ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.....................................................................3
ГЛАВА 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЕКТОРЫ. ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ДИАГОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ.
§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений.......................15
§1.2. Непрерывные проекторы в пространствах Н р(3).....................29
§1.3. Представление линейных непрерывных функционалов
в пространствах Нр(гд), ) < р < +со...............................41
§1.4. Представление линейных непрерывных функционалов
в пространствах Нр(3), 0 < р<1....................................51
§1.5. Диагональное отображение в пространствах*#^(3)...................55
ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ'НЕГЙРЁРбШЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ п -ГАРМОНИЧЕСКИХ И ПЛЮРИГАРМОНИЧЕСКИХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИЙ.
§2.1. Доказательство вспомогательных утверждений.......................66
§2.2. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах п- гармонических и плюригармоничсских
в полпдиске функций при 1 < р < +оо...............................76
§2.3. Представление линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах п— гармонических и плаоригармонических
в полидиске функций при 0 < р < 1.................................79
§2.4. Диагональное отображешк в весовых пространствах
плюригармоничсских в полидиске функций............................84
ГЛАВА 3. МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В НЕКОТОРЫХ АНИЭ01ТОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
§3.1. Доказательство вспомогательных утверждений .....................97
§3.2. Описание мультипликаторов из Нр(с») в 1Р....................... 138
ЛИТЕРАТУРА.................................................................153
-3-
ВВЕДЕНИЕ
/Актуальность исследования. Теория функциональных пространств со смешанными нормами, введенных в 60-х годах А.Бенедеком и Р.Панцоне (см. [1]), играет существенную роль в теории функций, функциональном анализе и их приложениях. По этим вопросам опубликован ряд фундаментальных работ (см. [2-4]). В основном эти исследования проводились в вещественной области. В комплексной области интенсивно
исследовались пространства гармонических и голоморфных функций с обычной I/ -метрикой: пространства типа пространств Харди Нр (см. [5,6,10,12,13]) и пространства типа Бергмана Лр (см. [7-9]). В связи с этим возникает необходимость изучения весовых пространств со сметанной нормой голоморфных, п - гармонических, плюршармоісіческнх функций в полицилинлрических областях. Поэтому можно сказать, что тематика диссертационной работы весьма актуальна.
Цель работы - исследование пространств голоморфных, п - гармонических, плюритармонических функций со смешанными нормами.
Д:їя реализации поставленной цели решены следу ющие задачи:
- построен линейный ограниченный проектор из 7/(со) на Ир(со) и из кр(а>) на
н*№\
- получено полное описание линейных непрерывных функционалов на пространствах голоморфных, я— гармонических, плюритармонических функций со смешанными нормами;
- дана характеризация следов функций пространств голоморфных и плюригармошгческих функций со смешанной нормой на диагонали полидиска;
- получено полное описание мультипликаторов из указанных пространств в 1Р пространства.
Методы исследования. В диссертации использованы общие методы линейного и комплексного анализа, а также более специфические методы теории сингулярных интегральных операторов. В работе существенную роль играют іттегральньїе представления исследуемых классов функций посредством известных ядер.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в других вопросах теории функций одной и нескольких комплексных переменных, в теорій? операторов, в гармоническом анализе.
Апробация работ ы. Результаты исследования нашли отражение в пяти печатіплх работах, докладывались на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997 Г-Х на семинаре по комплексному анализу Брянского госпедуниверешста им. акад. ИГ.Петровского (Брянск, 1995-1998гг.). Основное содержание диссертации отражено в работах [40-45].
Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литерату ры. Прежде чем приступить к обзору результатов диссертации, заметим, что задачи, решаемые в ней, так или иначе связаны с изучением интегральных представлений некоторых классов голоморфных и п - гармонических в единичном полидиске функций.
