Оглавление
Введение 3
1 Линейные пучки 20
1.1 Норма на X, порожденная линейным пучком............... 20
1.2 0-умножение........................................... 24
1.3 Функциональное исчисление для линейного пучка......... 32
1.4 Экспоненциальные функции линейного пучка ............. 34
1.5 Представление решения уравнения 1-го порядка.......... 40
2 Квадратичные пучки 56
2.1 Ш-умножение........................................... 57
2.2 Функциональное исчисление для квадратичного пучка . . 67
2.3 Экспоненциальные функции квадратичного пучка.......... 71
2.4 Представление решения уравнения 2-го порядка.......... 80
2.5 Квадратичный пучок с ^ = 0 . . . . ;.................. 85
А Приложение: Классическая спектральная теория 92
А.1 Банаховы алгебры...................................... 93
А.2 Псевдорезольвенты.....................................102
А.З Функциональное исчисление для псевдорезольвенты .... 114
Литература 125
2
Введение
Поиск экспоненциальных решений (т. с. решений вида ^ н еА<) линейных дифференциальных уравнений первого
Ех{Ь) - Ох(1) = /(£)
(1)
и второго порядка
Ех{Ь) + Рх(1) + Нх{{) = /(£)
(2)
с постоянными операторными коэффициентами, а также (что в значительной мере представляет собой равносильный подход) попытка их решения с помощью преобразования Лапласа приводят к появлению операторных пучков [14, 16, 15, 26, 28, 36, 46, 51, 86, 87), соответственно, линейных
В терминах поведения пучков в окрестностях особых точек, называемых точками спектра, удается в значительной мере описать решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. Такой подход называют спектральной теорией. Некоторым задачам спектральной теории посвящена настоящая диссертация.
Рассматриваемые дифференциальные уравнения (1) и (2) являются не разрешенными относительно старшей производной. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [30, 75, 77. 90] и в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 53, 55, 61]. Формально не разрешенным относительно производной является также каноническое уравнение [50, 78] Ль = Ни, где J — блочная матрица (х^1)- Дифференциальным уравнениям, не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [3, 4, 19, 23, 24, 56, 59, 80, 82, 84, 89).
Предполагается, что в уравнениях (1) и (2) Е, И, Си Н — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. Отмстим, что случай неограниченных коэффициентов обычно удается свести в случаю ограниченных, см. по этому поводу § 1.1. Отметим также, что нетривиальным является не только случай бесконечномерных пространств X и К, но и пространств X и У большой размерности [26, 27, 81, 92].
Л - С, лес,
и квадратичных
Л И- \2Е + 4- Я, ЛбС.
Если старшие коэффициенты Р и Е являются обратимыми операторами, уравнения можно умножить на обратные к ним и тем самым привести к нормальному виду. Мы сознательно не обсуждаем этот подход (приводящий к хорошо разработанной теории) но следующим двум причинам. Во-первых, это не всегда удобно, поскольку операторы Р и Е могут иметь особый физический смысл (например, в теории линейных электрических цепей [5, 17, 18, 47, 611 они могут описывать соответственно сопротивления, емкости конденсаторов или индуктивности катушек, входящих в цепь) и иметь особую структуру (например, быть самосопряженными [15, 33, 46] или задаваться разреженными матрицами [25, 26, 92]). Во-вторых, мы хотим охватить случай, когда операторы Р и Е не являются обратимыми.
В случае обратимого оператора Е решение уравнения (1) можно (теорема 1.4.4) представить в виде
Ф) = [ ^(ехр^ОДз) <1в,
./о
где
¥>(ехре) = ^ ^ еЛ‘(А^ - ву' <*А.
Уже этот простой пример показывает, что разумно рассмотреть более общую конструкцию
су1 с1\,
где / — произвольная аналитическая функция, являющуюся аналогом классической функции от оператора, подробнее см. § А.З. К сожалению, отображение (р не обладает свойством р(/д) = ^(/)^(р) сохранения операции умножения. Основной идеей диссертации является рассмотрение вместо обычного умножения операторов так называемого Р-умножения
А<Э В = АР В.
Для F-yмнoжeния равенство <р(/<7) = </>(/) О ф(д) уже имеет место.
Результаты, связанные с линейным пучком, в значительно мере переносятся на квадратичные пучки. Аккуратное выписывание возникающих на этом пути формул (глава 2) может оказаться полезным для дальнейших приложений (например, для численных методов).
