2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....................................................... 4
ГЛАВА I. СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ СУММЫ КОТОРЫХ РАССМАТРИВАЮТСЯ ПО НЕКОТОРОЙ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ...........................................................32
Введение...................................................32
§1. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются
по некоторой подпоследовательности.....................38
§2. О необходимых условиях справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье функций из Ьр,
р > 1..................................................54
§3. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов
Фурье функций из Ь\....................................60
ГЛАВА И. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ СЛАБОЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С "Л-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ
СУММ".........................................................63
Введение...................................................63
§ 1. Поведение подпоследовательностей частичных сумм кратных рядов
Фурье некоторых функций................................68
§2. Критерий справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности 84
ГЛАВА III. СТРУКТУРА И ГЕОМЕТРИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С "Л-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ СУММ" .............................94
Введение................................................94
§1. Максимальные множества сходи мости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с " «Д-лакунарной последовательностью частичных сумм" .............................98
ЛИТЕРАТУРА.................................................104
4
ВВЕДЕНИЕ
1. Рассмотрим Лг-мсрное евклидово пространство MjV, элементы которого будем обозначать х = (хь... ,x;v), и положим (пх) — щх\ + ••• + п^Х}у,
N = (ж? + • • • + Д-)1/2-
Введем множество Z'v, ZA С — множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество Z^ = {(wi, Е ZjX : n.j >
1, ^ =
Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / G Li(TA), где TlV = {х G Едг : —7г < Xj < n,j = 1,...,ЛГ}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:
/(*) ~ ]Г ске«к*\ k<EZ"
Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда
5»(х;/)= X ••• X с^(кх)’
|A:i|<ni |fc,v|<«JV
где П = (щ,. . . , пдг) G Zf.
Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С TTV, д21 > 0 (д =
— TV-мсрная мера Лебега), и пусть /(х) = 0 на 21.
В диссертации изучается поведение на 21 частичной суммы (0.1) при 71 -> оо (т.е. min rij —> оо) в зависимости от гладкости функции /(х), от структурных и геометрических характеристик множества 21, а также от ограничений, накладываемых на компоненты вектора п — "номера"
частичной суммы Sn(x;f). Точнее, нас будет интересовать поведение частичной суммы (0.1) в случае, когда некоторые из компонент вектора ть G Zf являются элементами (однократных) лакунарных последовательностей.
2. Дадим определение лакунарной последовательности и остановимся па некоторых результатах о сходимости тригонометрических рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм".
Определение 1. Последовательность {п^}, Е Ъ|, называется лакунарной, если п^)1)- > д > 1, 5=1,2,... .
В одномерном случае А. Н. Колмогоровым еще в 1922 г. в работе [1] было установлено: для любой функции / Е Т1) последовательность частичных сумм 5п(*)(ж;/), где {п^}, 6 ^}, Л = 1, 2,..., — лакунарная по-
следовательность, сходится почти всюду (п.в.) на Т1. Указанный результат А. Н. Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р. Пэли |2] на классы ЬР(Т 1),р > 1.1 Позже Р. Госселином [5] и В. Тотиком |6] было установлено, что 15 ЬЦТ1) этот результат неверен (подробный обзор результатов такого плана в одномерном случае см. в работе П. Л.Ульянова |7]).
В свою очередь, первый результат для кратных рядов (т.е. для N >2), касающийся "лакунарных последовательностей частичных сумм" был получен П. Шёлиным в 1971 г. в работе [8], где было доказано, что если / Е Ьр(Т2), р > 1, {п^}, Е Ъ\,и\ = 1,2,..., — однократная лакунарная последовательность, то
lim S (*,) (х; /) = /(х) и.в. на Т .2
|/ЬП2->00 П1’J> v '
В 1977 г. М. Кожима в работе [11| обобщил результат П. Шслииа, доказав, что если функция / Е Lp(Тдг), р > 1, N > 2, и {n^}, Е =
1,2,... 7j = 1,..., N — 1, — однократные лакунарные последовательности, то
lim S („,) (ж;/) = /(ж) п.в. на Тл'.
j'b— ,^ЛГ-1,ПЛГ->ОС ,...,Пдг_1 ,плг
1 Здесь, естественно, надо отмегить результаты 1966 г. Л.Карлесона (3j и 1967 г. Р. Ханта (4J о том,
что одномерный ряд Фурье любой функции из класса Lp(Tl),p > 1, сходится п.п. на Xі.
