СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
$0. Вспомогательные СВС^НИЯ 10
Глава 1. УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР КАК АНАЛОГ
.У - СИММЕТРИИ 17
$1. I'доложен ие унитарного оператора па сферическую и гиперболическую составляющие. 17
$2. Спектр операторов класса !)„ в пространстве с иолу горал и-
цсйной формой 32
$3. Плюс-операторы в пространстве с полуторалинейной
формой 38
Глава II. МЕРА НА ЛОГИКАХ ПРОЕКТОРОМ 06
$4. Некоторые свойства ироекторных логик 08
$5. Полуспелы на логике 'Р/у 70
$(>. Мера на индуктивном пределе нроекториых логик 83
Ли Гература. 07
2
ВВЕДЕНИЕ
В пашей работе и линейном пространстве с полутора« и пей ной формой вида более общею, чем индефинитная метрика, шюдятхя и изучаются аналоги известных (для пространств К|к*йна) классов гтлх>с-онерато|>ов и некоторые классы мер па проекторах самосопряженных относительно унитарном рож де н ной і юн у торгиін лей ной форм і .і.
К задаче изучения нонуторалиисйных форм, ассоциированных с оте риторами, приводи т развитие теории меры на. логиках проекторов. Проблема опис ания аероягностной меры на проекторах, в физической терминологии - состояния, возникает в некоторой системе аксиом кван товой механики, предложенной Макки [Мае], В а радарах ном [Varj. Множество Рл всех ограниченных идем патентов самосопряженных относительно произвольной полуторалинейной формы «(•,■) образует квантовую логику. Актуальность изучения мер на логиках Ра подчеркивается еще и следую-щей проблемой Биркгофа, см. монографию ([ßir], Проблема 110, стр.371, см. также проблему 88 стр. 547), которая звучи т гак: Разработать ал~ гебру вероятностей для квантовой мех липки.
Хорошо известна теорема Глисона [Gle] (см также [CKMJ), характеризующая состояния, заданные на. множестве всех ортогональных проектором (т.е. ограниченных идемнотеитон, самосопряженных относительно скалярного произведения (•» •)) в гильбертовом пространстве и являющаяся наиболее фундаментальным результатом »этом направлении. Дока тайная для сепарабельных гильбертовых пространств в 1957 году она с тех нор привлекает к себе большое внимание физиков и математиков. 'Знаменитая теорема. Г лисона послужила основой некоммутативной (и неассоциативной) теории меры и интеграла. Как отмечает сам Глисон [GH метод решения, использованный им, принципиально не применим к алгебрам операторов, отличным от И(Н) (см.
Проблем а описания мер на проекторах из факто^юн (Неймана) обще |х> вида была поставлена Макки в монографии лМас]. Вначале гео^ма Глисона, обобщалась на ортопроекторы из произвольной алгебры Ией мала (см. например, [М80], [МЫ] и [YS3]), а затем и на косые проекторы [М91с]. При изучении меры на косых проектрах ислолі/ювалось расслоение логики косых проекторов па слои проекторов, изоморфные логике О|угогоналЬИЫХ JIpWKTOpOB. .’затем к с лою проекторов применялся вещественный (це обя іятельно вероятное! ный) аналог теоремы Глисона.
Расслоение же проводилось с помощью полуторалинейной формы, задаваемой с помощью оператора неотрицательною (следовательно» нормальною) имеющего ограниченный обратный. Геометрия одномерных проекторов при этом в каждом слое оказалась тесно связанной с единичной сферой.
На линейных пространствах, наделенных индефинитной метрикой (— полу горал и ней я ой формой, «Ассоциированной с канонической симметрией) мера на проек торах впервые была изучена в работах [М91Ь], [М97Ь]. А вероятность на проекторах (в факторном случае) в индефинитных пространствах впервые была описана в [М97а]. В индефинитном случае геометрия одномерных проекторов оказалась принципиально иной. Отме тим, что и случае алгебры //(//) она оказалась связанной с двуполос тными и однополостными гиперболоидами вращения.
