*>____________
Оглавление
Введение...................................................3
Глава 1. Предварительные сведения.........................15
§1.1. Особенности интегральных операторов.........15
§ 1.2. Классические результаты Г.Г. Харди о дробных интегралах...........................................18
§ 1.3. Случай а > 1 ..............................19
§1.4. Критерий К. Андерсена л Э. Сойера..........20
Глава 2. Ограниченность и компактность одновесовых операторов Римана-. 1 ну вил ля в лебеговских пространствах ... 22
§2.1. Ограниченность..............................22
§2.2. Компактность................................20
§2.3. Двойственные н дискретные варианты.........29
§2.4. Другие результаты...........................32
Глава 3. Случай переменных пределов интегрирования 40
§3.1. Предварительные замечания...................40
§3.2. Ограниченность..............................43
§ 3.3. Компактность...............................57
Глава 4. Весовые неравенства и нелинейные уравнения 63
§4.1. О нелинейном уравнении типа Риккати 03
§4.2. Об интегральном уравнении Абеля второго рода 64
Литература................................................72
з
Введение
Идея обобщения понятия производной
на нецелые знамения р
привела к появлению дробного дифференцирования и. обратной к ней. операции дробного интегрирования. Среди различных подходов к определению последней отметим лпувиллеискую форму
указанную в работе Б. Рнмана [49] и, независимо, в работе X. Хольмгрена [31]. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии [11]. где. в частности, выражение (0.1) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лпуоилля.
Пусть г > 0 н V = //(К4-) обозначает пространство всех измеримых по Лебегу функций на полуоси К+ — (0. ос), для которых
Первой из всего круга задач, связанных с дробным интогродифферен-цпрованием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида
где 0 < />, (/ < 00, р > 1, и(х) и у(х) — локально суммируемые функции без каких-либо априорных ограничений.
Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д Е. Литтлвуда (см.[29, теоремы 329, 383. 402]. в которых найдены критерии выполнения (0.2) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / <•/„(«/) в простран-
ствах Лебега.
Активное развитие выделенной области дробного интегрирования началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [57]. Д. То-м л со дли [58]. Б. Мукеихаупта [44], Дж. Брэдли [25], А.Л. Розина и П.Г. Ма-зыс [41]. [42]. [8], В.М.Кокилашвнлн [4]. С.Л. Рнменшнандера [50] и других
(0.1)
при г < оо
при г = ОС.
— 4 —
авторов был полностью изучен случаи а = 1. И конце 80-х п работах
В.Д. С/гспанова '13]. [14]. [15]. [16], [17]. были найдены критерии ограниченности н компактности операторов /0 при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов б работах Р. Оннарова [9], [10]. X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [4(1]. С. Блума и Р. Кермана [23]. 124] а также В.Д. Степанова и его учеников 36]. [37]. |46]. [47]. [6]. [7], [38], [45].
Случай о € (0, I), за исключением одного результата К. Андерсена и
Э. Сойера [20] (см. §1.4), оставался практически не исследован. В 1994 в рамках изучения поведения «-чисел одновесового оператора / ь(1а/) в
I? в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [48] был указан критерий ограниченности п компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследовании по второй главе диссертации, где получены критерии выполнения (0.2) при а = 1, 0 < />. <? < оо, р > шах{1. £} и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров р и </ аналогичные результаты независимо получены А. Месхн [13]. Кроме этого, во второй главе даются двойственные и дискретные версии, а также охарактеризована ограниченность оператора с/„ в пространствах . 1оренца.
В настоящее время п связи с некоторыми теоремами вложения (см. [18]) рассматриваются весовые неравенства для интегральных операторов с переменными пределами вида
5 с(/" 1/МГ *)'.
где
рО\г)
(к:/)(х) = г(х) / (х-у)°-'Яу)и{у)<1у,
М*)
а г.', о возрастающие, абсолютно непрерывные на функции со свойством ^{х) < ф(х) < х. В третьей главе приведены критерии Ьр - //' ограниченности и компактности оператора К в случае а > 1 и доказаны новые результаты когда и = 1, 0 < р, д < оо, р > тах(£, 1). при этом случай 0 < а < 1 является новым, а критерий уже решенного случая а > 1 отличается от известных (см. [39], [2], [37], [28], [30], [27]).
В четвертой главе неравенство (0.2) охарактеризовано для и = 1 или V = 1 при р = •/ и о € (0, 1). а также даны приложения к разрешимости интегрального уравнения Абеля вида
г(т) = (/0*г/){.г) -Ьсчг(т),
где и измеримая неотрицательная функция на й+, I* оператор вила
а коэффициенты а.£ > 0. Покапано, что данное уравнение имеет решение V и классе измеримых, конечных почти всюду на (0, а) функций “в малом". то есть при некотором £ > 0, тогда и только тогда, когда оператор
Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы. Параграфы и формулы занумерованы двойным ин-
дексом: первая его часть представляет номер главы, вторая порядковый номер соответственно параграфа или формулы в данной главе. Нумерация лемм, теорем, следствий наследует нумерацию параграфов, добавляя свои порядковый внутри параграфа номер. Так, например, (1.3) означает третью формулу в первой главе, а теорема 2.4.1 означает первую теорему параграфа З2.4, то есть четвертого параграфа второй главы.
Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.
Во второй главе рассматривается оператор /?,, = Г(а)г/Й п в первом параграфе получены критерии его ограниченности в лебеговских пространствах.
Теорема 2.1.3. Пусть о: > 0 и тах(-, 1) < р < <] < оо. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
\(0,а)/п действует из и в V.
(і) />,>: // —> Vі ограничен, (іі) .4 < х.
Более того, « .4 % ьіі|).>а ^ !*<&)*•
Теорема 2.1.4. Пусть а > 0. 0 < ц < р < оо, р > тах(^Л), 1/г = 1 /ц — 1/р. Тогда следующие утверждения оквивллентны:
-6—
Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Па в лебеговскнх пространствах.
Теорема 2.2.1. Пусть а > 0. uiax( -, 1) < р < q < оо. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) П„: U -> № компактный,
(ii) .4 < и Ііш . Ц. = lim .4* = 0.
Лг-f-x* Xr-t+эо
Теорема 2.2.2. Пусть а > 0. 0 < г/ < р < оо. р > max(^.l). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
{і) R.,: Lp -» L'1 ко.и na кm ны й.
(ii) D < оо.
В третьем параграфе приведены дискретные и двойственные аналоги теорем 2.1.3, 2.1.4.
Теорема 2.3.1. Пусть о > 0 и w„ > 0. аи > 0 для всех п € N. Положим
где Супремум берется по всем последовательностям {а„} таким, что
х>
^2 = 1. Если шах(£,1) < р < q < оо, то
Если 0 < q < р < оо. р > шах(£, 1). 1/г = 1/q - 1 (р, то
Следующий результат связан с двойственным оператором вида
- Київ+380960830922