Оглавление
Введение 3
1 Целые функции типа синуса 20
1.1 Геометрические характеристики субгармонических и выпуклых функций ...................................... 20
1.2 Конструкция целых функций типа синуса............... 31
1.3 Оценки целых функций типа синуса................... 37
1.4 Точность оценок целых функций типа синуса.......... 48
2 Системы экспонент в весовых пространствах 60
2.1 Полнота и минимальность систем экспонент в пространстве 1^2(/, Ь) ........................................ 60
2.2 Безусловная базисность систем экспонент в пространстве .................................................. 70
2.3 Безусловная базисность в неклассических случаях . . 86
2.4 Суммирование рядов из экспонент.................... 91
Библиография 108
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию систем экспонент в пространствах 1/2(/, Л), состоящих из функций, определенных и локально интегрируемых на интервале /, для которых конечна норма
П/П2 :=^|/(<)|2е-2Л<‘><Й.
Весовая функция к предполагается выпуклой на интервале I.
Рассматриваются такие свойства систем экспонент как полнота, минимальность, безусловная базисность и способы суммирования рядов но этим системам. В проведенных исследованиях по сложившейся традиции систематически используются целые функции с заданным асимптотическим поведением, в данной диссертации — целые функции типа синуса.
В первой главе рассматривается вопрос о конструкции целых функций типа синуса, доказываются соответствующие оценки и исследуется точность полученных оценок.
В теории функций комплексного переменного важную роль играют субгармонические функции. Систематическое изучение субгармонических функций началось с основополагающих работ Ф. Рисса, в которых доказан ряд свойств субгармонических функций и приведены важные примеры таких функций. В частности, субгармоническими в области П С С являются функции вида 1п |/(<г)|, где / — аналитическая функция в области П.
3
Введение
4
К вопросу о том, насколько произвольная субгармоническая функция может отличаться от функций вида 1п |/|, в сущности сводятся многие задачи комплексного анализа ([1], [4], [9], [12], [25]—128], [46],
Первые теоремы о приближении субгармонических функций и функциями вида 1п |/|, где / — аналитическая функция, носят асимптотический характер. Например, теорема Полна (см. [58]) утверждает существование целой функции с заданным индикатором, то есть любая однородная субгармоническая функция на плоскости асимптотически приближается логарифмом модуля целой функции. Обобщением этого результата Полиа служит теорема Левина-Пфлюгера (см. [24], [59]) о том, что для любой р — однородной субгармонической функции и, то есть u(tz) = tpu(z), t > 0, z € С, существует целая функция /, которая вне множества Е удовлетворяет соотношению
При этом исключительное множество Е может быть покрыто кругами {г: \г — < г^} так, что
Множества, допускающие покрытия кругами с таким свойством, называются Со - множествами. В 1969 году B.C. Азарин обобщил теорему Левина-Пфлюгера, заменив условие р - однородности на условие
[52], [54] -[56]).
u(z) - In |/(z)|| = o{\z\p), |г| —» oo, г І Е.
М<Д
u(z) < ConSt|^|P, \z\ > 1. (см. [1], [3]). В то лее время для функций вида
Введение 5
где И — многоугольник или круг, были известны более точные результаты. А именно, существует целая функция /, которая на множестве {г :\г — С,\> 1, 7(0 = 0} удовлетворяет соотношению
|#£>(*) - 1п |/(;г:)|| = 0(1п |г|), |г| —» оо,
(см. [25], [36]). На примере функции и(г) = ~ 1п \г\ легко убедиться в том, что логарифмическая асимптотика не улучшаема в классе всех субгармонических функций конечного порядка. В самом деле, предположим, что вне некоторого Со - множества Е целая функция / удовлетворяет условию
1п |г| - 1п |/(г)|| = о(1п |г|), \г\ —> оо, г £ Е.
По свойствам Со - множеств (см. [23]) найдется последовательность окружностей \г\ = Лп, 11н —» Ч-оо, лежащая вне множества Е. Тогда
значит, по теореме Лиувилля (см. [35]) функция / является постоянной. Тогда исключительное множество Е должно содержать окрестность бесконечности и не может быть Со - множеством. Аппроксимация с неулучшаемой логарифмической точностью достигнута в работе [50], в которой доказана следующая теорема.
Теорема 0.1. Пусть субгармоническая на плоскости функция и(г) имеет конечный порядок роста, то есть
и(%) < СопвЩг! -+-1)р) 2 6 С.
