Оглавление
Введение 1
1 Асимптотики наилучших рациональных приближений экспоненциальных функций в равномерной метрике со специальным весом 7
1.1 Аппроксимация на отрезке [—1.1]........................ 7
1.2 Аппроксимации на замкнутых односвязных областях из С, ограниченных лемнискатами .................................26
2 Оценки сверху наилучших рациональных приближений с весом голоморфных функций из некоторых классов в равномерной и интегральных метриках 32
2.1 О голоморфных в единичном круге и функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к границе сЮ . . 32
2.2 О голоморфных в угле функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к вершине угла....................68
2.3 О голоморфных в полукруге функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к центру круга.............85
2.4 О приближениях функций, голоморфных в некоторых областях, границы которых содержат точки ноль и бесконечность, на симметричных множествах.....................94
Литература 133
1
Введение
Как обычно, символами N, Z, R и С обозначим соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Пусть С(Е) — пространство непрерывных функций / на замкнутом множестве £ С С с равномерной нормой
||/||с(£) =тах|/(г)|.
ZtzL,
Если т и п принадлежат множеству целых неотрицательных чисел Z+, то rmtn(Rm,n) — совокупность рациональных функций с действительными (комплексными) коэффициентами, степень числителя которых не превосходит га, а степень знаменателя — п. Для непрерывной на Е функции д положим
rm,n(f’E’9) = jnf ||(/-г)0||с(Я),
ГЄГ m,n
Rm,n(f,E;g)~ inf ||(/-г)«7||с(б).
Запись A ~ J5, означает, что при m 4- n —> oo эти величины эквивалентны. Символом о(-) обозначаются различные бесконечно малые величины (по отношению к стоящему в скобках) при т 4 п —> со.
В главе I получены асимптотики наилучших рациональных приближений со специальным весом в равномерной норме некоторых экспоненциальных функций на отрезке [-1,1] и на замкнутых односвязных областях из комплексной плоскости С, ограниченных лемнискатами, определяемыми аппроксимируемой функцией.
Теорема 1. Если заданы числа т,п Є Z+, а Є R, действительная величина 3 = о(\/т 4 п) при т 4 п -4 оо и фиксирован многочлен Чебышева Tk(x) = cos(karccos х), то справедлива асимптотика
\n\m + rt+[rnUl].
гьць(«Л(',,(-1,1];ет|’>) ~ 2„„{т + пЩт + „+1),' ™ + »-»~
Эта теорема, и частности, показывает, что найденная асимптотика имеет главный член, который не зависит от весовой функции е^к^х\ несмотря на то, что в каждом из концов отрезка [—1,1] вес может или достаточно быстро расти или убывать к нулю. В случае к = 1 приведенная теорема даёт асимптотическое равенство
Ыт+п+17/Л?1
гт>Л(еаяЛ-1,1];е *) - 2т+„^т+-)!(т + л + 1)!> ™ + п->оо,
которое при т = п и 0 = -а получено Г. Неметхом в работе [18], при 0 = о и а = 1 — Д. Браессом [25], при 0 = —(т + 3п)/2(т + п) и а = 1 — Д. Ньюманом [32].
Теорема 2. Если заданы числа т,п Є а > 0, действительная величина 0 = о(у/т + п) при т + п —> оо и многочлен 1\ с дей-ствительными коэффициентами степени к такой, что лемниската С(а) = {( Є С : \Рк{0\ = о.} ограничивает односвязную замкнутую
область Оа, то при т -1- п —> оо справедливы асимптотики
(т + п)\(т + п -1-1)! ’
Приведённая теорема при Р*(С) — «С? = {г Є С : \г\ < 1} и 0 = О
содержит результат Л. Трефетена [40]:
ат+п"ит,л!
Кт,п\в ,{\г\ < I};1) ~ 7—-—гут—~~ ~~тгті т + п -4 ос.
(т 4- п)\(т + п + 1)!
Глава II посвящена рациональным аппроксимациям функций, голоморфных в единичном круге, угле, полукруге и более сложных областях, имеющих определенное поведение при стремлении к некоторым их особым точкам. Приближение рассматривается в равномерной и интегральных метриках с весом на специальных множествах из комплексной плоскости, содержащих эти выделенные точки на своих границах.
В первом параграфе главы II рассматриваются голоморфные в единичном круге И функции /, для каждой из которых найдется натуральное число к, векторы а = (оц,..., а*), в = {в\,..., 0*) Є Е* и постоянная величина М(/) такие, что
к
І/(*)І<м(/)Г[!еі9*-гг,
5 = 1
3
Символом АЛ|0 обозначаем класс функций /, удовлетворяющих перечисленным условиям при фиксированных значениях а и в. Уе{г) С С — замкнутый сектор раствора пе с вершиной в начале координат, радиуса г и биссектрисой, совпадающей с положительной действительной полуосью. Упорядоченную пару элементов = (<£ь ..., фц), 9 = (0Ь..., £*) назовем допустимой, если выполнены следующие условия: Фз Е [0,1), в3 Е [О,2тг),.9 = и координаты 9а различны. Для любой допустимой
пары элементов ф, 9 Е МА: положим
1 _ *
Ш = е*' ^ V* = и С» (П. (1/2)).