4
В настоящее время в спектральной теории (линейных) операторных пучков используется несколько подходов. Первый подход основан на разложении пространств X и У в прямые суммы X = Л0ФА1 и У = Уо®Ух, так, чтобы Е Х( С У\ и С Х^ С У*, г — 0,1, причем в одной паре подпространств был обратим, а в другой — F был нильпотентным или квазинильпотентным. В конечномерном случае такое разложение было известно еще Вейерштрассу [98] и Кронекеру [88], см. также изложение в [14, 72]. Со спектральной точки зрения его возможность связана с тем, что расширенный спектр пучка (состоящий в конечномерном случае из конечного числа точек) можно разбить на две части — бесконечно удаленную точку и оставшуюся компактную часть спектра. В случае наличия такого разбиения, расщепление пучка в прямую сумму двух других пучков имеет место и в бесконечномерном случае. Для банаховых пространств подобное утверждение впервые было доказано в [96]. Впоследствии оно повторялось многими авторами [3, 4, 20, 21, 55, 59, 86]. В настоящее время этот подход развивается в работах [58, 59, 69]. Второй подход [62, 63, 64, 66, 67, 68] основан на использовании языка ^-функций в фундаментальном решении. Третий подход [48] основан на использовании п-иитерированных полугрупп. Четвертый подход [3, 4, 83, 84], основанный на использовании линейных отношений (многозначных линейных операторов), заключается в умножении уравнения (1) на многозначный оператор .Р-1 и последующем построении спектральной теории линейных отношений. Отличие подхода, используемого в настоящей диссертации, основано на использовании в формулах для представления решений дифференциальных уравнений (и ряде других формул) 0-умпожения и □-умножения.
Результаты диссертации опубликованы в [38, 40, 42, 43] и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [39] и 2010 [41], на конференциях КРОМШ-2008, КРОМШ-2009 и КРОМШ-20Ю [44], на семинарах А.Г. Баскакова и Б.II. Садовского, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [38, 40] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.
Основными результатами диссертации являются следующие.
Ф Определены специальные алгебраические операции (О и □), порождаемые линейным и квадратичным пучками. Выделены банаховы алгебры, в которых эти операции играют роль операций умножения.
5
Ф Построены функциональные исчисления (у? и Т), которые произведение функций переводят в рассматриваемые произведения (О и □) операторов.
Получены разложения резольвент пучков в степенные ряды и в сумму элементарных дробей, основанные на введенных операциях умножения.
Ф Выведены представления для операторов сдвига и импульсных характеристик дифференциальных уравнений, основанные на полученных разложениях резольвент.
Ф Получены формулы, выражающие решения дифференциальных уравнений через операторы сдвига и импульсные характеристики в случае, когда бесконечность является полюсом резольвенты пучка.
Перейдем к более подробному и аккуратному изложению содержания диссертации.
Предварительные сведения о банаховых алгебрах, псевдорезольвентах и функциональном исчислении, а также стандартные обозначения вынесены в приложение А.
Глава 1 посвящена линейным пучкам. Пусть X и У — комплексные линейные пространства, а /*’(?: X —>■ У — два линейных оператора. (Линейным) пучком называют функцию
Л »-> - а, Л Є С.
Резольвентным множеством пучка называют множество р(Р, (?), состоящее из всех Л Є С, при которых оператор Л/71 — Є обратим, а резольвентой пучка — функцию (семейство)
ДА = (Л^ - С?)'1, Лер(^С).
Дополнение ог(^, Є) = С\р(і?, С) к резольвентному множеству называют спектром пучка. Пучок называют регулярным, если его резольвентное множество не пусто. Все рассматриваемые в диссертации пучки предполагаются регулярными.
В § 1.1 обсуждается вопрос о том, как случай неограниченных операторов Р и С свести к случаю ограниченных. Это возможно, если выполнено следующее предположение.
6
Предположение: Пространство У является банаховым, а р(.Р, С?) содержит по крайней мере две различные точки Л ф р, для которых операторы
(Л Р-С){рР-Су^.У ^У,
{рР - <3)(\Р - С)-1: У —> У и
ограничены (в силу теоремы Банаха об обратном операторе эти операторы ограничены одновременно). При выполнении этого предположения на X вводится норма, порожденная любым из операторов \Р — С или рР-в.
Приводится пример 1, в котором операторы Р и С изначально не являются подчиненными друг другу, но резольвентное множество, тем не менее, оказывается непустым.
Теорема 1.1.2. Если для двух точек А, д Е р(Р, С?), X р, операторы (3) ограничены, то и операторы Р,С: X —* У ограничены. Поэтому при любом Ао Е р(Р, С) оператор А0Р — С: X У порождает на X норму, эквивалентную нормам, порождаемым ХР — Си рР — С.
В § 1.2 определяется И-умножение, порожденное линейным пучком, и приводятся представления резольвенты, в которых участвует ^-умножение. Примеры таких представлений содержатся в следствии 1.2.9 и теореме 1.2.10.
