Интерполяция функций конечного порядка в полуплоскости

ВВЕДЕНИЕ Классическая задача интерполяции состоит в отыскании функции данного класса, принимающей в заданных точках -узлах интерполяции - заданные значения, В общей постановке задача интерполяции состоит в следующем.
На линейном пространстве С1 задана последователь -ность линейных функционалов £ аС ^ \ • для данной последова-
тельности чисел^ требуется найти такой элементов 0^ у который удовлетворяет условиям ,
^к , Кб N # . • (1)
При решении общей задачи интерполяции (1) в линейном топологическом пространстве О. обычно используется следующая процедура: строится система элементов £^3'°°» биорто -тональная к системе функционалов и состовляется
интерполяционный ряд
к =. -/
Бели этот ряд сходится, то его сумма даёт решение задачи (1) . В дальнейшем мы будем излагать результаты исследова -ний интерполяционных задач в классах, состоящих из целых функций и функций аналитических в верхней полуплоскости С * = = { 2 : » и всюду понимать сходимость в смысле рав-
номерной сходимости на каждом компакте.
Теория интерполяции аналитическими функциями, рождение которой связано с именами Ньютона и Лагранжа, является важ -ной отраслью современного анализа. Интерес к этой тематике обусловлен обширной сферой её приложений в вопросах полноты систем аналитических функций в комплексной области, в теории дифференциальных уравнений, уравнений в свёртках, краевых
- 2 -
задачах, задачах оптимального заправлення и других областях математики.
Вопросами интерполирования в классах целых функций конечного порядка занимались многие математики. Укажем на ис -
следования А.О.Гельфонда [22 графова [40] , Б.Я.Левина [58
М.А.Ев -
, В .Л. Гончарова [26 , А.Ф. Леонтьева [бО [бЗ] , И.И.Ибрагимова [41], И.И.Ибрагшова и М.В.Келдыша [42], Ю. А. Казьмина [43] , [44] , [45] , Ю.Ф. Коробейника [47], [48J и других авторов.
Не останавливаясь на задачах интерполяции, связанных с интерполяционными рядами Ньютона, Абеля - Гончарова и другими, рассмотрим следующий интерполяционный процесс, носящий имя Лагранжа. Пусть в комплексной плоскости С (или в полуплоскости С* )* задана последовательность попарно различных точек (узлов интерполяции}) . В качестве последователь-
ности линейных функционалов возьмём последовательность функционалов, определённых формулами
Хк (р (а«)- С • N ' О)
Рад
р (*)-£ , ^Е (,г) . (з)
к = < (г"а< )£ (ак)
в котором £ (^) - целая функция о простыми корнями в узлах
{ак}, ’I^ к. °° г пРиняаю называть рядом Лагранжа.
Он является интерполяционным рядом для задачи (I) с системой функционалов (2). Целые функции
Е (2) = ------—, К =1, 2......................
к Сг-ак)Е#(ак)
образуют систему, биортогональную к системе (2), которая в
- 3 ~
отличие от других интерполяционных процессов (Ньютона, Абеля - Гончарова) не сводится к системе полиномов. Одним из первых математиков, начавших систематическое изучение и применение рядов Лагранжа, был Борель [б] . Для того чтобы обеспечить сходимость ряда (3) , Борель [7] предложил в кавдое слагаемое вводить множитель ( £ / & к) * с целыми ^ О или, более общим образом [в] , вместо (з) рассматривать рад
^ ек е (гтг) (4)
с подходящей целой функцией ( £ ) .
Борель использовал ряд Лагранжа для изучения зависимости особенностей степенного ряда от свойств его коэффициентов. Тейлора.
В 1940 году б.Я.Левин |_58^ рассмотрел задачу интерпо -ляции (2) с узлами, образующими - множество (см. ,
гл. 2) . В этом случае иззестно исключительное множество, вне которого каноническая функция ЕС? ) > построенная по множеству узлов * удовлетворяет асимптотическому ра -
венству 4|Е(2)| ~ ^(6) и м°жно доказать, что при условии
Жь\вк \ 4 (%(<**<}**)-ЯМ л> о ,
ряд Лагранжа (з) сходится равномерно ка каждом компакте и
представляет целую функцию класса С?(Г)Д (»я . Если о^>
^ “ множество с показателем §(г) , то для оу -ществования целой функции р б[ ); £С$)] , удовлетво-
ряющей условиям интерполяции (2) , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Л
{лмл.