Как мы видели выше в о(юих случаях существенное продвижение в изучении мер на проекторах достигалось за счет введения нолуторали-иейных форм, ассоциированных с ограниченным нормальным (первый раз с положительным, второй раз с симметрией) оператором. Так развитие теории меры на проекторах подвело к вопрос у:
Не является ли всякая полуторалинейная форма •) ассоциирован-тш г онрапчченным оператором, имеющим ограниченный обратный, н некотором смысле комбинацией форм ’’сферического” и ” гиперболического" типов? Можно сказать и по-другому: не является ли логика V,, <1 некотором смисле комбинацией (суммой) логик сфер пне скос о и гиперболического пипов. Иными словами, не сводится ли изучение мер но. логиках; Ла л: некоторой иомбпиа.цчи методов, исполыюеан.пы:и д.л о сферически* и гиперболических логик?
Час ть наших усилий была направлена на решение этого вопроса. При этом в результате наших исследований возникла задача о некотором "обобщенном” полярном ирсдставлеиии ограниченно обратимого оператора. А именно, охарактеризовать все ограниченно обратимые опера горы О, которые можно представить в виде произведения положи гсміьиого оператора. А’ и оператора У унитарного относительно полуторалинейпой формы, ассоциированной с: X. Как оказалось, операторы, обладающие обобщенным полярным разложением, тесно связаны с задачей о ”хоро тем аналоге”. А именно, одним из результатовданной работе»! является следующий:
Полугаоралипейшія форма, ассоциированная с любым ограниченным
1
оператором, обладающим, обобщсмьым полярним представлением, целя оте« "х.орэиихил" аналогом с точки орсиия поставленной задачи..
Окапалось» частности (см. $1), чтолюбх>й нормальный опера -тор, имеющий ограниченный обратной, обладает обобщеннмм полярным представлением. А потому полу горами ней мая форма, ассоциированная с таким оператором, удовлетворяет предыдущему утверждению.
В результате исследований стало понятно (см. $$2 — 3 нашей работы), что существуют классы операторов в /7(/[)> 1,0 охваченные ранее исследованиями и обладающие свойствами сходными со свойствами линейных операторов, изученных н «/-пространствах методами [А/Л].
Перейдем к более детальному изложению содержания нашей работы. Работа состоит из введения и шести параграфов, обьединенных в две главы.
В нулевом параграфе излагаются необходимые для дальнейшего понимания известные сведения из теории пространстве индефинитной метрикой, з сор и и алгебр Неймана, а также сведения из теории прямою интеграла гильбертовых пространств. В остальных параграфах излагаются непосредственно результати нашей работы.
Первая глава состоит из грех параграфов.
В $1 рассматривается унитарно порожденная полуторалинейная фор-ма (=н.ф.) <■*(•>•) := (1)-, •), где [/-унитарный оператор. Вводи тся множество частичных изометрий IV {ш : 6гш(/* — —о»}. С помощью множества И7 оператор и разбивается на "сферическую” и "гиперболическую* компоненты. Показано, что наиболее интересен случай, когда гиперболическая часть унитарного оператора совпадает с самим оператором. Изучаются условия [/—самосоноряжпиности, /7—положительности операторов. Установлена связь этих понятий с ./</ — самосопряжен ноет ью И Jц — ПОЛОЖИТСЛ1.1ЮС ГЬЮ ДЛЯ специальной КаИОНИЧССКОЙ симметрии •/:;. Приводится один критерий о обобщенном полярном представлении. Ст а виття ряд проблем, строятся примеры. В последующих параграфах рассматриваются только формы, имеющие обобщен ні >е полярное представление.
В $2 вводятся [/—положительные и [/—равномерно положительные иод прост ранет ва. у+ и у*+, изучается спектр и ею геометрия для (/ —ис отрицательных и [/—диссипативных операторов. Дчя [/-неотрицатедь-ных операторов лается аналог спектральной теоремы. Все результаты этою параграфа имеют полные аналоги в ./ - прост рапсі вал.
