Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕ1МЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА 17
1.1. Об оценках погрешности аппроксимации некоторых интегральных 01 кураторов 18
1.2. О сходимости используемых приближенных схем для
решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода 24
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ 27
2.1. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во внутренности контура 27
2.2. Пример приближенного вычисления интеграла типа
Коши по улитке Паскаля 37
2.3. Приближенное вычисление интеграла типа Коши во
внешности контура 38
2.4. Пример приближенного вычисления интеграла типа
Коши во внешности эллипса 39
2.5. Об оценке погрешности вычисления интеграла типа Коши в случае замены функции, задающей конформное отображение, ее приближением 41
ГЛАВА 3. О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 45
3.1. О приближенном решении краевой задачи Гильберта для аналитических функций 45
3
3.2. Оценка погрешности приближенного решения задачи Гильберта
3.3. О приближенном решении обобщенной краевой задачи типа Гильберта для аналитических функций
3.4. Об оценке погрешности решения интегрального уравнения Фредгольма, связанного с обобщенной задачей Гильберта
3.5. О приближенном решении краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций
3.6. Об оценке погрешности приближенного метода решения краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций
3.7. О приближенном решении некоторых задач теории упругости
ГЛАВА 4.0 ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТИПА РИМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И БИАНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ 80
4.1.0 приближенном решении краевой задачи Римана
для аналитических функций 80
4.2. О приближенном решении обобщенной краевой задачи типа Римана дтя аналитических функций 82
4.3.0 приближенном решении краевой задачи типа
Римана для бианалитических функций 84
4.4. Об оценке погрешности приближенного метода решения
краевой задачи типа Римана для бианатитичсских функций 90
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 94
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 95
ПРИЛОЖЕНИЕ Решение краевой задачи типа Г ильберта для бианалитических функций в круге 111
49
49
55
57
67
72
4
ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертационная работа посвящена разработке приближенных методов решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианали-тических функций.
Полианалитической функцией порядка п(п-аналитической) в некоторой области О называется (14), [16], [82], [117], [129], [130]) функция
р(^) = и{х,у)+:У{х,у)
комплексного переменного г = х + 1'у, которая имеет в О частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению
гг
где
\( д .д + /
дифференциальный оператор Коши-Римана,
дг 2\дх ду п е п > 2.
Полианалитическая функция порядка /7 = 2 называется бианалитической. Действительная и мнимая части бианалитической функции являются бигар-моническими функциями.
Одна из основных краевых задач типа Г ильберта (см. [16], с. 301, или [106], с. 165) для бианалитических функций может быть сформулирована следующим образом.
Пусть простой замкнутый гладкий контур Ь ограничивает конечную односвязную область Оь, а 0~= С \ /,).
Требуется определить в области бианалитическую функцию
^(г) = г/(А,^) + /т(А,у/), непрерывно продолжающуюся на контур Ь вместе со своими частными производными первого порядка, по краевым условиям:
дх дх
а2(0^- + ^(0^ = С2(0. су су
(0.1)
где <яА(/),6А(ґ),сл(ґ) (£ = 1,2)- заданные на/, действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со
5
своими производными до (З-Лг)-го порядка, причем \ак (/)]2 + [Ьк (/)]2 = 1 на I.
Одна из основных краевых задач типа Римана (см. [16], с. 316, или [ 106], с. 86) для бианалитических функций может быть сформулирована так: найти
все кусочно бианалитические функции Г±(г) с линией скачков I, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям
дх дх
(0.2)
__iz=g2(0—^+«ї(0.
ду ду
где Gk(t), gk(/) (к = 1,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (3-£), причем Gk(t) ± 0 на L.
Впервые задача (0.1) в случае, когда область D+ - круг или рациональный образ круга, была исследована в работах B.C. Рогожина [ 107]-[ 108], М.П. Ганина [15], а задача (0.2) впервые была решена в работе К.N4.Расулова [82]. В течение последних десятилетий опубликовано достаточно большое количество работ (см. [106] и имеющуюся там библиографию), посвященных исследованию линейных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений. Однако методы точных решений задач (0.1) и (0.2) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами были получены недавно в работах К.М.Расулова [81 ]-[ 106].