а,
2(1 М
(5)
В 1948 году А.Ф.Леонтьев [ш] впервые рассмотрел задачу, получившую впоследствии название задачи свободной интерполяции: определить, каким условиям должна удовлетворять последовательность узлов ,|^к(То<з , комплексной
плоскости для того, чтобы по кавдой последовательности чисел
£ \ > удовлетворяющей неравенству *
у 1г I (
имл. --------------------- $ § , (б)
К ОО 4м~ I Я- к [
можно было построить целую функцию класса [£ , с*з] 9 удовлетворяющую равенствам (2) . Используя обобщённый ряд Лаг -ракжа
оо
Е
К-'/
£ О?):
Л»
£
(7)
где -натуральные числа, он доказал, что такими условиями являются неравенства
£ —> оо Л
и
Е (О
к -» ео ^ I & к I
где Цг)- число точек тожества [а 1°° в круге Г" » Е (£) “ каноническое произведение Вейерштрасоа, построенное
- 5 -
ОО
по множеству узлов • Ранее некоторые достаточные
условия разрешимости задачи (2) в пространстве [§* ) о^>] нашли Мурси и Уинн [то] и А.Макинтайр и Р.Уилсон [б5J .
Если интерполируемая последовательность УД°в -
летворяет условию
4ц < 00 ’ ^
к—>с*=> .[а к(. то задачу интерполяции естественно рассматривать в классе
В этом случае, как доказал А.Ф.Леонтьев [бі] , для возможности свободной интерполяции в классе [$) оо ] при нецелом ^ необходимым и достаточным является выполне -
ние условий _________________________ д
К | сс ^ | <
к —> &=*
и ___________
/1мм~ І Сі к І ^ ім. ------------- < ОО , (Ю)
К ->00 | £ (ак)|
где Е(?) имеет прежний смысл. Полностью, без ограничения
на порядок, А.Ф.Леонтьев решил эту задачу в классе} оо)
в других терминах [62] : необходимое и достаточное условие
состоит в выполнении (9) и
г
іші I I ^ 4м. --------
— < С*э ,
К->с^ \%к\
где и = п (1- & и ) * а произведение берётся
К________________________________________________________________________
по всем СС^ ф ак » Для которых(-1 -<3) |ак| < I ак| <
< (1 + 5") I ак| ■ .
В более общем классе [3(0 » °°) задачу свободной интерполяции (2) при условии
- 6 -
, „ , 8(1* J)
*{м- | ^ к I = ОС/ <*к1 » К * (И)
решила в 1958 году О.С.Фирсакова [ев] в форме, аналогичной (9) и (Ю) • По последовательности узлов, удовлетворяющей условию
тг ,
LOArL К I | < ^ (12)
К c*0
строится црисоединённая функция Ef (2 ) . При нецелом 5 в
качестве ЕД?) принимается каноническое произведение с
простыми корнями в точках , а при целом <? к точ-
Г 1 1 ‘ - Г «
кам •{с^к у предварительно добавляются еще точки
так, чтобы для выполнялось условие (12)
и условие Яинделёфа
V 3 - $(Я) у- / -/ / \
ІММ. £ £ ( — +—)<<>«;
іакІ,І/к-І<Й * к . оо
чтобы расстояние любой из точек последовательности Д от точек £ак е<СЬ^^Щ= 0,1,..♦,££ - 1, было
больше с/|ак| (І^кО НрИ некот0ром с/ 6 (0; 1) и чтобы
(Дн I " ІД( >с[ (Црисоединённая функция
всегда существует, но не единственна. Для того чтобы кавдой
последовательности чисел Д ^ о ограничением (и) соответствовала целая функция класса [ §(л) , , решающая
интерполяционную задачу (2) , достаточно, чтобы выполнялось условие (12) и некоторая присоединённая функция ЕД2) удовлетворяла условию
- 7 -
- 8(іа-*і) / __________4 < ©о , (із)
ілш. |ак! ги. / • } і
К о=> І 4 ^ к
и необходимо, чтобы, кроме условия (12) , условие (із) выполнялось для каждой присоединённой функции.