5
Песжнмающио. и плюс опера'лхіріа отражают специфику лространсі и с индефинитной метрикой. Обозначим через И(И2) алюбру Неймана, порожденную многочленами от унитарною оператора {У3, а че|>ез П*+(П2) обозначается множество всех неотрицательных, имеющих ограниченный обратный, операторов и « П(П2). Далее рассматриваются множества (V
{и/Г : IV € 7*}, /?*4' ••= {и//#: IV € 74*}
является наиболее значительным (но объему) параграфом всей нашей работы. И нем водятся и изучаются аналої и несжимающих и плюс-операторов в пространстве с унита.рноиорожденной и.ф. Унитар
новорожденная п.ф. объединяет в рамках одного подхода скалярное нри-изведение и индефинитную метрику.
Определение 1. Оператор V Є IV(V2) назовем:
а-плюс-опе.ратг<рому если УК Є У*", УА.' Є 7+;
Ниже записі» іс € /?++ понимается следующим образом. < »уіцсствуст линеал 7 Є /?++ такой, что х € у.
ОП[и;деление 2. а— плюс-оператор V назовем:
1) строгим, если существует число А > 0 такое, что [Ух, Ух\ц > А[х,аг]у, для всех х е //■ •»десь [-,-]|/ (./<г>*);
2) полусгарое.нл. если существует А > 0 такое, что [Ух-, У г]д > А [ж, х]-,, для всех х € /Д+;
3) почти строгим, если для любого < > 0 существует ненулевой центральный проектор /г (б /2(2/3)) такой, что [Ух9Ух]о < <[х,х]<7, для нскотоых х Є $++, Да- — х и для любою ненулевою центральною про е.ктора ]>_ существуют ненулевой и.сигралмпяй прею к тор С /і и число & > 0 такие, что [Ух, Ух](і > і$[а\зфг, Ух Є /У++, її* — х;
4) «е строгим, если для любою г > 0 существует такой х (£ /У’г+, что 1ЩГ*)х = И и [Ух, Ух]/у < с[х,х]г/.
Для случая сепарабельного пространства // любой оператор / из Я(Д2) можно отождествить с функцией £(/■)/, на спектре <у((/2). Кроме того, аналогами чисел м+(У) и шах{0, д_(К)}, известных для 7 —пространств в нашем случае являются функции (^[!■) и (г).
В пункте 1 $3 изучаются полу строгие операторы. Следующие две теоремы дают тинчные утверждения этого параграфа.
Теорема 23. Пусть V а-плюс-оператор и X — (г(£)/і) Є П++(П2). Та? да следующие условия жаивалситны:
а) У НУ'- %~2»^>0;
о) ХУ-равномерно растягивающий оператор;
6
и) (ИУ{ф) > 7"! 2~~{к) > 2,_3(/.) — 7 > £+(/) ».а. неколшрого 7 > 0.
Теорема 24. Пусть V а—плюс-оператор. Тогда следующие условия/ .жвивалентни: I) V с точностью до множители из Л,+4‘({/2) равномерно растягивающий; 2) V фокусирующий полу строгий а— плюс, оператор.
Из теорем 23 и 24 вытекает
Следствие 27. Всякий фокусирующий полу строгий оператор есть прямая конечна)) сумма стромз: фокусирующих операторов.
В пункте 2 $3 изучаются почти (фокусирующие операторы.
Следующая теорема 28 объединяет теоремы. 23 и 24. Интересно при этом учесть следствие 29.
Теорема 28. Пусть V а—плюс-оператор. Следующие условия якви-валентны:
г) V с. точностью до множителя из /2++(Г/ ) почти равномерно растя нио ающий оператор;
И) V-полустрогий почти фокусирующий оператор;
«0 > °>Ру(о -Й (0 > 0 п. о. и существенная нижняя р.рань ото и
разности равна нулю;
гн) существует оператор X СЕ Н++(Иг) такой, что У*У~Х 0.
