Оглавление
Введение................................2
Глава 1................................19
Глава 2................................46
Глава 3................................68
Список литературы......................99
Введение
Многие задачи гидродинамики, квантовой механики и кван товой химии требуют детального изучения спектра, базисных свойств собственных функций и других спектральных характеристик дифференциальных операторов. Важной спектральной характеристикой являются формулы регуляризованных следов, приобретающие в последнее время все большее значение в связи с их применением в приближенном вычислении первых собственных значений оператора.
Основы спектрального анализа дифференциальных операторов были заложены Штурмом и Лиувилле.м при изучении уравнения
-у" + Ч(х)у = \у.
Функцию (?(х) обычно называют потенциалом, а Л £ С — спектральным параметром. Идеи и методы, используемые при исследовании уравнения Штурма Лиувилля. находят применение в обшей спектральной теории дифференциальных операторов.
Хорошо известны асимптотические разложения решений уравнения Штурма-Лиувилля по спектральному параметру А при А -> эс. С помошыо этих разложений получена асимптотика больших собственных значений оператора Штурма-Лиувилля. Асимптотические ряды для решений, как правило, расходятся. 'Гак. из результатов А. 0. Кравиикого и В. В. Лидекого [1] следует, что ее- • ли <1{х) = -хт. т € N. то асимптотические ряды для решений уравнения Штурма-Лиувилля расходятся при всех А. отличных от нуля. Описание класса потенциалов, для которых асимптотические ряды сходятся, до сих пор не получено, имеются лишь отдельные примеры потенциалов, при которых такая сходимость имеет место. Однако и расходящиеся асимптотические ряды можно использовать для приближения решений при заданном значении А.
Первая глава диссертации посвяшена обоснованию метода приближения решений уравнения Штурма Лиувилля асимптотичес-
кими рилами. Основные результаты первой главы заключаются н следующем. Пусть на отрезке —а < х < а, а> 0. задано дифференциальное уравнение
-у" - д{х)у - А2*/, А > О,
с потенциалом ц{х). аналитическим в Оур, [—а. а]) — /»-окрестности отрезка [-а.«), состоящей из всех точек, расстояние от которых ло отрезка меньше, чем р. Решения этого уравнения уц{х, А) и 2/1(2:, А), удовлетворяющие начальным условиям
Уо{0. А) = 1, у'0( 0.А) = 0. у1(0, А) = 0, у[( 0,А) = Аг, разлагаются в асимптотические ряды при А -> +оо;
коэффициенты которых вычисляются по рекуррентным формулам
Во. о(х) = в0л{х) = 1;
В,}^[х) = В'1Ч(х) + (-1)-+^(0) + }Ч[Ь)В^(1)А.
о
а 0
Введем следующие обозначения: Мо = шах
—а
*Рп^[Ч‘х- А) — погрешность при приближении решения у, я-й частичной суммой асимптотического ряда. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1.2 Пусть функция д(г) аполитична 6 0(р. [—а. о]} и следующая норма конечна
где (jn%n = —. Для Л > О положим N = N(А) = [2р\] — 4.
ft.
Тогда при N > 1 имеем
sup max шах |<p.v .($, .т. /;)| <
7>л>=0-1 j-e(-a.«|
< ^у/2паМ(2\рУ*2 ехр(Л/о/Л + Мре - 2рА),
•J
гДе Л/ = М[ 4- М|).
При доказательстве теоремы 1.2 используется Теорема 1.1 Коэффициенты асимптотического ряда и их производные удовлетворяют неравенствам:
шахтах\Bnj(q.x)\ < \м(п+2)\рх~п ехр(А/ре).
>=0.l |xj<n О
max max 113' .(с.х)| < \мп(п + 2)\р~пехр{Мре).
>=0,1 |х|<а О
Теорема 1.1 содержит оценки коэффициентов асимптотических рядов для решений уравнения Штурма-Лиувилля. Впервые задача об оценках коэффициентов асимптотических рядов по спектральному параметру для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений рассматривалась в 1971 году А. О. Кравицким и В. Ь. Лилским в [1]. Они исследовали дифференциальные уравнения л-го порядка с полиномиальным вхождением спектрального параметра в коэффициенты уравнения:
а<"> + Р(х. А)*/"-1! + ■ • ■ + Д(х, А)г/<п-*! + ■ •• + Р„[х. А)у = 0.
к
Рк(х. А) = Y, РФ)А*"'.