В классе аналитических функций приближенные методы решения краевых задач Римана и Гильберта рассматривались в работах А.В.Батырева [5], В.В.Иванова [34]-[37], В.Н.Русака [ 109]-[111 ] и других. С задачей поиска приближенных методов решения краевых задач тесно связана задача поиска методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Этой проблеме посвящены работы Ь.Г. Габдулхаева [10]-[14], З.Пресдорфа [75], С.М. Белоцерковского и И.К. Лифанова [6], [63], А.В.Джишкариани [24], В.Д. Диденко и В.М. Мацкула [27] и некоторые другие ([41], [66]. Однако многие важные задачи математической физики и механики сплошной среды (см. например, [16], [42], [69]), приводятся к краевым задачам для би-
6
гармонических и бианалитических функций и, в первую очередь, к задачам вида (0.1) и (0.2). Поэтому разработка приближенных методов для решения краевых задач в классах бианалитических и бигармонических функций является актуальной задачей.
В настоящей диссертации предлагается приближенный метод решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций, опирающийся на оригинальные методы приближенного вычисления интегралов типа Коши и интегральных уравнений Фредгольма с ядрами специального вида. Все результаты доведены до программ на языках МаФсаб и Мар1е.
Перейдем к изложению полученных результатов.
Первая глава «Об одном методе приближенного решения уравнений Фредгольма второго рода» состоит из двух разделов. В ней общий подход к приближенным методам решения линейных уравнений, предложенный Ж.П. Обэном ([73]), применяется к приближенному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Предлагаемая схема построения приближенного решения такого уравнения заключается в следующем. Интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений. Находится решение этой системы. По этому решению строится кубический сплайн, который и является приближенным решением рассматриваемого уравнения. Исследуются условия устойчивости и сходимости такой схемы.
В первом разделе дается описание используемой вычислительной схемы приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма и доказывается ее устойчивость.
Пусть X - банахово пространство. Для приближения его элементов используется следующая конструкция. Рассматривается последовательность банаховых пространств {Хп}. Связь между пространствами Хп и пространством • X задается при помощи последовательности операторов Тп (п = 1,2,...) следующим образом
ТпХ = Хп. (0.3)
В качестве оператора Тп мы будем рассматривать оператор, который строится следующим образом.
7
Разобьем отрезок [я,б] на п равных частей. Положим
/г = -—— =а + й,Г2 =а + 2А,..., =а + н/1 = 6. Пусть /(^) - функция из п
рассматриваемого класса. Тогда Т„(/) есть вектор следующего вида: (/('Л Л(2 )>•••> /(О)-
Во втором разделе доказывается сходимость используемых приближенных схем и оценивается порядок этой сходимости.
Получены следующие основные результаты.
Рассмотрим интегральное уравнение
/(/)+ Р^г)/(г)</г = <?(/). (0.4)
а
Будем предполагать, что уравнение (0.4) является однозначно разрешимым. В силу нашего предположения о свойствах ядра К((,т) решение уравнения
(0.4) также будет принадлежать классу Сл[а.ь\.
Имеет место следующая
Теорема 1.6. Пусть дано интегральное уравнение (0.4), где функция ц{{)еСА[аь), а К^,г) - функция, имеющая в квадрате [д,б]х[я,б] непрерывные частные производные до четвёртого порядка включительно. Заменим его системой линейных уравнений, применяя для дискретизации ядра формулу Симпсона. В качестве приближенного решения возьмем кубический сплайн, построенный по решению системы линейных уравнений. Тогда приближенное решение уравнения (0.4) сходится к точному решению в пространстве С1[аЗ>\, причем порядок сходимости равен 3.
Рассмотрим теперь следующее уравнение в пространстве X
А/ = Я, (0.5)
где А линейный оператор.
Уравнение (0.5) будем называть точным уравнением, а его решения -точными решениями.
