2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................ 4
ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.............................. 12
§1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА......................... 12
1.1. Пространства непрерывно дифференцируемых функций ... 12
1.2. Пространства непрерывных и частично дифференцируемых функций многих переменных..........................12
1.3. Пересечение и сумма пространств С'(С^).............14
§2. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ.................. 15
2.1. Основные определения...............................15
2.2. Непрерывность линейного оператора с частными интегралами в С(СДО) и в некоторых конструкциях этих пространств.16
2.3. Условия непрерывности линейных операторов Вольтерра с частными интегралами...................................26
2.4. Непрерывность линейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами...............................30
§3. ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ.................. 32
3.1. Аппроксимации общих классов операторов ............32
3.2. Аппроксимации операторов Вольтерра.................39
3.3. Аппроксимации операторов Вольтерра-Фредгольма......42
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЧАСТИЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ............................................... 43
§4. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ............................ 44
§5. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЯДЕР.............................. 48
3
§6. ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И РЕЗОЛЬВЕНТЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.......................... 55
6.1. Условия однозначной разрешимости......................56
6.2. Резольвента и другие условия однозначной разрешимости.67
§7. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ..................... 75
7.1. Интегральные уравнения с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных........75
7.2. Однозначная разрешимость уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма.........................................77
7.3. Примеры математического моделирования уравнениями с частными интегралами некоторых задач механики сплошных сред . . 80
7.4. О моделировании уравнениями с частными интегралами некоторых задач теории упругости.........................83
ГЛАВА III. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ........................... 86
§8. МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР................................ 86
ЛИТЕРАТУРА...............................................93
ПРИЛОЖЕНИЕ А..............................................103
ПРИЛОЖЕНИЕ Б..............................................108
4
ВВЕДЕНИЕ
1. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред [2, 3, 4, 5, 38, 80, 82]. теории упругости [20], уравнений математической физики [29. 66] и других задач [18, 20, 65, 77, 79] являются частные случаи интегрального уравнения
где / — тождественный оператор, К = С + L + М + N, операторы С, L, М, N представляются в виде:
данные измеримые по совокупности переменных функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Уравнение (1) (оператор К) обычно называют уравнением (оператором) с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция х интегрируется по части переменных. Свойства оператора К имеют принципиальные отличия от свойств обычных интегральных операторов. В частности, оператор К не является компактным даже при с(£, s) = 0 и в общем случае непрерывных ядер /,тп,п. Более того, при [а, 6] — [c,rf] = [0,1], единичном ядре I и нулевых функциях с, т и п К — не интегральный, а I — К — не нётеров операторы.
Линейным операторам и уравнениям с частными интегралами и их приложениям посвящены монографии (38, 41, 49, 54, 82]. Разрешимость, свойства уравнения (1) и свойства оператора К определяются пространствами, в которых они рассматриваются. Оператор К и уравнение (1) в идеальных пространствах исследовались Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным,
(I - К)х = /,
(1)
£,т Є [а, 6], s,a Є [c,d], c(t,s), l(t}s,r): rn^t, s,cr), n(t,s,r,o ) и f(t,s) — за-
5
А.И. Поволоцким в работах [33, 34, 35, 37, 38, 39, 52, 74, 81, 82, 87]; в пространстве непрерывных функций — 10. Аппсллем, П.П. Забрей ко, A.C. Калитви-ным, В.А. Калитвиным, О.II. Околеловым, Е.В. Фроловой [36, 38, 49, 54, 70, 82, 88]; в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций — В.В. Болтянским, ЯЗ. Битовой, В.А. Какичевым, Н.В. Коваленко, A.C. Калитвиным, Л.М. Лихтарниковым, В.С.Пилиди в [19, 21, 22, 31, 34, 38, 61, 62, 63, 64, 71]. Свойства оператора К в других пространствах функций рассматривались в [37, 38, 39, 50, 53, 62]. Сингулярным интегральным уравнениям и операторам с частными интегралами, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы В.А. Какичева, B.C. Пилиди, И.Б. Симоненко [17, 72, 73, 75, 76]. Операторы и уравнения с разностными ядрами изучались А. Бёттхсром [17], A.A. Говорухиной, Н.В. Коваленко [26, 27, 28].