а=1
Мрв — объединение Бф'в и замкнутого круга с центром в нуле и радиусом р Е (0,1). Если, к тому же, заданы векторы «, V Е Р/’, то определим функцию дг>,в(г) = (е%Вх “ гУ1 • • • (е*** “ гУк и величину г:
к
Т~' = У^((а, + г/, + 2/я){1 - Ф,))~
Посредством Ьр(£?) обозначим пространство суммируемых с р-ой степенью измеримых функций на измеримом множестве Е. При фиксированных функциях / и д таких, что /д Е (/7), положим
£рДп(/,£;^)= Ы ||(/-г)^||М£), Е; д) = Яп>п(/,Е; 5),
1-рГп{},Е\д)= Ы ||(/ - г)р||ьр(я), (/, Я;д) = гП1„(/, Е;д).
Г£ГП(П
Теорема 3. Пусть фиксировали следующие величины: параметр р Е (О, +оо], числа р Е (0,1) м к Е М, допустимая пара элементов ф, в Е Р*, векторы Е К* м функция / Е такие, что а, + + 2/р > О,
^ 2, ^ 0 для. всех в = 1,..., к7 тогда справедливо неравенство
ЬРЯ,,(/,М*'в;<м) < п*е-*^.
Теорема 4. Пусть фиксированы следующие величины: параметр р Е (О,+оо], числа р Е (0,1) и к Е допустимая пара элементов ф, в Е Шк, векторы а, V Е К*, функция. / Е Аад и кусочно-гладкая кривая
4
Г С Mf ° такие, что а$ + vs + 1/р > 0 и ots £ Z для всех $ = 1,..., к, тогда справедливо неравенство
LpRn(f9r;gVlo)<nbe^^9
где величина ц задается равенством
к■
ЧГ1 = У1((«* + v, + 1/р)(1 - <р3))_1.
s=i
При к = \,ф = о = ^ = 0, f(z) = (1 — z)01 для а 6 (—1/р,+оо) \ Z отсюда следует неравенство
LpRn ((1 - х)а, [0, lj; 1) <£
Представление о точности теоремы 4 может дать следующая слабая асимптотика
L„rn ((1 - х)а, [0,1]; 1) х n^e-2V(a+'/P)n> (1)
включающая в себя результаты, полученные для определенных значений параметров р € (1.4-ос] и ос £ (—1/р, -hoo) \ Z в работах [4], [7]. [23] И [27].
Теоремы 3-4 в случае gve = 1 и А: = 1, к = 2 с условиями + тг,
= Ф2 были получены Н.С. Вячеславовым [42], [43].
Во втором параграфе главы II рассматриваются функции класса
А(а; е) = (J А(сг,/?;е),
где множество А(аг, /?;£“) состоит из голоморфных внутри угла У (с) = {хг G € : |arg^| < пе/2} функций /, для которых \f(z)\ мажорируется там функцией
|1 +2\«+#
с некоторой постоянной M(f).
Теорема 5. Пусть фиксированы следующие величины: параметр р £ (0. + ос], действительные числа 0 < ф < ф < 2, a, v и функция / £
0 = a + v + З /р 2
А (а; ф) такие, -что либо а + v *f 2//> >0 wajSZ, .дибо о 4- г> + 2/p > 1 u a E Z, тогда при каждом натуральном п справедливо неравенство
LvRn{f,Y<t>(l)\zv) < я®охр (-7Г\/(^ - <£)(а + v + 2/p)nj ,
где
' 1/2 , np« {a} + {Hy)}6Zt '
0 , в остальных случаях
а действительное число в фигурных скобках обозначает дробную часть этого числа.
Точность приведенной оценки в случае равномерной нормы характеризует полученная A.A. Пекарским [19] слабая асимптотика
Я„)П(2а.УД1); 1) х ехр (-тга/2(2 - ф)<*п) , п -+ оо,
где а Е (0, -Ьос) \ N.
Теорема 6. Пусть фиксированы следующие величины: параметр р Е (0, +оо], числа 0 < ф < ф < 2, a, v Е К. , функция f Е А (а; ^’) w кусочно-гладкая кривая Г С 1^(1) такие, что либо а + v + 1/р > 0 и а £ Z, либо а 4- г- + 1 !р > 1 и а Е Z. тогда при каждом натуральном п справедливо неравенство
LpRn(f,Y',zV) < «кехр (-7Га/- 0)(а + г; + 1 /р)п) ,
где
Ä=£+»+l/p+{ V2 , npu{a} + {ü=3Ö^±^}€Z+_
0 , в остальных слу чаях
Точность приведенной оценки сверху при ф = 2 и ф = 0 может характеризовать асимптотика (1).