-4-
Отметим также, что метод интегральных представлений - традиционный метод комплексного анализа. Класапескими примерами являются формулы Копит Шварца. Пуассона и интегральные представления с воспроизводящими ядрами. Они играют существенную роль в работах специалистов как одномерного, так и многомерного комплексного анализа. Укажем, например, монографии [6], [10-13]. ка работы [9], [14-20]. В диссертации существенную роль играют интегральные представления с ядрами, одномерные аналоги которых были сведены М.М.Джрбашяном еще в 1945 году [19] (см. также [20] ). Для обзора результатов диссертации по главам введем следующие
обозначения. Пусть и" = {г = (г,2п ): Щ < 1, / = 1,»} - единичный полидиск с п-
мерком комплексном пространстве С", Тп - ею остов. дп - [- /т;л-]х... х [-тг\я]у р = (р{ р» >, 'ЖО “ (0»—> С0П (0)> гДе ^ < Р) < » юу(0- положительные
правильно меняющиеся функции на (0,1]. /' = 1,и. Обозначим через Ьг (со) пространство
измеримых в ип функций /, для которых
!И
и.'
Р;
ч Р\ Рп-\
х®1(*-!м!)*и2(А) Л”н{ъпл) <Ь*г((п)
)
_1_
Рп
< +00,
(0.1)
где йЙю» - 2-мерная мерз Лебега на V. Подпространство Ьр(со), состоящее из голоморфных б 11п функций, обозначим через Нр(со). Подпространство 1р(со),
состоящее из п-гармонических з ЬтП функций, обозна1и!и через кр (со).
Напомним (см. [21])» что классом функций, правильно изменяющихся на промежутке (а:|, называется множество измеримых функций со. удовлетворяющих
с лсдуюиц £М С ВО] 1ст за м г
а) со(() >0, 1 е(0.1];
б) существуют положительные числа С(а„ € (0,1). ,1Л, >0 такие, что
ге(°4 ЯФ«’1}
Множество таких функций обозначим через 5. Учитывая результаты работы [21]. можно установить, что со тогда и только тогда, когда существуют ограниченные измеримые
функции //, е на (ОД] такие, что
1
со(х) =
ехр
ц(х)+ |х е(0Д],
при этом
^ ие(ол\ 1п — 1п —
Ч О) 4(0
(0.2)
(0.3)
-5-
Г Ч ln/w
Не ограничивая общности будем предполагать, чю тдхуггО. Положим сгй, =------------------—,
1п —
Ясо
К = *ш>-\ 0<А,<І.
1п —
Ясо
В первой главе строится ограниченный проектор из Lp(co) на Нр(а>) при p = (pl,...,p„), fi)(0 = (©l(0f».»û>w(О)» Р/>1» ®/(0* положительные правильно
меняющиеся функции на (0Д|, / = 1, и, и из Ир(й>) на Hp(cô) при pjül, j = і,п. Кроме того, дается полная характеристика линейных непрерывных функционалов в пространствах Нр (со) ирн указанных pué). Здесь же получена полная характеризация
следов функций пространства Н р(со) на диагонали гюлидиска Uh.
В §1.1 введены основные обозначения и установлены вспомогательные утверждения, необходимые для дальнейшего изложения.
В §1.2 строится линейный о граничащий оператор, отображающий Ьр(сЪ) на Hp(âj) при всех р = (р1,...,рп), 1< pj <+со, и hp(co) на Н р (оУ) при' 0< Pj <1,
j -1 г. Основные результаты этого параграфа содержатся в теоремах 1.1-1.3.
Пусть ctj > -1, 0)j є S, pj > 0, j - 1 ,n. Обозначим через г/ц (t) функцию
def ( faj \PJ____________________________________
• fe(°4 j =111
Теорема 1.1. Пусть р = (рі9->рЛ & = (œl9...t0),Д û)j є S, 1 </> , <+oo, ау>а^, j = 1, п. Тогда оператор
TjfXz)= J T = (-..g eyt (0.4)
отображает пространство Lp{co) в пространство Hp{ä>a I, причем
^{/|яР(До) < «НИЦ*,- (°-5)
Как следствие теоремы 1.1 получается следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусгь р = (рх,...3рп\ 3-(<x>l9ß..9ü>n\ 1 < Pj < +оо, cOjeS,
j = Ln Тогда оператор
KAfX?)= f-r-zrbrr-^»^) (0-6)
отображает пространство Lp (со) на пространство Нр(й)\ где
iriüi = ГТ Л1-^1 ) (0 7)
t-?,r
При 0 < pj <Х у = 1, п9 справедлива следующая теорема.
