СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................. 3
Глава 1. ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА--ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ § 1.1. Преобразование Фурье функций в пространствах Лебега и
предварительные сведения........................... 14
§ 1.2. Теорема Веллмана-Голубова для операторов
Римана-Лиувилля ................................... 17
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ Н* И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОПЕРАТОРА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ КеНК
§ 2.1. Пространство Нр и его свойства................. 31
§ 2.2. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в
пространстве Нр.................................. 36
§ 2.3. Случай р = 1................................... 45
Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ.
§ 3.1. Весовые пространства функций ограниченной
средней осцилляции............................... 49
§ 3.2. Ограниченность обобщенного оператора
Харди-Литтлвуда.................................. 56
§ 3.3. Ограниченность оператора Римана -Лиувилля в
классическом пространстве ВМО.....................60
§ 3.4. Ограниченность одного класса интегральных
операторов в классическом пространстве ВМО....... 63
ЛИТЕРАТУРА .............................................. 66
ВВЕДЕНИЕ
В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана, со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегриро-ва н ия Рим ан а-Л иу вилл я.
Остановимся подробнее на характеристике каждой из перечисленных задач и приведем известные результаты. Сначала дадим необходимые определения.
Пространство Лебега Ьр = //(-00,00), 1 < р < оо состоит из всех измеримых функций, для которых конечна норма
Для пространств Лебега на более узких множествах - полуось К+ := (О, оо), интервал (а, Ь) С IR := (—ос, ос), мы пользуемся обозначениями Lp(0, оо) и Lp(a, 6), а также соответствующими модификациями в обозначениях норм.
На пространстве Лебега Lx определено преобразование Фурье & :
Il/НоО := esssup |/(.г*)| < оо при р = оо.
—эс<х<оо
-3-
_» ЦХ> в виде
оо
(0-1)
В том случае, если ^(/) € ІЛ то верна формула обращения
В частном случае, если / четная функция, то преобразование Фурье
Если функция / определена на. полуоси (0,оо), то правые части в (0.3) и (0.4) называются косинус- и синус преобразованием Фурье и обозначаются /с и /*, соответственно.
В классической монографии Е. Титчмарша ((19|, Теорема 69) для функций / € Ь'?(0,оо) доказаны равенства
В работе Б. И. Голубова [9] эти формулы обобщаются для функций / 6 //(0. оо) при 1 < р < 2 и 1 < р < 2, соответственно.
-4-
оо
(0.2)
-оо
/ также является четной функцией и формула (0.1) может быть запи-
сана в виде
(0.3)
о
Если же / нечетна, то и / нечетна. В этом случае
(0.4)
о
и
Первая из рассматриваемых нами задач состоит в обобщении результатов Б. И. Голубова для более общих операторов Римана-Лиувилля Не и В<у таких, что
ос
я„(/)(ж) := J - ^—/(*)*. х > 0, а > О,
X
И
х
А*(/)(я) := ^ 0а'7(0^ х > 0, а > 0.
о
Известно [21], что эти операторы сопряжены друг к другу и ограничены в пространстве 1/(0, оо), первый - при 1 < р < оо. а второй - при 1 < р < оо. При а - 1 интегралы Римана-Лиувилля обычно называют оператором Харди и оператором Харди-Литтлвуда, соответственно.
Более подробно необходимые сведения о свойствах операторов Римана-Лиувилля и преобразования Фурье приведены в первой главе, где дается решение первой задачи.
Вторая задача имеет корни в теории рядов Фурье. В 1928 г. Г. Г. Харди [32] доказал, что класс 77 (1 < р < оо) инвариантен относительно (С. 1 ^преобразований коэффициентов Фурье. В 1944 г. Р. Веллман [22] доказал двойственный результат для класса 7/(1 < р < оо), опираясь на работу Г. Г. Харди [32] и некоторые общие теоремы о рядах Фурье. Отметим, что развитию тематики, начатой в работах Г. Г. Харди [33] и Р. Веллмана [22] посвящены статьи [1[, |3), [4], [29], [49|.
Рассматриваемая нами задача связана, с внутренней характеристикой пространств Харди Н1\ которые определяются следующим образом.
Пусть и = {г = х Н- гу : х € (-оо,оо), у > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Пространство Харди Нр(и) = = 1Р\ 1 < у < оо, является банаховым пространством всех аналити-
ческих функций Я на У, удовлетворяющих условию
\\F\Imp := Бир ( [ \Р(х + iy)\pdx
у>0 \ J
оо
оо
< ОО, 1 < р < ОС,
||Л1я~ := вир^Сг)!,
у — ОО.
Классическая теория пространств Харди Нр отражена в монографиях А. Зигмунда 112], Н. К. Бари [2], Дж. Гарнетта [8], К. Беннетта и Р.К. Шарили [23], И. М. Стейна [45] и других авторов. При у = 1, пространство ЯеН1 изоморфно пространству Харди Я1 однозначных аналитических в верхней полуплоскости функций Я(г). Один из важных результатов доказан Ч. Фефферманом (28] о том, что пространство В МО функций ограниченной средней осцилляции является вещественным сопряженным к пространству ЯеН1. Существенную роль также играет Теорема Ф. Джона и Л. Нирснбсрга [33], имеющая широкие применения. Б. И. Голубов [10] доказал теорему о представлении функций из пространств Я1 с помощью С5-пар преобразований Фурье, а также ограниченность оператораРимана-Лиувилля Ял в пространстве ЯеН] и ограниченность оператора Харди-Литтл вуда в пространстве В МО.
Пусть у € [1,2]. Следуя Б. И. Голубову [10] мы называем пару (а, Ь) функций а(/.) и Ь{1) Сб-парой преобразований, если существует функция / € V такая, что для £ > 0 справедливы равенства
а(0 = Ш, Ь(Ь) = Ш-
где
ос
—оо
оо
-с-
- Київ+380960830922