2 В 1977 г. вышла работа Д. К. Санадзе, III. В. Хеладзе [9J, где указанный результат П. Шёлииа [8| был
распространен на классы Орлича L(log+ L)4(ТГ2) (см. также работу Л. В. Жижиашвили |10| 1975 г.).
б
В той же работе М. Кожима доказал (используя результат Ч. Фсффсрмана [12]), что сформулированный выше результат не может быть усилен в следующем смысле: для любой последовательности п = (ггз, гц,..., п.;у) € Ъ^~2 3 существует непрерывная функция, / G С(ТЛ), такая, что
lim |5П1,Пг,й(а:;/)| = +оо п.в. на TN.
П1,П2,П-»00
Что касается дальнейших (после 1977 г.) исследований вопросов сходимости кратных рядов Фурье, чьи прямоугольные частичные суммы 5п(х; /) - (0.1) имеют "номер" п — (ni, ..., пи) £ , в котором компоненты
rii, • • • yTiN "в том или ином смысле лакунарны", то подробный обзор результатов такого плана можно найти, например, в работе Л. В. Жижиашвили [13].
3. Далее, перейдем к вопросам локализации для (суммируемых по прямоугольникам) рядов Фурье функций ИЗ Lp, р > 1, т.е. к вопросу о поведении ряда Фурье на множествах, где разлагаемая в ряд функция f(x) равна нулю.
Для одномерных рядов Фурье функций / G Li(Т1) классический принцип локализации Римана (1853 г.) утверждает, что ряд Фурье функции / £ Li(TA), равной нулю на интервале / С Т1, сходится к нулю равномерно на каждом сегменте, целиком содержащемся в /.
Для кратных рядов, т.е. при N >2, такая локализация справедлива только для крестообразных окрестностей (см. [14, с. 458]), для сферических окрестностей эта локализация, как отметила Л.Тонелли еще в 1928 г. в работе [15], неверна даже для непрерывных функций. Болес того, как следует из работ JI. В. Жижиашвили [16,17], классическая локализация отсутствует и в классе функций с некоторым модулем непрерывности.
Поисками окончательных условий справедливости классической локализации в различных функциональных пространствах, начиная с 1970 г., занима-
3 В частности, каждая компонента iij вектора п может быть элементом лакунарной последовательности.
7
лись В. А. Ильин 118], Л. В. Жижиашвили |16], К. Гофман и Д. Ватерман [19], Р. Р. Ашуров [20], А. Й. Бастис [21], И. Р. Лифлянд и М. А. Скопина [22,23] (см. также обзорные статьи [24-26]). Оставаясь же классах Ьр естественно было (с учетом существовавших к 1975 - 1978 годам результатов о классической локализации) ввести другое понятие локализации.
В работах [27,28] И. Л. БлошаискиЙ дал определение обобщенной локализации почти всюду.
Определение 2. Пусть 21, 21 С — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса Lp{Тл), р > 1, справедлива на мнооюестве 21 обобщенная локализация почти всюду (ОЛ), если для любой (функции f Е Ьр{Тд), f{x) = 0 па
а,
lim Sn(x\ f) = 0 почти всюду на 21.
п->оо
При Л' = 1 ОЛ для рядов Фурье справедлива на любых измеримых множествах 21 С Т1 в классах Lp(Tl),p > 1. Это следует из уже упомянутых работ Л. Карлесона [3] и Р. Ханта [4]. Если р = 1, то ОЛ в одномерном случае справедлива в классе ГДТ1) на измеримом множестве 21 С Т1, д21 > 0, тогда и только тогда, когда это множество является открытым почти всюду.4 Достаточность этого факта следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. Л. Блошанским в [29].
В кратном случае исследования, касающиеся ОЛ, были проведены И. Л. Блошанским в работах [27-311. Так в случае N = 2 в работе [27] было доказано, что если функция / € Lp(T2),p > 1, то для двойных рядов Фурье на открытых почти всюду множествах справедлива ОЛ. Заметим, что усилить данный результат, доказав его в случае N = 2 и р > 1 для произ-
1 Множество П будем называть (см. (20|) открытым почти всюду, если существует открытое множество
fii такое, что /i(12 Д Oi) = 0.