Ос + 2
Теорема 1.3. Пусть р = р„\ 0 < р < I й = (о, ) а > 1,
гу У є Б, У= 1,л. Тогда оператор
ЛГв(«Х*)- |ов(£.*М$>»і.(С) (0.8)
ип
является ограниченным оператором из Ир(бо) на Я р (су).
Из теорем 1.2 и 1.3 следует следующая на наш взгляд важная оценка.
Следствие. Пусть р = (р{рп\ 0 < р] < +оо, со = Цй)и I а(> —^-----------------------1,
Р)
(Оу є 5, / = 1.ц, / ея(|7")и 1т/(0,0,...,0)= 0. Тогда справедлива оценка
В случае обычных // - норм в пространствах голоморфных в шаре при 1 < < +оо и в
полидиске при 0 < р < +со функций тти оценки хорошо известны (см. [15. 17, 39]).
В §1.3 получено полное описание линейных непрерывных функционалов в пространствах Нр{сд), 1< р < -Ко. Для формулировки полученных результатов введем понятие интегродифференциального оператора Римана-Лиувилля. Наше определение этих операторов незначительно отличается от обычных определений операторов указанного
типа. Пусть/- голоморфная в IIп функция:
к„= 0
Положим
„ / ч ^ Г(а + \ + к) . д /(г)° У ■, с ■■■ -тд»г . (0.9)
,£оГ(в + 1И* + 1)
2 = (г1,...,гл), а=(йі,...,в„), а, >-1, у = 1п, |*} = кх+...+кп. Здесь
Г[а + 1 + к) т^т г{aj+l-\■kJ^
ПУ+ЩкЦ = 11>(а.+і)г(^+і)’
где Г - хорошо известная функция Эйлера. Пусть С2 =(г,,...,гп) еС/я. Положим
'И-Пігк- <»'»>
у=1 ^ 7 /
ТЕОРЕМА 1.4. Пусть Ф - лтшейный непрерывный функционал на Нр (со),
й = Ц,..,<о„), о, є5, р = (.ри-1 </>у <+«), ) = 1,п,и«(:)=Ф(е!)| 2 еС/".
Тогда:
-7-
/ = !.«, где
(0.11)
(0.12)
2. Обратно: каждая функция % такая, что Оа*1° €#^(уул) {а^>а0)
, у - 1,и) по
формуле (0.11) порождает линейный непрерывный фунгсционгл на Ир(го), для которого справедливы оценки (0.12).
В §1.4 доказывается аналог теоремы 1.4 в случае, когда 0< Pj <1, у = 1,п. Для
пространств Хардп Н р в круге, 0 < р < 1, описание сопряженного пространства было получено в работе |22], а в полидиеке - в работе [30]. Наше описание сопряженного пространства Н р((У) существенно отличается от методики вы»печатанной работы. Здесь важную роль играет пнтефальное представление классов Нр($), а метод доказательства восходит к работам Ф.А.Шамозша [17,31]. Пусть го - ), 6)jЄSy
р = (Рі 0 < р, < 1. / -1. п. Обозначим черед ~Xу множество всех
р)
оценка
(0.13)
?п) єІ;П. Введем» Л? норму:
(0.14)
где
Очевидно, чго относительно указанной нормы множество Л? превращается в банахово пространство.
-8-
ТЕОРЕМА 1.5. Пусть Ф* линейный непрерывный функционал на IIр {со), Р = (р1,~.,рп), 0< р} <1, Й> = (й>1 со} є£, /-1,п, инусть
определяется по (0.10). = Ф(е.). Тогда:
1. # є , Ф представим в виде
ф(/)=Д™0 Г~й I (°л5)
\ / у>«
при этом существуют положительные константы (у?,#), С2(р,а) такие, что
Сі(Д.я)|Ф|<У# <С2(р,а)Щ. (0.16)
2. Обратно: каждая фуіящия ^ є ЯЛ по формуле (0.15) порождает линейный непрерывный функционал на Нр {со), для которого справедливы оценки (0.16).