Из теорем 23 и 28 вытекает
Следствие 29. Пусть V—а-ги.ю с-опсратор. Тогда не существует операторов /?1, Х-2 6 /2 м(V2) таких, что 7цУ равномерно растягивающий 71 в то же время Х^Т почти равномерно растягивающий.
/[.ля почти равномерно растягивающих операторов нет аналога теоремы 28»).
Предложение 30. Пусть V — а-плюс-оператор г. точностью до множителя X £ Н++(иг) почти, равномерно растя гав ающий. Лля любого о > 0 найдется а -плюс-оператор К? с. точностью до множителя из Н++{и2) равномерно растягивающий и такой, что ЦК — У;\\ < $
В конце $3 приводятся примеры '7.— плюс-операторов, не имеющие аналогов в ,7—л|м>странотвах. В частности: пример почти равномерно растягивающего оператора., пример полу строгого почти фокусирующего оператора, пример почти строгого почти фокусирующего оператора-
$4 носит в основном технический характер. В нем рассматриваются различные типы проекторов и некоторые взаимосвязи между логиками проекторов, вводятся новые типы операторных алгебр и некоторая классификация мер па проекторпых логиках. В частности вводится понятие
[У*І) —алгебры. Пусть Лі алгебра Поймала в // и П Є Му. Алгебра ЛЛ называется IV*V — алгеброй, если ЛЛ С IV(и2). IV*V- алгебра, называется ІР—алгеброй, если хотя бы один из проекторов Иц := ^(/ + Л\) или /у" := ^(/ — Л;), здесь Зц каноническая симметрия из $1, конечен относительно алгебры Неймана М. И противном случае М называется И I* К—алгеброй.
В $5 в теоремо 1 в терминах полуследов описываются меры постоянные на. максимальных положительных (отрицательных) проекторах из Ри, а в теореме 2 описываются вероятностные меры. Таким образом, главными результатами параграфа являются следующие две теоремы:
Теорема 1. Пусть и : Ри —> Я мера ка \У’II—алгебре М. Следующие условия эквивалентны: і) д есть сумма полуследов; іі) д постоянна па множестве всех максимальных положительных [максимальных отрицательных) проекторов; ш) д(Ср) = р(р),Ур € Рц и ;/(е“) =
р(г)Ур£Ри>
Теорема 2. Пусть д : Рц —> Я+ вероятно спасая мера на V/4 V -алгебре М (тип М отличен от /2). Тогда существует в М ненулевое слагаемое, которое являлется \М* Р-алгеброй, сужение р. на него есть снова вероятность и д есть сумма полуследов.
Основная цель $6 - изучить вещественные меры на логиках проекторов из индуктивных пределов алгебр Неймана. Состояния для такой ситуации ранее рассматривались в работе [М93]. Обобщение развитой работе [М93] техники на вещественные меры оказалось невозможным в силу следующего обстоятельства. В отличии от положительных мер для вещественных мер принципиально невозможно оценить вариацию вещественной меры на проекторе е + /, зная ее вариацию на ортогональных слагаемых в и /. Тем не менее, как показывает предложение 5 этого параграфа, для линейной составляющей индефинитной меры полезная опенка такого типа возможна. Этот счастливый факт и позволяет установить главный результат $6 - теорему 12.
Пусть {М<*} неубывающая сеть алгебр Неймана и пусть (Ц* АТ*)".
Алгебра М называется индуктивным пределом сети {М„}. По аналогии, логика М** всех ортогональных проекторов из АІ называется индуктивным пределом логик {М%} всех орзої опальных проекгоров из {.Ма.).
Пазовом функцию и : \ЗаЛ4% —> И вещественной мерой, если:
I) м(р) Е !ЛРр) когда Р-Т,РР Р> Рр € [),х и Р Р
8
- Київ+380960830922