Обозначим через В(У, X) банахово пространство всех линейных ограниченных операторов А: У —>■ X, а через В^^)(У,Х) — замыкание в пространстве В(У, X) линейной оболочки операторов Л\, А Е р(.Р, (?)-. Введем на В (/?<?) (У, X) операцию Р-умножения или О-умножения по формуле
А О В = АРВ.
Степени и обратные относительно ^-умножения обозначаются символами типа Ап& и А~1е.
В теореме 1.2.2 содержится основная идея диссертации.
Теорема 1.2.2. Относительно И -умножения линейное пространство В(ВД(У, X) является коммутативной банаховой алгеброй. Эта алгебра содержит единицу тогда и только тогда, когда оператор Р: X У обратим; при этом единицей является Р~г.
Следствие 1.2.9. Пусть оо является полюсом порядка го — 1 резольвен-
л
ты #(.) пучка. Тогда существуют такие элементы N,11, А е В(до)(У, X), что
ЛГш+1° = О, П20 = П, ЛГ©П = ПQN = 0, ЛОП = П©Л = А
7
и разложение резольвенты пучка в ряд Лорана в проколотой окрестности бесконечности имеет вид
Я\ = Нг]Х 4- Л5)д,
где
П , Л , А2° , А30 , ,л — А + А2 + Л3 + Л4 ’ * ’ ’
Я3)А = —N — AiV20 - А2АТ30 - ... - Аи;-1іУш°.
Теорему 1.2.10 можно рассматривать как аналог жордановой формы для линейного пучка.
Теорема 1.2.10. Пусть спектр пучка состоит из конечного множества точек дь /Х2,..., рд Є С. Пусть эти точки р2, • • • j llq, а также точка р0 = оо являются полюсами резольвенты, а их порядки равны соответственно W\,W2И Wo — 1. Тогда существуют такие элементы Пі, Пг, -.., П^; Nq, Ni, ..., Nq Є В(ед(У, X), что
П?и = Пі, Ni © Пі = Пі 0 Ni = Ni, і = 0,1,..., q,
П,- © П, = 0, Ni © П, = П, © N( = 0, і =/= j,
Nw<® _ Q Ng°+le = 0,
где По = 1 — Yli=і Пі? 1 — (присоединенная) единица, а резольвента пучка представима в виде
q лгО-і)© wo-i
*а = ££(£г^- £Nt1)0*,
t=l J=1 V l l) j=о
где JV?° = П,. Яри этом если dim X = dim Y — M < oo, to SLo
В § 1.3 строится функциональное исчисление, порожденное линейным пучком.
Пусть К С С - замкнутое множество. Обозначим символом О = О (К) множество всех аналитических функций /: U —> С, каждая из которых определена в некоторой открытой окрестности U множества К (предполагается, что для каждой / окрестность U своя). Будем говорить, что две функции /і: U\ —> С и /2: U2 —> С эквивалентны, если существует' такая открытая окрестность Я С Яі П U2 множества АТ, что
8
/і и /2 совпадают на V, т. е. /і(А) = /2(А) для всех А Є С/. Нетрудно показать, что это действительно отношение эквивалентности. Таким образом, элементами О(К), строго говоря, являются классы эквивалентных функций. На О (К) вводится естественная [10) топология.
Контур Г называют ориентированной огибающей замкнутого множества К С С относительно замкнутого множества К\ С С, где КГ\Кі = 0, если при проходе вдоль контура Г множество К остается слева, а множество К\ — справа. При этом контур может состоять из нескольких (конечного числа) замкнутых кривых.
Расширенным резольвентным мнооісеством пучка А н* АІ7 — (7 назовем подмножество р(Р, (7) расширенной комплексной плоскости С, состоящее из р(Р, (7) и, возможно, точки оо. Точку А — оо отнесем к расширенному резольвентному множеству р(Р, (7) пучка, если оператор И обратим. В противном случае точку А = оо отнесем к расширенному спектру б(Р, (7) пучка.
Теорема 1.3.1. Пусть оо 6 р(Р,Є), т. е. оператор Р обратим. Тогда отображение ср: 0(о(Р, (7)) —> Вр?£)(У, X), определенное по формуле
^(/) = гЬ //(Л)(Л^ - С)-1
где Г — контур, являющийся ориентированной огибающей сг(Р, (7) относительно точки оо и дополнения к области определения функции /, является непрерывным морфизмом алгебр с единицей.
Функция и(А) = 1 переводится морфизмом (р в единицу Р~1 алгебры В(2?<3)0'іХ), функция у(А) = А переводится морфизмом <р в оператор а функция гд0(А) = где Ао Є р{И, (7), переводится мор-физмом <р в ДЛо = (Аоі7 — Є)"1.