В работе [_8б] О.С.Фирсакова перенесла результаты Б.Я.Левина из |_58] на случай множества узлов интерполяции, обладающего лишь свойством правильной распределённости. Она установила, что при любой системе чисел {оД ^ > удовлетворяющей условию (5) , существует функция* из класса [§(/*), Шз , решающая задачу (2) , тогда и только тогда, когда выполняется -условие
-$0*к0,
^ О . (14)
імч.
К о°
а | і—
В работах [бб] ,[67] автор нашёл новые критерии раз -решимости задачи (2) , рассматривая распределения единичных масс в узлах интерполяции ^ . в качестве основной
характеристики такого распределения выбирается семейство функций ._
, ( , (чг иігі) - 1) +
ф „ и)
. ...........М
где VI2 (І) - число точек из { & Д в круге £ £ : | ^ -- £ Д ^ } • Отправляясь от результатов А.Ф.Леонтьева и
О.С.Фирсаковой, было показано, что для разрешимости задачи (2) в классе [ § ) о°] , необходимо и достаточно, сущест- 'Л вование такого уточнённого порядка $ (Г ) , ііш. 3 • '
А &
Л
- 8 -
фг м < (и ^ '1
2 .у (L
Критерий разрешимости этой же интерполяционной задачи в [?(г) ,©«) состоит в условии
о А С1 Ф ? ^
а в пространстве [$(л) А(о)1 при дополнительном тре-
бовании правильности распределения узлов - в условии
1им. S'Ujy Г - г ^ ^ = о . (15) .
<Г-> о г ^ *-
о
Кроме того, в дополнение к результатам [бб] в [_67j доказано, что при выполнении условия (15) существует функция вполне регулярного., роста с индикатором равным ^
(т.е. Фзппщия из класса [§(/v), /г (@)]р ) » решающая задачу (2) .
Задача свободной интерполяции в классах [$(/*) , п(&)]
без дополнительных ограничений о правильной распределённости узлов была решена в работах А.Ф.Гришина [зо] ,[3l] , [32]. Для счётных множеств £ • с -единственной точкой сгущения на бесконечности им была введена следующая характеристика, которая называется функцией
плотности. Пусть VL- считающая функция множества Е ,
Ь
т.е. И («£)) равно числу точек в множестве Ю П £ .
Ь
Пусть
к* .{г ..£ек} • '{
- 9 -
Обозначил >
— Лг-Ск )
иЛК).£ш. Е„ ' . К?. 1>С(г,<г) ,
Е 4 — 8СО 26К
где С (2^(Г) = { ^ : 15 - £ | < в"} .
Функцией плотности множества Е относительно уточнённого порядка §(л) называется величина
о[ (К ) = Ьт. с[ р ( К д-) .
^ б'-ь + О -
А.Ф.Гришин доказал эквивалентность следующих пяти ут-
♦
верждений. * ^
а) для любой последовательности » удовлетворя-
ющей условию (5), существует функция р £ [§ (л), ^ (# )]
со свойством (2) . ^
б) Для любой последовательности ^ » удовлетворяющей УСЛОВИЮ (5) , существует функция Р£ [§(г)> (ь(в)] р со свойством (2) .
в) Существует функция Еб С?(л) ,&(&)] , которая
обращается в коль в каждой точке множества -[ СС к 1 , удовлетворяющая условию (14) .
г) В условии в) функция Е £ [§(г) » (&)1 р ♦
д) Выполняются соотношения:
1)г/е(К)41/(н(К) для любого компакта К » где ус 1_1 - риссовская мера субгармонической функции
Н(ге£в) Л {в) г3 ,
2) выполняется условие (15) .
Импликация в)=ф> а) была доказана ранее А.М.Рус-саковским [77] .
-10 -
Задача кратной интерполяции состоит в нахождении по заданным узлам интерполяции и последовательности
9 ^ = *>•••» 9 К = 1>2».