Последовательностью приближенных уравнений для уравнения (0.5), следуя В.А. Треногину ([122]), будем называть последовательность
ЛЛ = Яп > (0.6)
где дп - элемент Хп.
8
Последовательность задач решения уравнений (0.6) называется приближенной схемой решения уравнения (0.5).
Вторая глава посвящена методам приближенного вычисления интегралов типа Коши.
Интегралы типа Коши нашли широкое применение в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды. Свойства этих интегралов достаточно хорошо изучены, однако как пишет в своей монографии «Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида» Г.Н. Пыхтеев, «методы их вычисления развиты слабо по сравнению с методами вычисления обычных интегралов Римана». В монографии [79], а также в работах [77]-| 78] рассматриваются некоторые приемы вычисления интегралов типа Коши с плотностью специального вида для случая, когда контур интегрирования есть окружность или отрезок прямой.
Один из известных способов вычисления интегралов типа Коши состоит в замене плотности некоторым интерполяционным полиномом. Для случая окружности этот способ рассматривался, в частности, в работах Б.Г. Габдул-хаева [10] - [15], В.В. Иванова ([41], с. 159-163), для других классов контуров в работах В.А. Золотаревского и его учеников ([32], [33], [67]), В.К. Дзя-дыка [25], [26], М. И. Исраилова и Р. Джуракулова [42], а также в работах [127], [132], [133], [139], [140], [141], [142].
Большое число работ посвящено исследованию квадратурных формул для приближенного вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши. К ним относятся работы В.В. Иванова [38]-[41], И.К. Лифанова [64], Д.Г. Са-никидзе [112]-[115], М.А. Шешко [121 ]-[124].
Предлагаемый нами метод приближенного вычисления интеграла типа Коши ориентирован на использование современных систем компьютерной алгебры. На наш взгляд, он свободен от некоторых недочетов методов, указанных выше. Так, при нахождении коэффициентов интерполяционных полиномов получаются плохо обусловленные матрицы, предложенные квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов с ядром Коши приводят к очень большому объему вычислений для случая, когда плотность интеграла зависит от двух аргументов. С такой ситуацией мы встречаемся при приближенном решении обобщенных задач Гильберта и Римана для аналитических функций.
Вторая глава состоит из пяти разделов.
9
Первый раздел посвящен вычислению интеграла типа Коши во внутренности контура. В нем изложена сущность предлагаемого метода приближенного вычисления приближенного метода вычисления интеграла типа Коши. Она состоит в том, что интеграл типа Коши аппроксимируется квазирацио-нальной функцией (рациональной функцией от функции, осуществляющей конформное отображение единичного круга на область О) в замкнутой области.
Для погрешности данного метода здесь получены следующие оценки.
Теорема 2.1. Пусть функция /(г($)) принадлежит классу Гельдера IIр,
функция х - осуществляющая конформное отображение единичного круга на область Г)' удовлетворяет условию: у/'(и>) непрерывна при |и| < 1.
Тогда для всякого числа /3', такого, что 0 < (3'< /3, найдутся константы с!0 и ф, для которых
т!*|Ф*(г)-Ф;(ф4^.
геО 1 уу р
Здесь и далее Ф+(г) - точное, значение интеграла типа Коши с плотностью /(г), а фДг) - его приближенное значение.
Теорема 2.2. Пусть:
1) односвязная область 0+ ограничена контуром Т,
2) т= г($) -уравнение контура Л, отнесенное к натуральному параметру;
3) г = г($) дифференцируема и производная этой функции принадлежит классу Гельдера На;
4) плотность интеграла типа Коши /(г) удовлетворяет условию: функция /(г(5)) дифференцируема, и ее производная принадлежит классу Гельдера IIр.
Тогда существуют константы (10 и с!х, не зависящие от п, что
шах |Ф"(2)“ ф»(2)| ^ 3~~«в П"
тєО'иі) 4 ' пК ^ п“р
Ч
п
\
Теорема 2.3. Пусть:
1) односвязная область В+ ограничена контуром І;