Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностей

Оглавление
Введение 3
1 Определение и свойства операторов свертки в пространствах последовательностей 26
1.1 Пространства числовых последовательностей: э, и
В., 26
1.2 Операции сдвига и свертки в пространствах последовательностей..............................................31
1.3 Преобразование Лапласа функционалов из А<р* и В9* . 37
1.4 Уравнения свертки в пространствах А|хр и В|*|Р .... 40
2 Факторизация операторов свертки в пространствах последовательностей ч. '. 44
2.1 Идеалы аналитических функций в пространстве Я^(С\{0},оо)..............................................44
2.2 Лемма о мажорирующей функции..........................50
2.3 Идеалы аналитических функций в пространстве Я|,п№(С\{0},0) .......................................... 58
2.4 Постановка и решение задачи факторизации оператора свертки в пространствах последовательностей ..... 61
2.5 О расщеплении характеристической функции на два множителя ................................................65
3 Перестановочные с кратным сдвигом операторы в пространствах числовых последовательностей 69
3.1 Перестановочность с кратным сдвигом. Операторы свертки с пропусками...........................................69
1
3/2 Подпространства, инвариантные относительно оператора кратного сдвига Бт...............................74
3.3 Приложение к решению однородных уравнений .... 79
3.4 Разрешимость неоднородных уравнений...................81
3.5 Решение операторного уравнения
БтМ - МБт = 1.........................................85
2
Введение
В диссертации решается задача нахождения общего вида линейных непрерывных операторов, перестановочных с оператором сдвига в весовых пространствах числовых последовательностей комплексных чисел. Доказывается, что класс таких операторов состоит из операторов свертки в указанных пространствах последовательностей. Описываются их важнейшие свойства и решается задача факторизации операторов свертки. Так же находится общий вид операторов, коммутирующих с операцией кратного сдвига и полностью описывается ядро и образ таких операторов. В последнем разделе диссертации в пространстве линейных непрерывных операторов над пространствами числовых последовательностей решается операторное уравнение SmM - MSm = L
Решаемые в диссертации проблемы являются дискретным аналогом известной задачи из теории функций: описать в некотором классе функций (целых, бесконечно дифференцируемых или аналитических в некоторой области) все линейные непрерывные операторы. перестановочные с оператором дифференцирования. Нахождению таких операторов в пространствах одной или нескольких переменных посвящены работы многих математиков: Братищева A.B. и Коробейника Ю.Ф. [1], Елисеева И.С [8], Коробейника Ю.Ф. [16], Нагнибиды Н.И. [29]-[30], Напалкова В.В. [33], Царькова М.Ю. [45], Ткаченко В.А. [44], и др. Согласно результатам этих работ, коммутирующие с дифференцированием операторы могут быть описаны с помощью операторов свертки. Важнейшие свойства таких операторов, однородные и неоднородные уравнения свертки, структура решений этих уравнений подробно исследовались в работах Коробейника Ю.Ф. [18], Красичкова- Терновского И. Ф. [19], Кривошеева А.
3
С. [22] и [24], Леонтьева А. Ф. [26], Напалкова В. В. [32], Б. Малъ-гранжа [53], Напалкова В. В. и Кривошеева А. С.[21], Л. Эренпрайса [52], Юлмухаметова Р. С. [50] и других.
В диссертации вместо пространств аналитических функций рассматриваются весовые пространства двухсторонних числовых последовательностей заданного роста. Пусть - произвольная неотрицательная функция, отображающая вещественную ось в себя и
Пт <р(£) = +оо. Определим числовую последовательность {<£л}ег, |*|->00
<Рк Л= 4>{к).
Для положительного о рассмотрим следующее нормированное пространство двухсторонних числовых последовательностей:
!» = {* = {хк}к&',хк € С : ||®||а = < оо}.
^ лег е ^ }
Образуем следующие пространства:
А<р =' и В* =' П
о >0 <г>0
Наделим пространство топологией индуктивного предела, а пространство Ву, - топологией проективного предела.
Пусть X ~ одно из пространств или В^. На последовательности х = {хк}ке% € X для некоторого фиксированного целого п рассмотрим оператор сдвига 5П : Бпх = {зл+пЬег- В работе [42] для случая X = А^, найдены условия на функцию <р, при которых оператор сдвига отображает пространство А^ в себя. Эти же ограничения на весовую функцию подходят и для случая проективного предела В^>. Потребуем, чтобы у удовлетворяла этим условиям. Тогда оператор определен в пространстве X.
Поставим следующую задачу: в пространстве X найти все линейные непрерывные операторы для любого целого п перестановочные с оператором сдвига 5П:
5п(М(х)) = М(Бп(х))у з е X; Vп € 2.
Первоначально указанная задача была решена /утя частного случая пространства А^ с весовой функцией р > 0 (см.
4
[11]). R дальнейшем этот результат был обобщен Сапроновой Г.А. для пространства А^> с произвольной весовой функцией (р. В диссертации поставленная задача решается и для пространства с произвольной весовой функцией (р. Во всех случаях был найден критерий перестановочности линейного непрерывного оператора М с оператором сдвига. Из этого критерия следует, что указанному свойству удовлетворяют операторы свертки в пространствах и В^.