комплексных чисел
• • I
функции Я (2 ) заданного класса со свойством (п-1) п
(*к) = ^ »• • • > > К =£>2» • • • • (и)
Изучая задачу (и) , естественно заменить обобщённый ряд Лагранжа (4) рядом
Я (2) Е(2)
К - 1
у
- <*кУ-
-^(2)
(16)
где
А
<><)
:=у С?" «-к)
^ и = 0
(2 - к)
Є (г) ]
К
который! можно сделать равномерно сходящимся на компактах. -При этом возникает задача такого выбора полиномов ^ ^ ,
чтобы ряд сходился и функция Р входила в нужный класс. Одним из первых задачу (и) в классе , о<=>3 решил Мурси [69] при некоторых специальных предположениях относительно узлов интерполяции. Г.П.Лапин [54J ,[55] перенёс результаты А.Ф.Леонтьева о свободной интерполяции в кяас-сах [ ? ) °°] » Г? ) °° ) на задачу о кратной интерполяции. Теория краткой интерполяции в пространствах целых функций, описываемых уточнённым порядком ^(л) , и в се-
- и -
мействах таких функций получила дальнейшее развитие в работах А.В.Братищева и ю.Ф.Коробейника [э] ,[11] • Задачи кратной интерполяции в классе с^ыли Ре“
шены в работах А.В. Братищева [ю] к независимо в работах А.М.Руссаковского [77] , [78] . При этом в случае произвольного множества узлов интерполяции были найдены достаточные условия разрешимости задачи (и) , а при дополни -тельном предположении о правильной распределённости узлов эти условия являются и необходимыми. Наконец, в совместной работе А.Ф.Гришина и А.М.Руссаковского [Зб] результаты А.Ф.Гришина об интерполяции в классах [$(г) *
« И(г),8.(е)] были перенесены на задачу о крат-
. ■ . •
ной интерполяции. После этого задачи свободной интерполяции в классах целых функций конечного порядка »
£ (#)] были исчерпаны.
Интерполяционные задачи в различных локально выпуклых пространствах функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [аэ] , [бо] .
Интерполяционные задачи в классах аналитических функций в единичном круге и в полуплоскости , по -
видимому, впервые рассматривались в работах Г.Пика [74] и Р.Неваклинны [71] , которые независимо один от другого в разной форме наши критерий того, чтобы существовала функция Р (с) , голоморфная в открытом единичном круге, отображающая его в правую полуплоскость, решающая задачу (2). Эти задачи известны как проблемы Незанлинны - Пика, они получили развитие в работах М.Г.Крейна и А.А.Нудель-мана (51) .
- 12 -
Г.Д.Трошин [82] продолжил исследования А.Ф.Леонтьева и 0.С.Фирсановой, рассмотрев интерполяционную задачу в классе функций, аналитических в угле | £(< Л /(2$) (*1/2 .
При этом предполагалось, что узлы интерполяции расположены внутри меньшего угла:|о^£| ^ Я /(2§) - £ (£ > о) •
В 1958 г. Л.Карлесон [46J нашёл необходимые и достаточные условия интерполяционноети множества £ CL к ^ ^ в классе
J-j 0,0 ограниченных функций в полуплоскости (л.Кардесон
#
сформулировал свой результат для единичного круга) (см. теорему Карлесона в §з). Позже Шапиро и Шилдс йашлк более простое доказательство теоремы Карлесона [89] . Эрд [90] в 197Ü г. решил интерполяционную задачу в Н °° 0 помощью сдвига узлов интерполяции. П.Джонс [37] предложил простое и непосредственное доказательство теоремы Карлесона с помощью ряда, в некотором смысле обобщающего ряд Лагранжа. Другие варианты и прило- ‘ жения к задачам интерполяции даны в статье С.А.Виноградова [l7] . Не классические задачи кратной интерполяции в Н°° рассматривались в работах В.Й.Васюнина [13] (см. также Н.К.Никольский [73]) . И.В.Виденский [1б] , используя идеи Зрла, показал, что условие Карлесона (3.1) при дополнительна ограничении на кратности
^ % с оо , VL = 1,2,..., (17)
является достаточным для разрешимости задачи (и) в классе Н°** для всякой последовательности к 3* , удовлетворяющей
условиям
lC,K aj i
- 13 -
Заметим, что при решении интерполяционных задач методом Зрла оператор, решающий поставленную задачу является нелинейным. в.М.Мартиросян [б8] , используя идеи Джонса, при ограничениях (3.1),(47) на узлы интерполяции, построил ряд, решающий задачу (и) в случае, когда последовательность ^
удовлетворяет условиям (18 ) .
