Исследование устойчивости экстремалей функционала типа площади

-2 —
Оглавление
Введение 3
1 Формулы первой и второй вариации 18
1.1 Предварительные сведения, обозначения и терминология ... 18
1.2 Первая и вторая вариация функционала.................. 21
1.3 Выражение первой и второй вариаций в локальных координатах 32
2 Признаки устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей 35
2.1 Емкостный признак неустойчивости...................... 36
2.2 Гауссово отображение экстремальных поверхностей .......... 39
2.3 Признаки неустойчивости трубчатых поверхностей........ 47
3 Исследование устойчивости поверхностей вращения 53
3.1 Первая и вторая вариация п-мерной поверхности вращения . . 53
3.2 Уравнение экстремалей для поверхностей вращения, заданных графиком функции........................................ 71
3.3 Интегральный признак устойчивости поверхности вращения . 73
3.4 О р-минимальных поверхностях вращения................. 78
3.5 С-емкость для исследования поверхности вращения....... 86
Литература 91
-3-
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости экстремалей функционала типа площади
и имеет прикладное значение. В процессе развития теории каиилярных поверхностей появились функционалы с нелинейной функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности, которые отличаются от функционалов объема, и потребовали дополнительного исследования для получения признаков устойчивости и неустойчивости. В частности, в монографии Р. Финна [46] рассматриваются вопросы устойчивости капилярных поверхностей, а в работе В. Л. Сараиииа [42] изучается устойчивость так называемых магнитных жидкостей, которые приводят к рассмотрению функционалов вида
ной энергии соответствующей физической системы.
Подобные вопросы также тесно связаны и с физическими задачами о равновесии различных систем и описании их устойчивых и неустойчивых состояний. В большинстве случаев решение сводится к исследованию положительной определенности второй вариации специального функционала, связанного с потенциальной энергией системы. Примерами такого функционала являются функционалы, являющиеся линейной комбинаци-
(1)
м
(2)
м
гдеФ : Кп+1 х К”11 —> К - С2 - гладкая функция, в качестве потепциаль-
ей функционала площади и функционала объема, что приводит к исследованию поверхностей постоянной средней кривизны, которые моделируют, например, равновесные состояния двух жидких сред.
В настоящее время достаточно полно подобные исследования проведены для одномерных функционалов и для функционала площади. Имеется широкий спектр работ, посвященных задаче об устойчивости минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах, в частности, A.A. Тужилина, Ю.А. Аминова, А.Т. Фоменко, В.М. Миклюко-ва, В.А. Клячина, В.Г. Ткачева, A.B. Погорелова, М. до Кармо, Ч.К. Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.
В данной работе были объединены несколько подходов для получения наиболее полного и подробного исследования изучаемых поверхностей. Остановимся на этом немного подробнее. В диссертационной работе проведено исследование на устойчивость экстремальных поверхностей для более широкого класса функционалов, чем функционалы площади. Так как в постановке задачи интеграл с нелинейной весовой функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности. Для изучения устойчивости экстремальных поверхностей применены различные методы, например, емкостная техника, оценки площади образа гауссова отображения и прочие. Можно сказать, что в данной работе задачи, подобные тем, что решались в геометрии и вариационном исчислении (см., например, [2]), были решены методами теории функций комплексного переменного. Это позволило получить качественные и количественные характеристики устойчивых поверхностей, являющихся экстремалями функционала типа площади.
Пусть М - n-мерное, связное, некомпактное, ориентируемое многообразие класса С3 без края. Рассмотрим гиперповерхность М = (М,и), полученную С3 - вложением и : М —> Rn,+1, и С2-гладкую функцию Ф(£) : Мд+1 —> R, Ф(—£) = Ф(0- Если обозначить через £ поле единичных нормалей к поверхности М., то для любой С2-гладкой поверхности М определена величина (1), которая не зависит от выбора нормали £.
Основным объектом диссертации являются поверхности, являющиеся экстремалями функционала (1). Отметим, что для некоторых функций Ф(£) следует рассматривать задачу на минимум функционала /?(Л4), а для некоторых - на максимум. Как окажется ниже, это зависит от того положительно или отрицательно определена матрица
с=1, +мф - т., о), (з)
пт /эф дФ оф \
где ОФ = 7г—, т—,..., т— I С ~ единичная нормаль к поверхности
\<??1 д£п+1/
М. 5ц - символ Кронекера.