8
вольного измеримого множества, оказалось невозможным, т.к. в работе [30] было построено измеримое множество 51 С Т2 (с мерой, сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Т2), на каюром ОЛ не справедлива в классе Ьоо(Т2) (при суммировании по прямоугольникам).5
Если же рассматривать класс ТА), то (см. [31]) уже начиная с двумерного случая ОЛ не справедлива вообще ни на каком измеримом множестве 51 С Т^,0 < д51 < (27г)л, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.
Что касается случая N > 3, то, как было установлено в работе [311, ОЛ в этом случае уже не справедлива ни на каком измеримом множестве 51 С Тл, не являющемся плотным в Тл (т.е. 51 2 Тдг, где 51 — замыкание множества 51) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам даже в классе С(Т^).6
Таким образом, т.к. ОЛ справедлива на произвольном открытом множестве только в случае N = 2, р > 1, то появилась необходимость перейти к более тонкому аппарату исследования поведения ряда Фурье функций / на множествах, где / равна нулю, а именно, к понятию "слабая обобщенная локализация почти всюду", введенному и исследованному И. Л. Блошанским в работах [35-39].
Определение 3. Пусть 51, 51 С Т^, — произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из класса Ьр(Тл ), р > 1, справедлива па множестве 51 слабая обобщенная локализация почти всюду (СОЛ), если для любой функции / € ЬР(Т),
5 Справедливость ОЛ на открытых п.п. множествах О С Т2 была также доказана в классе
Ып+Ип+1п+Ь (см. [32,33)).
6 В работе (34] были проведены исследовании справедливости ОЛ на любых открытых множествах
21 С Т3 для функций / € ЯЩТ3). В частности, установлено, что ОЛ (для таких функций) справедлива на открытом множестве 21 С Т3, если модуль непрерывности сД<5, /) этой функции удовлетворяет условию ш(6,/) = о([1од\1од1оу1од\]~Х).
9
/(х) = 0 на 21, существует, такое подмнооісество 21] С 21, /х21і > 0, что
lim S7l(x;/) = О почти всюду на 2li.
П—>00
Заметим, что так как из справедливости па множестве 21 ОЛ следует справедливость на этом же множестве COJI, то СОЛ справедлива при N = 1, р > 1 на произвольных измеримых множествах 21 С Т1, а при N = 1, р = 1 и N = 2, р > 1 — на открытых п.в. множествах 21 С Tv, д21 > 0. Однако, понятия ОЛ и СОЛ не совпадают (см. [37, теорема 1]).
Для формулировки результатов по СОЛ в классах £7,(Глг),р > 1, введем сле/^ующие обозначения.7
Пусть М — множество чисел {1,..., N} и & Є М. Обозначим: Jk =
üb •••Jk}, j8 < ji при 5 < l, и (в случае k < N) M \ Jk = {ггц, ...,
ms < ггц при 5 < /, — непустые подмножества множества М. Будем считать также, что Jo = 0 и М \ Jn = 0- Разложим пространство Мд на сумму двух подпространств R[Jk] и ЩМ \ Jk]t где R[Jk] = {х = (xi,..., xjv) е MjV : Xj = 0 при j £ М \ Jjt}, а R[M \ J*] = Ü Є = 0 при j Є «/*}.
Обозначим также T[Jk] = {х £ R[Jk] : — к < Xj < 7Г при j £ Л-} и
Т[М \ J*.] = {х Є R[M \ Л-] : —7г < х7 < тг при j Є М \ Jk}. Очевидно, что R[Jn] = RjV, а Т[М] = TN.
Пусть Q, Q с Т , N > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть П[І2] = Pr(J2){^} — ортогональная проекция множества Q на плоскость M[J2], J2 С М.
Положим
W[J2] = х Т[М \ J2], Л С М.8 (0.2)
7 Для удобства дальнейшего изложения формулировать основные результаты работ [35-38) мы будем в терминах, которые появились уже позже при исследовании вопросов справедливости COJI в других
функциональных пространствах (см., например, (39,40)).
8 При этом любой вектор г = (zy,..., г2лг) € А х В , где А с К[Л]> а В С R[M \ Jk\, мы отождествляем
- Київ+380960830922