СОДЕРЖАНИЕ
Перечень условных обозначений 3
Введение о
Раздел 1. Обзор литературы 25
1.1. Основные задачи теории приближения 25
1.2. А/-членное тригонометрическое приближение 29 Раздел 2. Наилучшие тригонометрические приближения
классов в пространстве Ья 35
2.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения 35
2.2. Оценки величин ем(Ьрр)я при \ < р < д < оо, д > 2 43
2.3. Оценки величин ед^(Ьрр)я при 1 < р < д < 2 56
2.4. Оценки величин ем(Ьрр)я при 1 < <7 < р < оо 62
2.5. Приближение классов Ь^р тригонометрическими полиномами в равномерной метрике 68
Раздел 3. Наилучшие ортогональные тригонометрические приближения и тригонометрические поперечники классов Ьр р в пространстве Ья 75
3.1. Оценки величин
3.2. Поведение величин((Ьрр,Ья) 85 Раздел 4. Приближение классов £$ 1 в метрике Ья, 1 < д < оо
93
4.1. Приближение функций В^(х,Р) 93
4.2. Оценки величин Еп(Ьр1)я, 1 < д < оо 101
Выводы 106
Список использованных источников 107
з
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — квантор общности: ’’для всякого”, ”для любого”
3 — квантор существования: ’’существует” def — ”по определению”
N — множество всех натуральных чисел Z — множество всех целых чисел Я — множество всех действительных чисел я* — (/-мерное евклидово пространство, Я1 = Я.
(я, у) = #і2/і+* • -+хлУ<1 - скалярное произведение элементов х,у 6 Я^ х £ А (х £ А) - элемент х принадлежит (не принадлежит) множеству А
[а] — целая часть числа а
вдтг а — величина, равная 1, если а > 0, равная -1, если а < 0, и
нулю, если а = О н
7Г</ = П1 — 7Г»7Г] (/-МерНЫЙ Куб
;=і
Ья(тТ(і)і 1 < <7 < °°> — пространство 2тг-псриодических по каждой переменной суммируемых В степени <7 на 7Г</ функций /(х) =
Хі)
Ьоо(тї"с/) — пространство 27г-периодических по каждой переменной существенно ограниченных функций /(х) = /(^1, . . . ,Х(і)
ІІ/ІІ7 — норма функции / в пространстве Ьч
р(в) — множество векторов к = [к\, • • • ? &«*)» &/' Є 2, удовлетворяющих условию 25'-1 < 1^1 < 25-» , j = 1 ,с1
Сіп = и р(я) — ”ступенчатый гиперболический крест”, (я, 1) =
(в,1)<71 =6*1 + ... +
4
Т(}п — множество тригонометрических полиномов с 71 номерами91 гармоник из С)п (|&| Є <3п)
і
, Еп(/)ч — наилучшее приближение функции / в пространстве Ья
> тригонометрическими полиномами из Т(]п
Оп(х) = 53 53 е'М — ’’ступенчато-гиперболическое” ядро Ди-
(«,1)<п *€/>(*)
рихле
В#(х,Р) —многомерный аналог ядра Бернулли д * <р — свертка функций д и <р
ел/(/)<7 — наилучшее М-членное тригонометрическое приближение функции / в пространстве Ья
ел/(/)<7 — наилучшее М-членное ортогональное тригонометрическое приближение функции / в пространстве Ья
Е„(Р)Я, ем(Р)„ ем(Р)я — точная верхняя грань соответственно величин £„(/),, еМ(/)„ по всем / Є Г
Ея) — М-мерный колмогоровский поперечник класса Г в пространстве Ьд
f/^(F, Ьд) — Л/-мсрный тригонометрический поперечник класса Г в пространстве Ья
9
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа является продолжением исследования приближения функциональных классов А/-членными тригонометрическими полиномами. Изучается приближение классов (0, /?)-диффсренцируемых периодических функций многих переменных, которые в одномерном случае были введены А.И. Степанцом [1] (см. также [2; 3, гл. I, § 7]).
Актуальность темы. В настоящее время в области теории аппроксимации разработано много методов приближения тригонометрическими полиномами в пространствах периодических функций, среди которых существуют как линейные методы, построенные на базе сумм Фурье (методы Фейера, Валле-Пуссена, Рогозинского, и так далее), так и нелинейные методы.
В последнее время наибольшего распространения приобретает метод М-членного тригонометрического приближения, то есть приближение классов периодических функций с помощью полиномов вида
м
P(QM-,x) = Y/cJei^’*\ j= 1
где 0д/ = {k*}jLi - набор векторов У с целочисленной решетки Zd, а cj - произвольные коэффициенты. Аппроксимативные свойства этого метода относительно классов периодических функций многих переменных Wß , Нр (определение классов см., например, в [4, с. 31]), Вгр 0 (см. [5, с. 159]) исследовались в работах В.Н. Темлякова [6, 4, 7], Э.С. Белинского [8 - 10], Б.С. Кашина и В.Н. Темлякова [11], A.C. Романюка [12 - 15] и других.
