Поточечная скорость сходимости средних Чезаро

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Поточечная скорость сходимости одномерных средних Чезаро
§1. Оценки сверху для одномерного случая §2. Окончательный характер оценок сверху для одномерного случая
§3. Оценки снизу для всей последовательности средних Чезаро
§4. Оценка скорости сходимости средних Вороного ГЛАВА 2. Поточечная скорость сходимости двумерных средних Чезаро
§1. Оценки сверху скорости сходимости двойных средних Чезаро с ограниченным отношением индексов
§2. Невозможность усиления оценок сверху скорости сходимости двойных средних Чезаро ГЛАВА 3. Поточечная скорость сходимости кратных средних Чезаро
§1. Оценки сверху скорости сходимости кратных средних Чезаро с ограниченным отношением индексов
§2. Окончательный характер оценки сверху скорости сходимости средних Чезаро
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Диссертация посвящена изучению поточечной сходимости средних Чезаро положительных порядков простых и кратных рядов Фурье, а также некоторых смежных вопросов.
Пусть т - натуральное число, Т — [—7г, тг], /(х) - это измеримая функция 1п переменных 2тт-периодическая по каждой переменной, которая ограничена на Тш, а
Е с^Укх (°л>
кегт
тп
- ес ряд Фурье, где х — (Х1,...,1т), к = (к..,к„,) икх=^ к,х,, а
7=1
сЦ/) = |^| //(х)е-‘^х
'рт
при к 6 Zm.
Известно, что в кратном случае сходимость ряда (0.1) можно определять различными способами. Обзор результатов по сходимости различных частичных сумм кратных рядов Фурье можно найти в монографии Л.В.Жижиашвили [1]. При этом результаты для разных сумм весьма сильно отличаются друг от друга. Наиболее употребительными, и, по-видимому, наиболее естественными, являются прямоугольные частичные суммы, т.е. суммы, определяемые формулой
5/ ,,„(х;/)= Е - Е М/К1“,
1^11^1 |&п*|^т
при € N и {()}, где N - множество натуральных чисел. С помощью
прямоугольных частичных сумм можно определить несколько видов сходимости рядов Фурье. Основными из них являются сходимость по прямоугольникам (по Прингсхейму) - когда все индексы независимо стремятся к бесконечности, по
кубам - когда 1\ = /2 = ... = 1т —»• оо, а также А-сходимость (Л > 1) по прямоугольникам - когда индексы стремятся к бесконечности независимо, но отношение любых двух индексов не превосходит заданного числа Л.
Следует отметить, что в многомерном случае даже прямоугольные частичные суммы ведут себя не так, как одномерные частичные суммы рядов Фурье. В частности, принцип локализации Римана несправедлив даже в случае размерности 2 и даже для квадратных частичных сумм непрерывной функции. Ряд Фурье непрерывной функции двух переменных почти всюду сходится по кубам (Н.Р.Тевзадзе, |2|), по при любом Л > 1 он может всюду А-расходиться (Ч.Фефферман, [3]), (М.Бахбух, Е.М.Никишин, [4]), (А.Н.Бахвалов, (5)).
Из сказанного выше вытекает, что проблема восстановления ограничен -ной измеримой функции многих переменных по ее ряду Фурье, если она обладает определенной гладкостью в окрестности заданной точки, а также изучение скорости этого восстановления являются актуальными задачами. В диссертации предлагается использовать для этих целей средние Чезаро. При этом подчеркнем, что речь идет не об аналоге принципа локализации Римана, поскольку, как вытекает из результатов работ И.Херриота [6], В. А.Ильина [7] и Н.Ч.Крутицкой |8], [9], для (С, а)-средних Чезаро аналог принципа локализации верен для всех интегрируемых функций двух переменных лишь для а > 1, либо надо требовать определенной гладкости от функции во всех точках. Мы рассматриваем иную ситуацию: от функции требуются измеримость, ограниченность и гладкость по отношению к фиксированной точке.
В одномерной ситуации является актуальным вопрос о скорости сходимости средних Чезаро в точке, если известно поведение 2л-периодической измеримой ограниченной функции при приближении к этой точке.
Основной задачей, решаемой в диссертации, является установление окончательных в своих терминах оценок скорости поточечной сходимости средних Че-
заро в одномерной и многомерной ситуации, когда известно, что27Г-периодическая по каждой переменной функция измерима, ограничена наТ™ и обладает определенной гладкостью в данной точке. При этом будут выявлены различия между одномерной и многомерной ситуациями.
Приведем некоторые определения. Если число р > 0, натуральное число тп > 1, Т = [—7г,7г], функция /(х) е L(Tm), а числа щ € N U {0},г = то определим чезаровские (С,/?)-средние ряда Фурье функции /(х) формулой
^(х;/) = <11 п„)(х;/) =
/ т \ -1 ii\ пт т
= ГК) Е-Е1К;К А-С*;Л.
v=l / h= о /т=0;=1
где /) - соответствующая прямоугольная частичная сумма ряда Фу-
рье функции /, а - числа Чезаро
ГШ + О
дД = К________
^ гг! '
Ниже через С(.) будут обозначаться положительные постоянные, зависящие лишь от параметров, перечисленных в скобках. Эти постоянные не обязаны быть одинаковыми в различных утверждениях, кроме случаев, когда это будет специально оговорено.
В первой главе изучаются ряды Фурье ограниченных измеримых27г-периодичес функций одной переменной, имеющих заданную гладкость в некоторой точке.
Определение 1. Пусть ip(t) - неубывающая на [0, оо) неотрицательная функция, такая что 'ip(t) —> 0 при t —> +0 и гЦП + h) < ^(^i) + ^(£2) при любых > 0 и t,2 > 0. Тогда будем говорить, что ip(t) € Ф.
Отметим, что, как было установлено С.М.Никольским [11], класс Ф совпадает с совокупностью всех модулей непрерывности функций из пространства
Первый параграф посвящен доказательству оценок сверх}'. Несмотря на то, что нас будет интересовать скорость сходимости средних Чезаро в фиксированной точке в зависимости от поведения функции по отношению к этой точке, необходимо упомянуть о классических результатах С.Н.Бернштейна [12] (для ß = 1) и П.Л.Ульянова [13] (для 0 < ß < 1), которые установили, что если О < а < 1 и 2/Г-периодичсокая функция одного переменного f{x) € Lipa, то
I/M -(я;/)! ^ Сп~а
при всех натуральных п.
Основным результатом первого параграфа являются следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть функция ip(t) е Ф такова, что
о
Пусть, также, определенная на R, 27г-периодичсская измеримая функция f(x) в заданной точке гг0 удовлетворяет при всех t е Т условию
1/(*о + 0 - /Ы1 < V'(W)-
Тогда, если ß £ (0,1], п > 1, (т%(х\ /) - чезаровское (С, /3)-среднее ряда Фурье функции f(x), то
7Г
|/(х0) -<т£(ю;/)| < C(ß)n~ß J jpQdt,
Г
71
где постоянная C(ß) зависит только от ß.
Отметим, что случай ß > 1 мы в данной работе рассматривать не будем, поскольку соответствующие ядра Фейера устроены несколько иначе и требуется другой подход. Отметим лишь, что при любом ß > 1 даже обращение в ноль
б