Важнейшими частными случаями уравнения (1) являются уравнения Вольтерра с оператором
(КуХ)^, $) = / l(t,, 5, т).т(т, s)dr-\-J и
4 / rn(t. s, a)x(t, cr)da 4- / / n(t,s,T,a)x(r,a)dadT
Je Ja Je
и Вольтерра-Фрсдгольма с оператором
(Kfx)(ty s) — / l(t, s,t)x(t, s)dr+
Ja
Jpd rt rd
' m,(t,s,cr)x(t,(T)da 4 / / n(t, s, r. o-)x(r, a)dadr
с Ja Je
с частными интегралами. Эти уравнения являются математическими моделями различных задач теории упругих оболочек и механики сплошных сред соответственно. Уравнения Вольтерра с частными интегралами и непрерывными ядрами изучались впервые, по-видимому, В. Вольтерра [89], Э. Гурса |29], Г. Мюнцем [66]. Приложения этих уравнений к задачам теории упругих оболочек и дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в [18, 20] и других работах. Уравнения Вольтерра с оператором Kv в общем случае ядер исследовались в [38, 39, 49, 54, 82, 86, 87],
7
В §2 изучаются условия действия и непрерывности операторов К, Кь и К/. В теореме 2.1 показывается, что если оператор К действует в пространстве U. то он непрерывен. Теорема 2.2 и следствие 2.1 содержат достаточные условия действия оператора К в пространстве U. Аналогичные утверждения для пространства V сформулированы в теореме 2.3 и следствии 2.2. В теоремах 2.4, 2.5 и следствии 2.3 приведены условия непрерывности действия оператора К из пересечения пространств U и V в их сумму. Теоремы 2.6,
2.9 (2.10) содержат условия непрерывности действия оператора Вольтерра с частными интегралами в пространстве U (К). При доказательстве теоремы
2.9 используются утверждения теорем 2.7 и 2.8 [78|. Условия непрерывности действия оператора Вольтерра-Фредгольма в пространствах U (V) получаются комбинированием условий теорем 2.1 и 2.6. 2.2 п 2.9 (2.3 и 2.10). Также приводятся оценки норм операторов.
§3 посвящён аппроксимациям операторов с частными интегралами. В теореме 3.1 рассматривается общий случай аппроксимации оператора К в пространстве U. В теореме 3.2 получены условия сходимости последовательностей операторов Li,MuNuKt с вырожденными ядрами
и V
l(t,s,r) = m(t,s,a) = s)6j(ff),
j-i (3)
n(t, S, r, ff) = nbi1’ s)cfc(T’a)’
k-l
где 1г,т,,пк Є U\ функции at,bj,ck (і = 1 = 1 ,...,v;k = 1
непрерывны, к операторам L, M, Nt К соответственно в пространстве C(U) ограниченных в U линейных операторов. Аппроксимация оператора К, при которой его ядра приближаются отрезками степенных рядов, обеспечивает теорема 3.3. Для пространства V аналогичные утверждения сформулированы в теоремах 3.4-3.6. Условия, аналогичные теоремам 3.1 и 3.2 (3.4 и 3.5) для оператора Вольтерра, представлены в теоремах 3.7 и 3.8 (3.9). Для оператора Вольтерра-Фредгольма также справедливы утверждения теорем 3.7-3.9.
Во второй главе изучаются условия нётеровости, фредгольмовости и однозначной разрешимости в пространстве U линейных уравнений с частными
8
интегралами1. Установлена структура резольвенты однозначно разрешимого в пространстве и уравнения с частными интегралами, приведены критерии фредгольмовости и однозначной разрешимости интегральных уравнений с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных, получены условия однозначной разрешимости и фредгольмовости уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Рассмотрена однозначная разрешимость в пространстве II интегральных уравнений, моделирующих некоторые задачи механики сплошных сред, теории упругости и другие задачи.
В §4 исследуются условия нстсровости и фредгольмовости в пространстве и оператора I — К и уравнения (1), где К = Ь + М + N и / 6 £/, с вырожденными ядрами. С использованием утверждения теоремы 4.1 [38], формулируются теоремы 4.2 и 4.3 о равносильности фредгольмовости оператора I — К с вырожденными ядрами (3), где системы функций {а*|г = 1,..., гг} и \bj\j = 1,... ,г'} — ортонормированы, фредгольмовости операторов I — Ь и / — М, которая в свою очередь равносильна неравенству А 1(5) • А2(0 Ф 0; где и А2(£) — определители
Аі(в) =
1 -Х11М -хФ) , Мі) = 1-19ц(і) • • - $1у{і)
~Хт(в) ... 1 - ХшДв) і - 0„(О
^гЬ Г(1
' а 1(т)1,{т,.$)<1т (г, і = 1,..., гі), ^*(і) = / Ъ£о)тк(Ь, а)йа
а ос
и, к = 1,... ,г>).
В §5 установлены критерии фредгольмовости оператора / — К, ядра которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменной / до р-го порядка включительно. Эти критерии содержатся в теоремах
5.1 и 5.2, которые доказываются с использованием теорем 4.2, 4.3 и приведе-
1 Здесь нётеровым (фредгольмовым) оператором Л называемся ограниченный линейный оператор, у которого область значений замкнута, а размерности ядра и коядра конечны (в случае фредгольмовл оператора ядро н коядро имеют одинаковую размерность). Уравнение Ах = / с нётеровым, фредгольмовым, обратимым на X оператором А будем называть нётеровым, фредгольмовым, однозначно разрешимым соответственно.
- Київ+380960830922