В 1983 г. А.И. Степанцом была предложена новая классификация пе-
рнодичсских функций одной переменной [1] (см. также [2, 3]). Вследствие отого были введены классы 1^р, которые при фиксированных значениях определяющих их параметров совпадают с классами Вейля-Надя В настоящее время известно много результатов, связанных с решением важных экстремальных задач теории аппроксимации для классов Ьрр периодических функций одной переменной. В некоторой степени развита тематика приближений классов Ьрр в многомерном случае, которой посвящены работы А.С. Романюка [16 - 19], А.И. Сте-панца и Н.Л. Пачулиа [20], П.В. Задерся [21]. В частности, остаются открытыми вопросы М-членного тригонометрического приближения классов Ьрр.
Это определенным образом связано с тем, что многомерная тригонометрическая аппроксимация отличается от одномерной существованием различных способов выбора ” номеров" гармоник для построения приближающих полиномов. Ведь при построении тригонометрических полиномов, приближающих периодическую функцию одной переменной, система экспонент {е‘*х}, к = 0,±1,..., упорядочивается по возрастанию ’’номеров”, то есть 1, е“'х, е,г, е~,2х,__________ А в мно-
гомерном случае построение тригонометрических полиномов может происходить по произвольным ограниченным областям пространства Я*1. Таким образом, ми не имеем оснований для того, чтобы заблаговременно отдать предпочтение определенному способу упорядочивания системы {в,(*|г>+-+*<*г<*)}1 к. = 0, ±1,. . ., І = 1,г/, где индексы к = (&і,...,к,і) будем называть ’’номерами” гармоник или ’’номерами” экспонент е1^к'х\ Отмстим, что изучение вопроса приближения классов Ьрр полиномами с ”номерами” гармоник из ’’ступенчатых гиперболи-
ческих крестов’' проводилось A.C. Романюком в работах [1G - 19].
Ввиду выше указанного является актуальным исследование метода М-членного тригонометрического приближения на классах Lßp, сравнение его эффективности с методом приближения этих классов тригонометрическими полиномами, построенными по '’ступенчатым гиперболическим крестам”.
Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнена в отделе теории функций Института математики НАН Украины согласно научно-исследовательской теме: ”Структурные и аппроксимационные свойства функциональных множеств”, номер государственной регистрации 0198 U 001990.
Цель и задачи исследования. Целью работы является распространение известных результатов по М-членному приближению с классов дифференцируемых функции WßiP на классы (0,/?)-дифференцируемых функций Lßp. Прежде чем сформулировать задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели, определим объект и предмет исследования.
Объектом исследования являются классы (Ф?Р)-дифференцируемых периодических функций многих переменных
Пусть Ьр(7Т({), 1 < р < оо, - пространство 2зг-периодических по каждой переменной суммируемых в степени р на (/-мерном кубе 7Г</ =
С{
П [—л; л] функций /(х) = }(х\, ... ,х</), в котором норма определяется я=1
равенством
8
ЬооМ, р = оо - пространство 27Г-периодических существенно ограни ченных функций /(х) с нормой
В дальнейшем всюду предполагаем, что для функций }(х) (Е Ьр(тг^), 1 < р < оо, выполнено условие
- коэффициенты Фурье функции /(х),
&=(&!,..., кд)) к} е ; = 1, с/, (к, х) = кух-[ + ... + кдхд'
Далее, пусть ф^’) Ф 0, 3 = 1,(1, - произвольные функции натурального аргумента и Д- - фиксированные действительные числа. Если ряд
является рядом Фурье некоторой функции из Ь{(7Г(1), то ее называют
*
Н/П*»<*> = 11/11» = ввввир,^!/^)!.
Приведем определение класса Ь^р Пусть / 6 Ь\(щ) и
5[/] = Ес*(/)е'(М
(ф,^-производной функции /(х) и обозначают }р(х). Множество
функций /(х), удовлетворяющих такому условию, обозначают Говорят, что / принадлежит классу Ь^р, если / Е Ь'р и при этом
{<?:среьр,\\<р\\р<1}.
Предположим, что для фиксированного набора функций ф][') и чисел Рз € Л, ] - М, ряд
^2 П соз(*л- + у-)
кеьы ;=1
является рядом Фурье некоторой суммируемой на 7Г(/ функции В^(х,Р). Тогда функции / Е Ьрр, 1 < р < оо, представляется в виде свертки
/(ж) = р(ас) * Вф(х,/3) = {2п)-‘1 J <р(х - 1)В*(1,Р)<и,
* Л
где \\<р\\р < 1 и функция <^(-) почти всюду совпадает с функцией (*).
Отметим, что в случае, когда ^(|^|) = |&/|”гЛ О > О» ^ ^ классы Ьрр совпадают с хорошо известными классами Вейля-Надя \Урр (см., например, [4, с. 31]).
Предметном исследования является приближение классов Ь^р функций многих переменных тригонометрическими полиномами вида м .
Р(Ом’,х) = 53 сзе ,ХК В частности, исследуются величины наилуч-/=1
шего тригонометрического приближения:
ем(Ь$,р)я 2ир 1п£ Ш (ВЛ)
/ez.Jp {**Ьш1 /=1
где {У}^_х - набор векторов У = (Аг(,...,А^) с целочисленными координатами, с^- - произвольные коэффициенты.
- Київ+380960830922