тем не менее, не является плоским (пример 1.2.4). Интересно отметить, что наличие неплоских ^?(С)-модулей Фреше без кручения тесно связано с существованием линейных операторов в гильбертовых пространствах, не обладающих свойством (,в) Бишопа (ср. [59]).
Большинство результатов §1.2 было получено в работах [29] и [28].
Центральное место в диссертации занимает глава 2. Здесь мы описываем класс алгебр Фреше, включающий в себя многие классические алгебры анализа, над которыми не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше. Кроме того, мы вычисляем инъективные и (в некоторых случаях) проективные гомологические размерности модулей Фреше над указанными алгебрами.
В §2.1 исследуется вопрос о существовании инъективных модулей Фреше над полными нетеровыми локальными алгебрами. Основным примером такой алгебры служит алгебра формальных степенных рядов С[[^і,... ,£,*]]; все остальные могут быть получены как ее факторал-гебры. Полные нетсровы локальные алгебры обладают рядом замечательных алгебраических и линейно-топологических свойств; некоторые из них. необходимые для дальнейшего, описаны в предложении 2.1.1 и замечаниях 2.1.1-2.1.2. Основной результат §2.1 — теорема 2.1.2, утверждающая. что над бесконечномерными (как векторные пространства
11
над С) полными нетеровыми локальными алгебрами не существует ненулевых инъективных модулей Фреше. Для частного случая алгебры степенных рядов этот результат был получен в [29], а в общем случае
в [88].
В §2.2 мы излагаем другой подход к проблеме существования инъективных модулей Фреше, применимый ко многим классическим алгебрам анализа и основанный на использовании некоторых соотношений между их гомологиями и когомологиями Хохшильда. Наличие такого рода соотношений для данной алгебры Д позволяет не только доказывать отсутствие инъективных Д-модулей, но и вычислять инъективные (а для банаховых модулей — и проективные) гомологические размерности произвольных Д-модулей Фреше. Основной результат §2.2 — теорема 2.2.4, утверждающая, что если Д — ядерная алгебра Фреше-Аренса-Майкла, гомологии и когомологии Хохшильда которой подчинены некоторому условию (*)я (где п > 0 фиксированное целое число), то инъективная гомологическая размерность любого ненулевого Д-модуля Фреше не меньше п. Поскольку инъективные модули Фреше — это в точности модули Фреше нулевой инъективной гомологической размерности, последняя теорема означает, в частности, что над Д не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше. Кроме того, аналогичная оценка снизу имеет место и для проективной размерности любого ненулевого банахова Д-модуля. Отсюда, в свою очередь, вытекает отсутствие проективных банаховых Д-модулей.
Глава 3 целиком посвящена примерам алгебр, удовлетворяющих введенному в §2.2 условию (*)„. Большинство из них — это «классические» алгебры, встречающиеся в различных областях анализа и геометрии. В каждом конкретном случае, в зависимости от специфики рассматриваемой алгебры, вышеупомянутое условие (*)„ принимает ту или иную форму — менее общую, чем требуется в основной теореме 2.2.4, но более «удобную в обращении» (см., например, соотношение (**)„ из §3.1 и соотношение Ван ден Берга (***)„ из §3.3). Это позволит нам попутно получить ц некоторую другую информацию о гомологических свойствах таких алгебр.
В §3.1 мы рассматриваем алгебры, обладающие свободными бимо-дульными резольвентами Кошуля. Говоря неформально, это алгебры, по своим гомологическим свойствам близкие к алгебрам полиномов от нескольких переменных. Систематически такие алгебры были впервые исследованы в работе Тэйлора [102] в связи с тем, что они являются в некотором смысле «наиболее подходящими» для построения функционального исчисления от набора коммутирующих линейных операторов
12
- Київ+380960830922