Оглавление
Введение 4
I. Метод средних с произвольным функциональным параметром 9
1.1. Некоторые вспомогательные определения............... 9
1.2. Метод средних...................................... 14
1.3. Простые свойства обобщенного метода средних
■ЛХ0,Хг)^........................................... 20
1.4. Теорема двойственности............................. 28
1.5. Теоремы о реитерации............................... 35
1.6. Описание интерполяционных орбит идеалов Неймана-Шаттена. действующих в гильбертовых парах........... 37
II. Вещественные пространства-параметры для пространств Орлича 47
2.1. Описание пространства-параметра для пространства Орлича в невырожденных случаях.......................... 47
2.2. Аномальные пространства Орлича...................... 58
— 3 —
III. Интерполяционные теоремы в парах пространств
с функциональными параметрами 64
3.1. Совпадение весовых пространств последовательностей Орлича с весовыми пространствами 1р.................. 65
3.2. Еще о теоремах вложения для пространств ср(Хо, 73
3.3. Интерполяционные теоремы........................ 74
Список использованной литературы 80
— 4 —
Введение
Пространства Орлича являются объектом внимания теории интерполяции линейных операторов с самого момента их появления в анализе. Интерполяция в пространствах Орлича рассматривалась в работах многих математиков, таких, как А.В.Бухвалов, Г.Густавсон, П.П.Забрсйко, М.А.Красносельский, Г.Я.Лозановский, Г. Лоренц, Л.Малигранда, М.Мастыло, В.И. Овчинников,
Я.Петре, Е.И.Пустыльник, Я.Б.Рутицкий, E.М.Семенов, А.Чианки, В.А.Шестаков и др. Первые результаты об интерполяции в пространствах Орлича были доказаны самим Орличем. В дальнейшем оказалось, что первый результат Орлича относится к более широкому классу перестановочно инвариантных пространств, которые точно соответствовали постановкам задач в теории интерполяции, и продолжительный период развития теории интерполяции был связан с перестановочно инвариантными пространствами или же с пространствами Lp и их модификациями.
Особая роль пространств Орлича стала ясна в 70 - е годы, когда в задачах об интерполяции в пространствах со смешанной нормой попытались интерполировать операторы по внутренней норме (работы A.B. Бухвалова [3] и [4]). Оказалось, что это возможно для
пространств Орлича и в ряде случаев только для них (см. [25]). Для решения задачи об интерполяции в пространствах Орлича в работе
В.И. Овчинникова [18] были созданы специальные интерполяционные функторы о, Х1), ц?и(Хо,Х\) и <рт(Хо,Х\), которые позволили доказать интерполяционность конструкции Кальдерона, а в случае пар пространств Орлича описать все интерполяционные пространства Орлича между пространствами Орлича (см. также [26]). Достоинством и одновременно недостатком этих функторов является то, что они не входят в число функторов вещественного метода (К-и /-методов). К числу достоинств относится то, что с их помощью можно доказать утверждения, которые не могут быть получены вещественным методом, например, точные теоремы для ’’ухудшающих'5 операторов (см. [18]). К недостаткам можно отнести то, что соответствующие теоремы нельзя применять к квазилинейным операторам.
Фундаментальный обзор результатов по теории интерполяции для пространств Орлича содержится в книге [37].
Если рассматривать интерполяционные пространства Орлича между пространствами Ьр, то с одной стороны они описываются конструкцией Кальдерона, а с другой стороны, в силу теоремы, доказанной Спарром ([42]) они могут быть описаны вещественным К-методом. Следовательно, существуют интерполяционные функторы, которые являются вещественными и описывают пространства Орлича. Интерес к подобного рода функторам и пространствам, которые могут быть ими получены, вызван в частности тем, что такие пространства возникают при описании интерполяционных орбит
— б —
элементов при действии операторов из одной пары пространств Ьр в ДРУГУГ<> (см- [40]). Подобные функторы также интересны и для исследования пространств гладких функций, поскольку они позволяют, оставаясь в принципе в классе пространств Бесова, расширить класс используемых пространств. Данная работа тесно примыкает также к серии работ В.И.Буренкова, М.Л.Гольдмана, Р.Кермана,
В.Д.Степанова, Х.Хайнига и др. об оценках для интегральных операторов (см. [32], [33], [2]). Этим объясняется актуальность исследования пространств-параметров, которые порождают пространства Орлича.
В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных пространств у?(Хо, Х^^^ с произвольным функциональным параметром р, которые были введены Овчинниковым В.И. в [40]. Соотношение между пространствами у?(Хо, Х\)р^>Р1 и пространствами (Хоаналогично соотношению между пространствами Орлича и пространствами Ьр. Эти функторы в случае пар пространств {£**,, ЬР1} дают пространства Орлича (см. [40]), и как показано в параграфе 1.2 они являются вещественными интерполяционными функторами. Основными результатами этой главы являются теоремы двойственности и теоремы о реитерации для функторов р(Хо,Х\)Ро^г В параграфе 1.6 полученные результаты о двойственности и реитерации применяются для описания интерполяционных орбит при действии операторов из идеалов Неймана-Шаттена, отображающих гильбертовы пары. Эти результаты в свою очередь позволяют получить в этом же параграфе нетривиальные теоремы вложения для пространств р(Х0,Х1)Р01РГ
- Київ+380960830922