В классах \\ ^ при ограничениях (3.1) и (17) задачи
кратной интерполяции рассматривались в работах М.М.Джрбашяна
#
[зэ] и других армянских математиков ( обзор см. в работе [68]) . В статье С.А.Виноградова, С.Е.Рукшина [18] рассматривались задачи кратной интерполяции в классах Харди с узлами неограниченной кратности, коцца джонсовское доказательство невоз -можно (отсутствует какой бы то ни было линейный оператор интерполяции) .
В 1975 г. Б.Я.Левин и Нгуен Тхыонг Уен[59] рассмотрели интерполяционную задачу (2) в классе [§ ; о^] ^ функций по -рядка § > 1 в полуплоскости (С^~ . Они показали, что для
того чтобы по каждой последовательности £ @ ^ ^ ^ , удовлетворяющей условию (б ) и имеющей единственную точку сгущения на бесконечности*- можно было построить функцию класса [£ ,
, удовлетворяющую равенствам (2) необходимо, чтобы при любом £ > 0 сходился ряд
^ 3*1 ( <*+% а ^ )
" —~т~,
/I —> О0
14 -
и достаточно, чтобы выполнялось условие (19) и
{мм. — '(мУ'Ьл. - - — —— , (21)
Я*гак 1Е (“»И
где Е (2)~ каноническое произведение Неваняинны множества
Г^ • При этом дополнительно предполагалось, что
^ С 7
множество А а г имеет единственную точку сгущения на
бесконечности это следует и из условия [91] . Условие [21] накладывает ограничение на скорость убывания [Ли (I ^ , а
именно, справедливо асимптотическое неравенство
Уш<*к>£<£/?(-1<М ГЕ) ,(г> о), (22)
которое позволило авторам строить решение задачи ("2) в виде ряда (4) .
Эти исследования были продолжены Н.Т.Уеном [эз] в классе [ § } оо] ^ при § > 1. Было доказано, что для того чтобы по каждой последовательности £ ^ ^ , удовяетво-
рящей условию (э) , можно было построить функцию класса [ §; , удовлетворяющую равенствам (2), необходимо,
чтобы
У~ - О(^) > С23)
I аа I 4 Л . ^ ^ о>°
и любая присоединённая функция с ^ > множества 3^
удовлетворяла условию:
{лм. -------- г ^
г (^и.)
- 15 -
и достаточно, чтобы выполнялось (23) и некоторая присоединённая функция Е/2) удовлетворяла условию:
Ьлм. -4—4 • С25)
1аи.1 Ут^а^ ! Ь ^ (я-и.) I
Кроме того, предполагалось, что множество име-
ет единственную предельную точку ка бесконечности. Н.Т.Уеном было также показано, что при целом § > 1 и выполнении условия (23) существует присоединённая функция множества{С(^ • Как и в предыдущем случае условие (25) накладывает опреде -лённые ограничения на Уш а. ^ , аналогичные (22) .
Полностью задача простой свободной интерполяции в классах [ ? | 0=>] ^ , [ § (г) , при § > 1 была решена в
работах [91] ,(Э2\. Была также решена задача свободной интерполяции в классе [?(г) $ (1(8)2^ в случае непрерывного индикатора при дополнительном предположении о правильной распределённости узлов в (С ** . Было показано, что условия (49) ,(20) являются необходимыми и достаточными разрешимости задачи (2) в классе [§ , о^] * , а условия (23) ,(24) - в классе [?(Г)гс’°) .'кроме того, если множество {«л правильно распределено в (£ , то для того чтобы для любой
последовательности шг *, удовлетворяющей условиям (5) и (а) существовала функция из класса (Г*) , /г (б)] ^
( /г (О) - непрерывный индикатор , необходимо и достаточно выполнения условий:
-Г- '(М. : <
1_______4 * _
и. §0*0 &сал|Е'(01 * С26)
- 16 -
4
{аж к(вл)+ ——- ^------------------
!<**( 1^'(ап) I _
=0. (27)
Условия разрешимости интерполяционной задачи в классах ,0^3 1" ЮЛ) , с>°) + , С§(л] , Я С0}] ^ были офор-
мулированы также в терминах функции Ф * :
и
СО
где И. + (£)) = ^ ^4* (°^ а К ) ' - точка из
аке£) ,
ближайшая к £ • •
для разрешимости задачи (2) в классе II8 )с>^] , необходимо и достаточно, существование такого уточнённого по-редка 5>(Л) , ?(л) = ? > чт0
ФяЧ«0 ^ I /у, , ?)} уе(0Л),
Ф\&) < *<*(<**$%) / 4.е<^ ,
( о( < у .