В третьем параграфе главы II показано, что в случае ф = 1 теоремы 5-6 остаются справедливыми при меньших ограничениях на функции: достаточно, чтобы функция / была голоморфна в полукруге У\{е) и удовлетворяла на нем неравенству
І/(*)І < ми) и*.
В заключительном параграфе получены аналоги теорем 5-6 для одного класса голоморфных функций, аппроксимируемых на симметричных м н ож ествах.
6
Глава 1
Асимптотики наилучших рациональных приближений экспоненциальных функций в равномерной метрике со специальным весом
1.1 Аппроксимация на отрезке [—1,1]
Теорема 1. Если задапы числа гп, п Є Z+, а Є R, действительная величина /3 = о[у/т -4- п) при т + п —» оо и фиксирован многочлен Чебышева Tk(x) = cos (А: arccos х), то справедлива асимптотика
Доказательство теоремы L Для т и п Є Z+ определим многочлены
которые являются соответственно числителем и знаменателем рациональной функции ут>п — аппроксимации Паде типа (т, п) функции ег '
(1.1)
в нуле, что впервые было замечено О. Перроном [33]. Действительно,
^т,п(0) ^ О?
е^т,„(г) - рт>п(г) =
/•ОО /*оо
= / ГЦ-г)пе-*+’(И - / *п(* + 2)те“*<й ./о У о
= ^ Г (I - г)пе~,+г М. - £~(и-г)путе-и+г (1и
= Г ГУ-г)пег~1 <и = б (ги)т{ги - £)пег~гпгйи У о У О
= гт+п+1 [ и»(м_ 1)'‘е2(1-и) Аи = (_1)"г™+"+1 Г ?'(1-^тег‘сН. У« .7 0
В дальнейшем будем неоднократно пользоваться полученным соотношением
= (-1)"гт+"+1 Г 4»(1 - «)Ле**Л (1.2)
./о
и известными равенствами для интегралов Эйлера
д*
і
,'<1-‘>*‘“-<*Т7ТЗ)Г о-3)
/•ос
Т(к + 1)= **е-‘Л = И (1.4)
У о
при параметрах А:, 5 € 2+. Используя разложение в ряд Тейлора
„ - *)*
е1'
в точке
и
(1.5)
тп п -|- 2
преобразуем интеграл в равенстве (1.2)
Используя равенство (1.3) и выбор параметра 6, согласно (1.5), получаем
[ tn{l-t)m(t-b)dt = Jo
mini
п + 1
(т + п -f 1)! у т 4- п + 2
-61=0.
Тогда
/V(l-*)
Jo
mezt dt = еЬг
mini
(m + n+ 1)!
(1 + Mz)),
где
A(z) =
(rn + n + 1)! /•' „
J° te* *!
Так как \t — b\ < 1, to
00
E
fc=2
fe!
oo
^ (* -6)2 E ТГ < (f - ЬУ
к—2
kl
•2eN
Из двух последних соотношений, с учётом (1.3) и (1.5), следует
e-M\A(z)I < i Г i"(l - t)m(t - b)2 dt
т.п. Jq (m + rc + 1)! / rl
tn+2( 1 - f)m dt
mini
dt
-26 f tn+1( 1 - *)m dt + 62 Г Г(1 - f)
Jo Jo
= (n + 1)(n + 2)___________26—t_L_ _i_ ^
(m + n -f 2) (m -f n-f- 3) m +n + 2
= 6
n + 1 \
+ n + 3 m + n + 2 ) ’ (m + n + 2) (m + n + 3)
m 4-1
77?
(1.6)
< 5 = 0(1).
тп 4- п 4- 3
V
Отсюда, из (1.2) и (1.6) вытекает асимптотическое равенство
егЯт,„ (*)-*»,»(*) = (-1)"^+"+‘ {т-^'+ ^,0*^(1 + О») (1.7)
для г из любого ограниченного множества. Здесь и везде далее в главе I запись о(- при ( € А', где К — множество из С, будет обозначать, что существует величина о(1) при т + п —> оо, что зир{|о^| : ( 6 А'} = о(1), т.е. — равномерно ограниченные бесконечно малые величины на множестве К.
Положим 8к = б(бЧ-1)... (в 4- к - 1), $о = 1, тогда, используя определение (1.1) и равенство (1.4), имеем
«»,„(-*) = Г(1 + г)”Ге-( А = Т Ск Г гкГ+п-ке~г Л
Jo *=0 </0
^ кп\(т + п - /с)! г Щ» - А-)!
-£
л-=о
/ М /^1 V”' — ^ 4" 1)а; (л г>\
= (гд 4~ п)! I 1 -|----------Р \ -— -----------: —• * тт ) • (1*8)
у т 4- п ~{т + п-к + 1)к к\ I
Из равенства
п ) (т + п — к 4- Ш V п) \ гп + п
У \
и оценок
>>пИ)(‘-^Г>пН
*-1 Л _ л м*-1)
.=1V \ 2,1
10
- Київ+380960830922