Оглавление
Список обозначений 4
Введение б
1 Некоторые сведения из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов 24
§1.1 Основные понятия и используемые результаты из теории векторных функций.............................................. 24
§1.2 Основные понятия из теории линейных отношений..........'28
§1.3 Основные понятия и используемые результаты из теории полугрупп операторов.......................................... 30
2 Свойство замыкаемости и свойство замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов 39
§2.1 Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов
вырожденной полугруппы операторов....................... 39
§2.2 Примеры ............................................... 48
3 Теорема Герхарта - Прюсса для вырожденной полугруппы операторов 55
2
§3.1 Экспоненциальная дихотомия для вырожденной полугруппы
операторов ................................................... 58
§3.2 Теорема Герхарта - Прюсса..................................... 62
§3.3 Пример........................................................ 81
4 Свойства полугруппы операторов Сильченко класса А(ф) 87 §4.1 Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко
класса А{[р).................................................. 87
§4.2 Примеры ...................................................... 03
3
Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
К - множество вещественных чисел;
М+ = (0, оо) - множество положи'гельных вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
X - комплексное банахово (или гильбертово) пространство;
ЕпЛХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Х\
К от В - ядро оператора В;
ГтВ - образ оператора В;
В(В) - область определения оператора В;
В - замыкание оператора В;
Ця|| - норма вектора х;
р(В) - резольвентное множество оператора В]
Я(А, В) - резольвента оператора В; сг(В) = С \ р(В) - спектр оператора В; г(В) - спектральный радиус оператора В;
I - тождественный оператор;
Т - полугруппа операторов;
4
ги(Т) - тип полугруппы операторов Т\
КеХ - действительная часть комплексного числа Л; С«, = {Л Є С : ЯеХ > н?};
Т = {Л Є С : |А| = 1} - единичная окружность; г - мнимая единица;
0 — пустое множество.
5
Введение
Пусть X — комплексное банахово пространство и ЕпдХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих п X. В диссертации иод полугруппой операторов понимается сильно непрерывная оператор-позначная функция
Т : М+ = (0, ос) —* ЕпдХ,
для которой
Т(£ 4- з) = Т(*)Т(в) при всех t,s > 0.
При исследовании столь общих полугрупп операторов традиционными являются следующие требования:
1) ядро полугруппы операторов нулевое, т. е.
КегТ = {ж Е X : Т(б)х = 0 для всех £ > 0} = {0};
2) образ полугруппы операторов 1шТ = и /тТ(£) плотен в X.
г>о
Однако, в приложениях к дифференциальным уравнениям с необратимым оператором при производной возникают так называемые вырожденные полугруппы операторов, т. е. полугруппы операторов, для которых КегТ ф {0}, и как правило, 1тпТ Ф X. Именно исследованию вырожденных полугрупп операторов посвящена данная диссертация.
6
Первые существенные результаты по теории полугрупп операторов сильно непрерывных на (0, оо) были получены и систематически изложены в классической монографии (51). Проведённые там исследования относились к нескольким классам полугрупп операторов [51, пункт 10.6], которые классифицировались согласно способу сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору / (при г —> 0+) и выполнению одного из условий:
о
Следующие условия обеспечивали некоторую форму сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору I :
1
о
(1Ь
1ш1 С(г))х = х для любого X £ X,
(С,)
— Пт ХЯ(Х)х = х для любого х 6 X,
Л—оо
(Л)
где
С : (0, оо) — Еп(IX,
о
Я : —> Еп(1Х, ю > гп(Т),
оо
(1)
О
где
Сш — {Л 6 С : ЯеХ > ги}.
7
Число w(T) называется типом полугруппы операторов Т и имеет вид
w{T) = lim < «,
t—*оо t
Полугруппа операторов Т, для которой выполняется одна из следующих пар условий: (7)0, (Ci); (7)i, (Ci); (i)o, (А); (7)ь (Л) соответственно относятся к полугруппам операторов класса (О, С]), (1,С]), (О, Л), (1, Л). Полугруппы операторов классов (0, Су) и (1, Су) образуют класс {Су) ((Ci) —■ полугруппы), а полугруппы операторов класса (О, Л) и (1,-А) относятся к классу (А). При этом, для полугруппы операторов класса (А) интеграл в формуле (1) сам но себе лишён смысла, поэтому условию (А) придаётся следующий смысл [51]:
(А)' Найдётся такое wy > w(T), что для любого Л, удовлетворяющего условию ReX > wy существует оператор R(\) € EndX, обладающий свойствами:
ос
(a) R{X)x = - / e~XTT{r)xdr для х 6 /тпТ;
(b) siip ||Я(А)|| < оо;
ЛеА>Ш1
(c) — lim XR{X)x = х для любого х € X.
А-*оо
При этом, предполагается, что IrnT = X.
Наконец, наиболее общий класс образуют полугруппы операторов класса (R) [51, определение 18.4.1]. Полугруппа операторов Т относится к классу (Е), если условие (7)0 выполнено на некотором плотном в X подпространстве Xq и линейные операторы R{ А), Re А > и)(Т), определен-
j
ные на Xq формулой (1), ограничены на Хо (и следовательно, допускают [49, с. 124) единственное ограниченное расширение на все пространство X).
8
Активное исследование суммируемых в окрестности нуля полугрупп операторов проводилось в Воронежской математической школе. Отмстим статьи Баскакова А.Г. [10], [11], [12], Забрейко П.П. и Зафиевского A.B. [24], [25], [26], Сильченко Ю.Т. [43], [45] и Соболевского П.Е. [48]. Кроме того, отметим статьи Мельниковой И.13., Гладченко A.B. [37], Свиридюка Г.А. [41], Фёдорова В.Е. [50] и монографию Фавини А., Яги А. [72].
В указанных статьях, при исследовании в них полугрупп операторов, существенную роль играл инфинитпезимальный оператор полугруппы операторов Т :
А0 : £>(А0) С X —> X,
D(Aq) = {х Є X : существует lim Т^х—£}5
t—*0-f t
либо замыкание Ао оператора Ао- Оператор Ао, тогда, когда он существует, называется [51, с. 316] ипфинитезимальпым производящим оператором или ипфинитезимальпым генератором полугруппы операторов Т.
Согласно [51, с. 335], если
Т(0) = I и lim T(t)x = х для каждого х Є X, (2)
t—'От
то полугруппа операторов относится к классу (Со). Для полугруппы операторов класса (Со) оператор Ао имеет непустое резольвентное множество р(Ао) С С, а резольвента R(\, Ао) инфинитезимального оператора Ао удовлетворяет известному условию Хилле - Филиппса - Иосиды - Феллера -Миядеры [51], [70]. Однако, если полугруппа операторов не принадлежит классу (Со), то область определения D(A{)) инфинитезимального оператора А0 не плотна в X, и как правило, спектр сг(Ао) оператора А0 заполняет
9
- Київ+380960830922