В §1.5 получена характеризация следов функции класса IIр (со) на диагонали IIп при всех рыб). При этом построен линейный оператор продолжения с диагонали полидиска в полидиск в пространствах Н р(со). Пусть р ~ (рхрп ),/?) = (со{,....соп ),
-р-Т ' ■ о ~
сдр^) = соп(і} | I , Г є((), і]. Через Н Рп (со обозначим пространство
у-1
голоморфных В и функций/ для которых
и
IНРп(о)р)
_!
Рп
|Ш\Рп®р(1 ~ \2\УпФ) [ <+со • (о.п)
.и
ТЕОРЕМА 1.6. Пусть /еНр(й)), где со = (о, ), р = (ру,...,р„),
_
а] >а0)Г 0 < р) < -ко, у = 1,я, и £>(/)(г) = /(г,...,г), г еС/. Тогда
0(/) еНРп(й>р), при этом
р(?)\н»■(*„) -соп* Ии»(.)- <018>
я-1
Обратно: пу сть f еН Рп и Р > а = ал + УХ** / + з)—. Тогда функция
& . ьО9*2*-1 Г{-Й2Г*МАГ>*"»£> (0 19)
_ - Ь-лГ4-лГ
принадлежит классу Я(йЗ), при этом справсдтива оценка:
(0-20)
то есть £>Я р(сд)=НРк (с^р) •
-9-
В связи с теоремой 1.6 отметем, что проблема характеризации следов функций из многомерных классических пространств Харди была поставлена У. Рудиным в моногрзфтт [6]. Этой задачей занимались также 11. Дюрен. А.Шильде [23], Д.Оберлнн,
Ч.Горовиц [24]. Однако полное решение этой задачи было получено Ф.А.Шамояном в работах [25]. [16].
Во второй главе дается полное опиезнис линейных непрерывных функционалов в
пространствах Ир((о) и Ир(ро) при всех р и/у, 0 <<+со, у = 1, п. Кроме того,
^ —
получена полная характернаация следов функций пространства Ир(оу) на диагонали полидиска 11п.
Прежде чем приступить к изложению результатов второй главы диссертации, отмешм, что указанные задачи возникают в связи с работой А.Шнлъдса и Д.Вильямса [14], где получены аналопнгкме результаты только в Ь{ -метрике в пространствах гармонических в круге функций. Результаты этой главы обобщают и усиливают резу.тьтаты А.Шнльдса и Д. Вильям с с сразу по двум направлениям: во-первых,
рассматривается многомерный случай, во-вторых, издается //-метрика со сметанной нормой при всех р = рп). Метод доказательства результатов восходит к работам [16,17,25], использдтотся лишь интегральные представления этих классов. Такой метод значительно проще, чем метод, применяемый в указагшой работе АЛПильдса и Д.Вильямса.
•■ч/ •• . , -• . . . ■
Обозначим черо* р ~{рх>...7р1(). 0</>у <+оо, у»19п,
простраиство всех плюрьггармонкчесюгх а £/" функции и, для которых
(
{о Ь _ !/* |1| Г
1" и
ч £2.
\Р)
У», (4',)
.и
Рп Рп-1
<*«2 (Сп)
Рп
< +ОС.,
(0.21)
Легко видеть, ЧТО относительно норм ТП при \ < р] < +СО, у = 1зп9
пространства Ир(&) и кр{оУ) превращаются в банаховы пространства, а при 0 < pj < 1, у = 1, п, в пространствах кр{сд) и Ир(бэ) можно ввеста квазинормы
Н-Н** "М=НЬ(й- (° 22)
относительно которых крШ) и к р(&>) превращаются в квазинормировашше пространства.
О §2.1 доказываются некоторые вспомогательные утверждения, которые на наш взгляд имеют самостоятельный интерес.