Тогда существует целая функция 7, удовлетворяющая условию: при любом 7 найдется исключительное множество Е7, вне которого выполняется асимптотическое соотношение
\и(г) - 1п |7(2)|| = С71п|2|, (21 —> оо, 2 ?! Я7,
Введение
б
при этом множество Е1 может быть покрыто кругами B(zj,Tj), так, что
В этой теореме, как и в теореме B.C. Азарина, асимптотика разности и размеры исключительных множеств оптимально сбалансированы. В то же время в вопросах представления функций рядами экспонент активно применялись целые функции с заданным поведением в бесконечности. Впервые такие функции были использованы в работе [20) в задаче о негармонических рядах Фурье в пространстве Z>2(—тг;тг). Позднее в работе [211 они были названы целыми функциями типа синуса. Целая функция типа синуса — это целая функция экспоненциального типа, которая вне некоторой вертикальной полосы |Rc z\ < К удовлетворяют соотношению
В работе [22] в целях применения к разложению в ряды экспонент функций, аналитических в выпуклом многоугольнике D, введен класс целых функций So, представляющих собой обобщение целых функций типа синуса. Функция 5(Л) принадлежит классу So, если при некоторых положительных константах с, С, К (зависящих от функции S) вне множества {Л : Re \е~г$’ > 0, |Im Ле~гв*\ < К}, где 0j — направления внешних нормалей к сторонам многоугольника, выполняется соотношение
R<\zj\<2R
0<c<|L(z)|e-,r|Rc*l<C<oo.
с < |5(А)|е-Яо(Л) < С.
Здесь
Hd{А) = шах Re Xz —
z€D
Введение 7
опорная функция многоугольника Г). В работе [33] сконструированы аналоги целых функций типа синуса для выпуклых областей с гладкой границей. Затем в работе [34] эти функции были применены для исследования рядов экспонент в областях с кривизной границы, отделенной от нуля и бесконечности. Аналогами целых функций типа синуса названы целые функции Б экспоненциального типа, обладающие свойствами:
а) все корни А* простые и при некотором є > О круги В(А*, £\/|А*|) попарно не пересекаются;
б) для любого є > О
О < се < |5(А)|е-Яо(А) < Сє < оо,
А ^ Б(Аа;,£\/ТЩ)) к = 1,2,...
Далеко идущее обобщение результатов о целых функциях с тонкими асимптотическими оценками получено в работе [57].
В работах [б], [7] на основе анализа ранее введенных и упомянутых выше понятий аналогов целых функций типа синуса определено новое понятие целой функции типа синуса для непрерывной субгармонической функции.
Определение. Пусть и(г) непрерывная субгармоническая функция па плоскости и т{и,г) - радиус наибольшего круга с центром, в точке г, в котором функция и отклоняется от пространства гармонических функций на этом круге не более чем па 1:
т(гг, г) — зіір{г >0:3 /г(га) — гармоническая функция в круге 7?(г,г) : эир |Н{и)) — и(ги)| < 1}.
ю^В{г,г)
Функцией типа синуса для функции и будем называть целую (функцию Ь, удовлетворяющую условиям:
Введение 8
1. Все нули zn, п € М, функции Ь простые и при некотором е > 0 круги В(гп,£т(иугп)), п £ М, попарно не пересекаются;
2. При любом е > О вне мнооюехтва кругов В(гп,£т(и, гп)), п 6 К, выполняется соотношение
|1п|Дг)| -и(г)\ < Л(е).
Из соображений субгармоничности и из определения величины т(и, г) вытекает свойство
2'. Для всех 2 £ С выполняется оценка сверху
1п \Ь(г)\ < и(г) 4- ЛДе).
Множество функций типа синуса для функции и будем обозначать через 5(ц).
Классические целые функции типа синуса, введенные в работе [21], при дополнительном условии простоты и отделенности нулей будут в данном определении целыми функциями типа синуса для функции и(г) = |Не г\. Дело в том, что нули классических функций типа синуса располагаются в некоторой полосе |Яе г\ < К и в таких полосах для функции и(г) = |Ке г\ верно т{и,х) х 1. Функции класса 5^, где Б — выпуклый многоугольник, по данному определению являются функциями типа синуса для опорной функции Нр многоугольника И, потому что нули этих функций оказываются в полуполосах конечной ширины, перпендикулярных сторонам многоугольника, и в этих полосах снова т(#£>, г) х 1. Наконец, аналоги целых функций типа синуса из работы [33] — это целые функции типа синуса для опорной функции выпуклой области Но- В этом случае в силу условия гладкости границы будет выполняться соотношение т(Нр,г) х у/\Цу |<г| —> оо.
Описание результатов первой главы.
Введение
9
В первом параграфе Главы 1 в общем виде описаны геометрические характеристики
для выпуклых на вещественной оси функций и определенная ранее т(иу г) для непрерывных субгармонических функций. При этом выпуклая на вещественной оси функция и(ж) рассматривается как субгармоническая на комплексной плоскости и(г) = и(Тіе £). Доказан ряд лемм, описывающих свойства геометрических характеристик и их сравнимость между собой.
Во втором параграфе приводятся свойства функции Е(г) = ег—1, а так же описывается процесс атомизации, необходимые для конструирования функции типа синуса.
В третьем параграфе на основе результатов первых двух доказана основная теорема 1.1.
Теорема 1.1. Пусть и — выпуклая функция па Ж. Предположим, что найдется функция а(х) > 1, удовлетворяющая условиям
а) При некоторой константе А для любого я Є Ж для всех у Є [х — р(иу х)\ х + р(и, ж)] имеет место соотношение
с) При некоторой константе а > 0 для любого х € Ж для всех Уъ У2 ё [х - 2а{х)р(иу х)\ х + 2а(х)р(иу а?)] имеет место соотношение
|а(у) - а(х)\ < А.
Ь) Сходится интеграл
- Київ+380960830922