Л +■ ' ' '
В классе С5^Л) , с>° у эти условия имеют вид:
(<*) £Й1 (ыух) <{%
< ОО
(28)
?б'С* и в( (<* + я«, (си^ £ ) ) *
В классе [?м , <?(«я+ для разрешимости задачи (2), необходимо и достаточно, выполнение условия 128) и
17 -
Тт1 С ^ г ^ ^ ^ =0« (29)
^ .с (^+
С
При решении интерполяционных задач использовались
идеи Эрла. __
Используя метод 9 - проблемы хёрмаццера и результаты решения задачи (2) в классе [§(л] ,с><:::>)^" А.М.Русоакоз -ский [79] показал, что для разрешимости задачи (2) в классе
К(л), йсед+
, где ш - разрывнш, ограниченный на отрезке Со;51] индикатор, при дополнительном предположении о правильной распределённости узлов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2б) , а условие (24) выполнялось для точек ССп , принадлежащих углу 4 £ 4 51- £ }
при любом £ > о. 1фоме того, им была решена интерполяционная задача в случае, когда - неограниченный на
интервале (о; 51) индикатор.
Задачи кратной интерполяции в классах [_§» ^2
при ^ > 1, отличающиеся от задач свободной интерполяции, рассматривались Н.Т.Уеном [34] ,[85] . Ш были наведены условия необходимые и условия достаточные для их разрешимости, аналогичные условиям [19 - 21) и условиям (23-25). Задачу свободной интерполяции с кратными узлами в классе
с разрывным индикатором рассматривал Русса-ковский А.М.[тэ] . Им были найдены условия для её разреши -мости при различных ограничениях на узлы интерполяции, ана-
- 18 -
логичные ограничениям, вводимым Й.Т.Уеном. 1фоме того, решалась задача (и) в случае неограниченного индикатора.
Перейдём к изложению содержания диссертации. В диссертации интерполяционная задача (и) для классов функций [_$* ,
»1$(г). . ^Ас^лвмЛсвЯр
решается в таком же объёме как и в работах А.Ф.Леонтьева по классам [ §* , °°] , [?(0 , е>°) и А.Ф.Гришина -
А.М.Руссаковского по классаг.т [?(л)# (л(&У\ » [ § СО
для целых функций, в этих работах полностью исследована ин -терполяционная задача в- соответствующих классах целых функ -ций. Мы также-рассматриваем вопросы, связанные с возможностью
разрыва индикатора ^ (&) в граничных точках 0 и 51 »которые не имеют аналога в классах целых функции. Из предццу -щих работ по интерполяции голоморфными функциями в полуплоскости наши исследования наиболее тесно примыкают к исследо -ваниям Г.Д.Трошина [82] , Б.Я.Левина и Н.Т.Уена [59] , Н.Т.Уена [83] , А.М.Руссаковского [79] . Кроме того, задача интерполяции в классах [§ , д>°]] ^ , [§(л) » } ,
оказывается связанной с задачей интерполяции в классе Н С>°> . Наше определение задачи свободной
интерполяции в классе Н ^ез ограничений на кратности узлов интерполяции оказывается таким, что необходимым уело -вием разрешимости такой задачи является ограниченность последовательности кратностей узлов интерполяции. Это утверждение отсутствует в работах предыдущих авторов по задаче интерполяции в классе Н 00 для полуплоскости.