В данной работе будем рассматривать только такие функции Ф(£)> Для которых матрица О знакоопределена.
В частности, если Ф(£) = 1, то экстремалями функционала (1) являются минимальные поверхности и соответствующая вариационная задача ставится на минимум. Если же положить Ф(£) = у — 1, то экстремалями функционала (1) являются максимальные поверхности [16] в пространстве-времени Минковского Е7],+1, для которых вариационная задача ставится на максимум. В том случае, когда матрица (3) не является знакоонределенной, экстремали соответствуют седловым точкам функционала и задача не ставится ни на минимум, ни на максимум. Примером является функционал, построенный по функции Ф(£) = у^1 — 2^+1. Экстремали этого функционала являются времениподобными поверхностями нулевой средней кривизны в пространстве-времени Минковского.
Известно, что важной задачей теории минимальных поверхностей является определение условий устойчивости. Под устойчивостью понимается знакоопределенность второй вариации функционала (1) относительно любых бесконечно малых деформациях поверхности М. Из работ, посвященных этой тематике отметим, например [2], [13], [37], [42]- [44], [46], [47], [49]-[52).
В данной работе для функционалов указанного вида найден емкостный признак неустойчивости экстремалей и дано описание областей устой-
- С -
чивости. Полученные результаты дают возможность исследовать свойства устойчивых поверхностей. В частности, в работе доказана теорема, являющаяся обобщением емкостного варианта известной теоремы до Кармо и Пенга [49].
Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из
них.
1. Формулы первой и второй вариации функционала типа площади для п - мерной гиперповерхности, заданной вложением многообразия в К”'*'1.
2. Признак неустойчивости экстремальных поверхностей в терминах (7-емкости, которая определяется рассматриваемым функционалом.
3. Теорема о том, что гауссово отображение двумерной экстремальной поверхности М С Ж3 является отображением с ограниченным искажением. Оценка коэффициента искажения при некоторых ограничениях на функцию Ф(£). Признак неустойчивости экстремальных поверхностей, полученный на основании оценки площади гауссова образа и обобщающий известный признак неустойчивости для минимальных поверхностей.
4. Признаки неустойчивости для экстремальных трубчатых поверхностей в Н3 и поверхностей (^-параболического типа в терминах (7-емкости для случая Ф(£) = Ф(?з)- Пример вычисления (7-смкости для экстремальных поверхностей вращения М С Кп+1.
5. Признаки устойчивости и неустойчивости для экстремальных поверхностей вращения «М С Еп+1, сформулированные с помощью оценок специальных интегралов. Примеры нахождения областей устойчивости и неустойчивости, в том числе для 7>-м и и и м ал ь н ы х и максимальных поверхностей.
Методика исследования была основана на изучении выражения второй вариации рассматриваемых функционалов при бесконечно малых деформациях поверхностей, а также различных методах математического ана-
лиза, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений и на результатах, полученных в работах A.A. Тужилина и А.Т. Фоменко (43]—[44], В.А. Клячина и В.М. Миклюкова [12]—[16], В.Г. Ткачева (54), В.М. Кесельмаиа и В.М. Миклюкова [9]—[10], К).А. Аминова [2]. Для иллюстрации результатов построены соответствующие примеры.
Основные результаты диссертации докладывались на международных и российских конференциях: Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2002» (Казань, 2002), Третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003), 12-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2004), Международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2004), Международной конференции, посвященной 200-летию Казанского государственного университета (Казань, 2004), Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетника (Новосибирск, 2004), Седьмой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005), 12-ой Международной конференции европейских жешцшi-математиков (Волгоград, 2005), 13-й Саратовской зимний школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2006), Восьмой и Девятой международных Казанских летних научных школах-конференциях «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2007 и 2009), Девятой молодежной научной школа-конференции «Лобачевские чтения-2010» (Казань, 2010), а также на научных конференциях студентов и молодых ученых города Волгограда и Волгоградской области (2002-2007 гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (2002-2007 гг.). Кроме того, все результаты подробно докладывались в разнос время на научных семинарах «Геометрический анализ и его при-