Лемма 2.6. Если Цг) - »- гармоническая функция из пространства кр(б)), р = (р},...,рп\ (й)1 ,...,соп \ &>,<=£, 0 < у =Ёл, то имеет место
интегральное продет деление
Ф)= ~ | ( Л’ё}/тМ (0-23)
иИ
-10-
где
у=1
(і-^ ДД’ і
а—а)>а-^У-\, /=і7л
к А 1 лг Р і
(0:24)
аю, + 2
Лемма 2.8. Пусть р = (рі,-,рЛ а = Цй>, є5, 1 < ру < -ко, а)>а<0],
г = (^,...,^) єС/и, у = 1 ,л. Тогда:
I) Оператор
Г>Х*Ь ДИі-£|М*,?}*я2,,(<Г) (0.25)
У'
отображает пространство Л/(б>) в пространство Ир (сда). причем 2) Оператор
Ов(«Х*Ь \иМ-фЛг’^2п(С)
и'
(0.26)
(0.27)
(0.28)
отображает пространство У'(со) в пространство И р (о)а ), причем
1°<»(м1Ь(ав)^сс>ИИ^(д)>
гд“+т = П^7+т-Справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.9. Пусть р = (р, ,...,р„ і <э ©Л 1 < р) < -но, йХ;є£, а]>а„<,
} -\п Тогда:
1) Оператор
ТаШ= )и^-\;\г) Ка{гх}іт2„(С) (029)
1/п
отображает пространство Ьр(со) на просіранство Ир(со)
2) Оператор
Оа(иЬ)= \и(сІ -Х\2)Еа{г,ї}іт2„(С) (0.30)
ип
отображает пространство II (со) на пространство кр(сд)
В §2.2 дается полное описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах я-гармонических в полидиске функций в случае, когда 1 < р < +«о.
Пусть £ = (г;1У...,£*)’ ~~(г1.г») еУ.Положим
ёг(С) = ГТ[—-— + —У—1
Д1-^ >
(0.31)
ТЕОРЕМА 2Л. Пусть Ф - лзшсйный непрерывный функционал на Ир (со), & - (а>1,..., Фп}. со, е£, 1 < р < -+<*? / -1, и, я ут = ф(й,), 2 € (У'\ Тогда:
1. а) V * >1 - гзрмоганк ская функция в IIл и О ;Х ‘V принадлежит классу У'(6)а ) при о} > аС) ^. / = Ь и, где
-«.(о- «до(-71л! >' % = р . / - с«.
(.«'ДО; ” - '
Р)
б) Ф лредсташм в виде
ф(и ) = 1\ш ; [ и{рС У*(р£ \ш,I (С )>
[2п) ^
причем существуют положительные числа О, (р.а). С2 (р>а) такие, что
141 7 в №(*«) * •*' -и
(0.32)
(0.33)
2. Обратно: каждая функция V такая, что £>л+1уеНч(сда) (а-,>а„ , у = Ьи) по
а*
формуле (0.32) порождает линейный непрерывный фуюодюнат на Нр (<Ъ), для которого справедливы оценки (0.33).
В §2.3 докалываются а налоги теоремы 2.1 в случае, когда 0< р< 1. Обозначим
через Л1- ~ А? п множество всех /?- гармонических функций V в Ц". дна которых
Ч! “'I
-»*2
'о:,
при а I > —■----------------, J ^= L1ni каполняогтея оценка
?}
■'г:| (Ч2# Р:
2 = (2!,...,2м) <=(/”. Введем в Арй норму:
(0.34)
1МЬ=8и?
КЧ^-МГ1”'
К1-И)]
(0.35)
где
О-И/ гг (‘-ьГ Н'-и)Г >1 (®д>-к-!)}
Очевидно, что относительно указанной нормы множество превращается в банахово пространство.
ТЕОРЕМА. 2.3. Пусть Ф- лнноыплЧ непрерывный футпкционал на Нр(&), т = (й>15...,й>и )* о)I еЗ, / = Ей, 0 < р< 1, и пусть ег(£"), £.2 е£/”, определяется по
-12-
формулс (0.31), ^z) = ф(е2). Тогда veA^, Ф представим в виде
ф{") = J '{рї)Ір£)сітМ • (°-36>
\*'П) тп
при этом существуют положительные константы Cj(pj, С2[р) такие, что
с,(р)!|Ф|<!И ? <с2(/>)|ф|. (0.37)
Обратно: каждая функция v е Aps но формуле (0.36) порождает линейный непрерывный
функционал на hp(G>). для когорого справедливы оценки (0.37).