Если оператор і7 не обратим, обозначим через В^р^(У,Х) алгебру с присоединенной единицей I. В случае, когда Р обратим, под будем понимать саму алгебру В(/гС)(У, X), а иод I —
оператор I71"1.
Теорема 1.3.2. Пусть оо Є д^Р^О), т. с. оператор F не обратим. Тогда отображение (р: 0(о(Р, Є)) —» Врг£)(У, X), определенное по формуле
^(/) = і 11 [х){хр " с)~1 ах+/(оо)1’
где Г — контур, являющийся ориентированной огибающей расширенного спектра б(Р, (7) относительно дополнения к области определения функ-
9
ции f, является непрерывным морфизмом алгебр с единицей. В частности, функция н(А) = 1 переводится морфизмом р в присоединенную единицу I алгебры B(f,G)(y, X). Функция гл„(Л) = где Л0 € p(F, G), переводится морфизмом (р в RXo.
Теорема 1.3.3. Для любой функции } Є 0(o(F,G)) имеет место равенство
{7в(ГіС)(У>х)(^(Я) — {/М: ^ Є }•
Теорема 1.3.4. Пусть a(F,G) представлено в виде объединения двух неперссскающихся замкнутых подмножеств oq, б\ С С, причем <tq ограничено. Тогда существует идемпотент П0 Є X), для которого
А = По О А + Пі О А, А є X),
где П2 = I - По — дополнительный идемпотент. В частности,
Яд = По О Яд + Пі О Яд, Л є p(F, G).
При этом расширенное сингулярное множество псевдорезольвенты По О Я(.) в алгебре HqQB^g)(Yi X) совпадает с oq, а (расширенное) сингулярное множество псевдорезольвенты Г1і О Я(.) в алгебре Пі О Вр?<з)(У, X) совпадает с о і = о і \ {оо} (совпадает с <ті).
В § 1.4 обсуждаются свойства операторов у>(ехре) и y>(Expf), где
ехрДЛ) = ехрА£,
^ ^ 1 exp Xt, в окрестности спектра пучка,
[О, в окрестности бесконечности.
Оператор
U(t) = <р(Ехр*),
зависящий от параметра t, играет роль оператора сдвига (вдоль траекторий). Его связь с дифференциальными уравнениями в простейшей ситуации объясняется теоремой 1.4.4.
Определим О-произведение элементов А алгебры В(^)(У’,Х) на векторы х Є X по формуле
А О х — AFx.
Теорема 1.4.4. Пусть оператор F обратим. Тогда решение начальной задачи
Fx(t) - Gx(t) = f(t), x(0) = H0,
10
где щ Є X, а / — непрерывная функция, представимо в виде
где II(г) = </>(ехр*).
Обсуждается групповое свойство для <р(Ехр*) (предложение 1.4.2), представление (р{ехрь) в виде степенного ряда (следствие 1.4.7) и построение полиномиальных и рациональных функций от пучка, которые могут быть использованы в численных методах [71, 72].
В § 1.5 обсуждается представление решения начальной задачи для дифференциального уравнения, соответствующего пучку, резольвента которого имеет на бесконечности полюс. Изложение ведется в терминах импульсной характеристики Т и оператора сдвига Г/. Поскольку импульсная характеристика, как правило, содержит ^-функцию и ее производные, используется язык обобщенных функций.
Пусть Е — комплексное банахово пространство. Обобщенной функцией класса Т)'+(а) = 2)+(К,Е, а), а- 6 К, называют (13] обобщенную функцию / 6 Т>\ которая равна нулю на (—оо,0) и после умножения на функцию £ н* е~°1 при любом <т > а попадает в пространство с>', точнее, допускает продолжение по непрерывности с Ъ па 8.
(Обобщенной) импульсной характеристикой класса Т)'+(а) дифференциального уравнения
назовем обобщенную функцию Т класса Ъ'+ (а) = 2)+(К, В (У, Х),а), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
Роль импульсной характеристики в представлении решений дифференциальных уравнений объясняется теоремой 1.5.3, а ее строение обсуждается в теоремах 1.5.7 и 1.5.10.
Теорема 1.5.3. Пусть импульсная характеристика класса 2>+(а) существует, а / Є 2У+(Е, У, а). Тогда обобщенное решение х Є Т>'+(1&, X, а) начальной задачи
существует, единственно и представимо в виде свертки Т*/ импульсной характеристики Т и правой части /.
Их - Єх = /
ИТ(І) - £Т(£) = 1 у6(і).
Еж(£) - Єх(Ь) = /(£), х(і) = 0,
£ < 0,
11
- Київ+380960830922