Для пространств А|х|р и В|Х|р в работах Напалкова В.В. и Шага-пова И.А. ([36], {37]) и в диссертации Шагапова И.А. (49] было полностью описано ядро операторов свертки. В этой работе было доказано, что образ оператора свертки совпадает со всем пространством А|х|р (В|х|р). Соответственно, в указанных пространствах разрешимо любое неоднородное уравнение свертки. Для пространств аналитических функций многих переменных разрешимость неоднородных уравнений исследовалась в работах JI. Эронпрайса [52], Б. Мальгран-джа [53], В.В. Напалкова [32], A.C. Кривошеева [22] и других. Для описания образа операторов свертки в пространствах последовательностей была использована модернизированная схема доказательства из монографии |32|. В дальнейшем схема, была применена для описания образов операторов, коммутирующих с кратным сдвигом. При доказательстве используется описание сопряженного пространства к X в терминах преобразования Лапласа.
Отмстим, что для различных пространств односторонних последовательностей и числовых семейств, перестановочные с правым и левым сдвигом операторы, исследовались в монографии Ю.Ф. Коробейника [17]. В указанной монографии исследовались вопросы разрешимости уравнений свертки на односторонних пространствах числовых последовательностей. Полученные результаты были применены для нахождения общего вида операторов, коммутирующих с операцией дифференцирование в пространствах целых функций порядка р конечного типа. Были найдены условия, когда такие операторы -изоморфизмы.
Задача факторизации уравнения свертки является обобщением следующего очевидного результата из теории дифференциональных уравнений.
5
Пусть р(л) = а()Т]п + • • • + ап - характеристический многочлен однородного линейного дифференционального уравнения с постоянными коэффициентами
ао2/(п)(2) + а1у(п_1)(г) + • • • + а„у (г) = 0. (1)
Предположим, что характеристический многочлен р(т}) представляется В виде произведения двух многочленов р 1(77) И Р2(р), не имеющих общих корней:
рО?) = М‘п) -Му)
Отметим, что любое решение уравнения (1) может быть записано в виде у [г) = 2/1(2) 4- £/2(2), где 2/1(2) - решение дифференционального уравнения с характеристическим многочленом а
2/2(2) - решение дифференционального уравнения с характеристическим многочленом р2(т/). Указанную выше проблему называют задачей факторизации дифференционального оператора. Для диффе-ренциональных уравнений в частных производных конечного порядка аналогичная задача была решена Адемаром (|38|, [54]). В работе [31] В.В.Напалков поставил и решил задачу факторизации для уравнений свертки в пространстве целых функций одной комплексной переменной. В дальнейшем в монографии [32] задача была решена и для пространства целых функций нескольких комплексных переменных. Отметим, что факторизация операторов свертки используется для исследования разрешимости систем уравнений свертки, содержащих конечное или бесконечное число уравнений. Вопросы разрешимости систем уравнений свертки исследовались в монографии В.В. Напалкова [32], в работах В.В. Напалкова и Т.Т. Кузбекова [32| и [34], Т.Т. Кузбекова [25], Кривошсева А.С.[23] и других. В целом метод доказательства факторизации операторов свертки в пространствах последовательностей был взят из работ [32], [32] и [34]: задача решалась в пространстве преобразований Лапласа функционалов из X*, затем делалось обратное преобразовапие. Указанная задача тесно связана с исследованием образующих в кольцах целых периодических функций заданного роста. Так как многие свойства периодических функций проверить непосредственно очень сложно. После
б
замены г = —г • 1п Л периодические функции пространства преобразования Лапласа переходят в аналитические вне нуля и бесконечности функции определенного роста. Для разрешимости задачи в этих пространствах использовались результаты Л. Хермандсра [47] о 1? оценках оператора д.
Как было указано выше, в диссертации в пространствах последовательностей А^> и для любого целого п был найден общий вид линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором сдвига £п. Несложно показать, что описание таких операторов эквивалентно нахождению всех линейных непрерывных операторов, коммутирующих с оператором Б\. Изменим начальные условия - зафиксируем целое число п. В пространствах (В<Д будем искать все линейные непрерывные операторы, коммутирующие с 5П. Очевидно, операторы свертки являются решением новой задачи. Решение этой задачи не ограничивается только классом операторов свертки. В диссертации вводится определение оператора свертки с пропусками и доказывается, что линейная комбинация таких операторов коммутирует с кратным сдвигом 5П. Как было указанно выше, для таких операторов полностью описывается ядро и находятся необходимые и достаточные условия, когда образ совпадает со всем пространством А9 или В^>.
Нахождение перестановочных с кратным сдвигом операторов является дискретным аналогом описания в пространстве целых функций всех линейных непрерывных операторов, коммутирующих с кратным дифференцированием и исследованию их свойств. Ранее такие операторы исследовались в работах И. С. Елисеева [7|; Мерзлякова
С.Г. [27],[28]; Грабовской Р.Я., Кононенко В.И., Осипова В.Б. [б]. Для описания ядра операторов, перестановочных с кратным сдвигом, в диссертации был использован метод, предложенный С.Г. Мерзляко-вым в работе [27]. В пространствах односторонних последовательностей аналогичные задачи рассматривались в монографии Ю.Ф. Коробейника [17].
В конце диссертации в пространствах последовательностей решается операторное уравнение ЭщМ — М£т = I. Раннее для случая натурального т эти результаты были опубликованы в работе [14]. В
7