/=0
причем коэффициенты Ры(х) являются многочленами. Для еду-чан п = 2 это соответствует тому, что потенциал q(x) является
многочленом. В 1981 году А. С. Печенцов в [2] распространил результаты [1] с многочленов на произвольные целые функции конечного экспоненцального типа. X. М. Мкоян в 1974 году [3] для уравнении второго порядка получил оценки коэффициентов В,ч в случае потенциалов из классов Жеврея, которые состоят из функций <1 £ С00[—а. а], имеющих следующие мажоран ты максимумов к-х производных:
В 1999 году В.А.Садовничий и А.Ю.Попов в работах [4], [о] рассмотрели класс потенциалов, аналитических в круге |а:| < Я. Ими были получены оценки для коэффициентов Впу.
где и = у/М(Н - а). Было доказано, что эти оценки очень близки к оптимальным, поскольку для потенциала д{х) = — 1п( 1 -была получена оценка снизу
V V
Таким образом, зазор между оценками тах|Д, сверху и
|х|<а
снизу на рассматриваемом классе потенциалов при п —» оо со- , ставляет величину порядка п\ которая очень мала в сравнении с главным членом оценки, растущим как (п -1- 2)!р-". р = Я - а.
В [5] был также рассмотрен класс потенциалов, аналитических в некоторой окрестности отрезка ’-а, а], однако на этом классе были получены оценки, худшие, чем (1). В теореме 1.1 приводятся оценки коэффициентов асимптотических рядов для потенциалов. аналитических в р-окреетности отрезка, состоящей из точек, расстояние от которых до отрезка меньше, чем р. Они являются практически такими же по порядку, как и (1) и. следовательно.
тах|?(*>{а;)| < с0Ск(к'.)а. а>1.
|х| <а
(1)
Вгч{д.а) > р2 П(п — 3)!
5
на рассматриваемом более широком классе потенциалов их можно считать в известной степени окончательными.
Результатом теоремы 1.2 является оценка погрешности приближении решений уравнения Штурма-Лиувилля с помощью частичных сумм асимптотических рядов, причем эта оценка экспоненциально убывает с ростом спектрального параметра Л. Кроме того, явно вычислен номер N = ЛГ(А) частичной суммы асимптотического ряда, дающей приближение с погрешностью, близкой к наименьшей.
Далее в главе 1 разобран численный пример: для решений уравнения Матье вычисляется номер частичной суммы, дающей наилучшее приближение, и погрешность этого приближения. Этот пример показывает, что в случае асимптотических рядов, в отличие от рядов сходящихся, наилучшее приближение может давать частичная сумма со сравнительно небольшим номером. Правда, получить сколь угодно точное приближение в случае асимптотических, но не сходящихся рядов, невозможно, однако из приведенных таблиц видно, что уже при небольших значениях спектрального параметра погрешность приближения может достигать порядка 10"\ что на практике является весьма высокой точностью.
Во второй главе диссертации летально исследуется сингулярный дифференциальный оператор в гильбертовом пространстве Ь->[0. ос), порождаемый выражением
%) = (-1Г0 + ХУ, пек (2)
и общими краевыми условиями в точке х = 0, фиксирующими самосопряже11ное расширение:
^■>/1
ит(у) = 51 Лт>2/(Ат“^>(°) = 0 • т = Мь- (3)
3=0
ато = 1, кп < <•■•<£,< 2п.
б
Следствием асимптотических разложений фундаментальной системы решений уравнении
Цу) = *2I {-і)
по спектральному параметр)' А при А —> +оо явились точные асимптотические равенства для собственных значений А/ (теорема •2.1).
Основным результатом второй главы являются формулы регу-ляризованных следов всех порядков, то есть суммы вила
ОС
'£(\?-Bm(l)) = Sm, то Є NU {0}, (5)
(=1
где Вт(1) — вполне определенные числа, определяемые но асимптотике собственных значений А і.
Впервые регуляризованный след был вычислен И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [б] в 1953 году для задачи Штурма-Лиубилля:
f -у" + д{х)у = Ху..
\ 2/(0) = у{г) = 0.
где д(х) — вещественная непрерывно дифференцируемая на от-
5Г
резке [О.тг функция. Если выполняется условие f g(x)dx = 0. то
о “
справедлива формула
£ (Д| _ 0 = (0) /=1
Формула (б) послужила источником многочисленных работ и далеко идущих обобщений. Л. А. Линий в 1953 [7] и 1958 [8] годах и И. М. Гельфанд в 1956 году [9] вычислили регулнризованные следы всех порядков для оператора Штурма-Лиувилля. Л. Л. Фаддеевым и В. С. Буслаевым (1957 год [10], I960 год [11] и 1962 год [12]). были получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.
- Київ+380960830922