В §2.4 строится линейный оператор продолжения с диагонали полидиска в полидиск в пространствах hр (<5) и дается характеризация следов функций класса hp(û)) на диагонали Un при всех р и со. Пусть и е hp(со), 0 < р < +ос и ü(u\z)-u(z9...9z\ z eU. Определим функцию
Оя(0в®я(0П(®у^>2К » 1 €(<11} (0.38)
>1
Через h рл (ü„ ) обозначим пространство гармонических в U функций и, для которых
Рп
N1*
j\u(zfrQn(l-\z\)dm2(z)
и
< +00.
(0.39)
^ -• . .
ТЕОРЕМА 2.5. Пусть є А р{ф), где а) = (о\соп ), О) і єЯ, р = (р{рп),
<1е/ ^
0 < < +оо, у = і и, и Г>(и^г) = «(г,...,г), г є £/. Тогда Е>(и)еЬ Рл (0„), при этом
И»Лр» (о„)5 Нрй)- (0Ж))
Обратно: для люботі функции V єИРп(С2п) можно построить функцию иєИр(ф) такую, что В{и\г)- 2 є П, то есть ОИр(ІЇ)=И Рп (£2„ ).
и
В третьей главе описываются мультипликаторы вида ^к1,..кч = Г1^А 113
/■1
пространства Нр(со) в пространство (£. В статьях П.Дюрена и А.Шильдса [26,32] описываются мультипликаторы при я=1 из пространств Харди Нр, 0 < р <1, в (А,
1 ] О
p<1q<oo,нmH в 1А и в (см. также [5]). Аналогичные результаты в случае я = 2 получены в работе Д.Оберлшта [27]. Эти же вопросы рассматриваются также в [28,29]. Через 1РА обозначим пространство функций %, для которых
Ург.
< +ОС,
✓ + «0 у 1-00 / \ •►сО ftM4 РзІРг '
ш ЬЛ,: II £■■■ I ХК-лР ...
кп=0 К ^«0 ^=0 / > /
13-
■но
где g(zl,...,z„)= •г«5'
к,2 -О
Определение. Последовательность ^ | называется мультипликатором из
пространства Н р (го) в пространство /?. если для любой функции у еНр(сд) такой, что
^(г, )= ]>Д.....
Аг„...^гя®0
СХОДИТСЯ ряд
{ (
| +оО | 4-оО ( +оО
£|£^-л^л1й
А„-0 ( *з»с'^-*0
Рі/Гл
РзіРі
\Урп
< +ОС-.
1з §3.1 доказывается некоторые вспомогательные утеерздчелия. Сформулируем основное утверждение этого параграфа.
Лемма 3.5. Пусть / &НР (а), р --= (ри...,рп), о: =0</^ <1, ^ >-1, >_/ = «у + 2-р], J = 1,и• Тогда
\й/а \ РзІРі
11 /0 " )' 1 1 ^і\>ьГ2у...-Гп,/УіОГі | ->у*2 I
1 (] І П-. оИ|
чО
(0.41)
Лемма 3.7. Пусть /еНрШ), р * 0</^.<1, ю, е £,
а&. >~\,у] = 2-р},] = \,п. Тогда
Гі-іГ
'иXі“'■«У11 1 • |а;2(і*-/2Хі-^2^ 1 1
о х о \0
\Ї2ІР'. \Рз/Р2 хМ?(ъ,г2,...тя,/)г]ф[ І Г2сЦ I ...гяОгя <41%-Чяу
(0.42)
В §3.2 дается спислшю му л ь гипликаюров из Нр(3) в 1Р. Основной результат содержится в теоремах 3.1-3.3.
Теорема ЭЛ. І {усть р = (,..., рп ), &=(й){,..., а,,), 0 < рі < I, е £’, / = 1, л. } " муятшетикатор из Н*(ф) в Ґ тогда и только тогда, когда
Яь £ — (9
(0.43)