Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращения

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список основных обозначений ...................................... 3
Введение ..........................................................4
Глава 1. Функционал Милина ...................................... 21
§ 1. Уравнения Левнера..................................... 21
§ 2. Связь между логарифмическими коэффициентами
голоморфной функции .................................. 28
§ 3. Функционал Милина..................................... 38
Глава 2. Опенка коэффициентов на классе Тр(0, М) ................ 46
§ 4. Лемма типа Лебедева-Милина............................ 48
§ 5. Система управляемых дифференциальных уравнений для
логарифмических коэффициентов функции Ф(г, /) ........ 53
§ 6. Экспоненциальные многочлены Бранжа.................... 59
§ 7. Функция В„(0 и се монотонное убывание ................ 69
Глава 3. Об одной системе линейных
дифференциальных уравнений................................ 76
§ 8. Частные случаи решения линейной системы .............. 77
§ 9. Общий случай решения линейной системы ................ 83
Литература....................................................... 97
з
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
С - комплексная плоскость;
$ -класс голоморфных однолистных в единичном круге функций А2) - г + Сг{0 г2 + ... + С„(/)г"+ ;
С,(У) - п-й тейлоровский коэффициент в разложении функции /(г) в окрестности нуля;
а„(/), у„(/) - л-с логарифмические коэффициенты в разложении функции /(2) в окрестности нуля;
^- подкласс класса 5 тех функций, которые отображают {г:\г\<\} на /асимметричные относительно и’о = 0 области;
SP(M) - множество ограниченных функций класса |/(г) \ < М, М > 1;
Тр((), М) - класс голоморфных функций со структурной формулой;
Я' подкласс класса 5 тех функций, которые отображают единичный круг на плоскость <С\{0} с разрезом но обобщенно непрерывной простой жорда-новой кривой, идущей в бесконечность;
k0{z) = ^ | _ „^2 - функция Кебе;
\ п - к
Mnf) = “ Z ~к~ ( 1 - Ar I у*(/) |2) - функционал Милина; к= 1
ЛЛ,(/) = Л/,,+1 (f)-Mn(D - отклонение функционала Милина;
а, b\ z
2 (4М;У
= Z (сУ--/[-гиперболическая функция Гаусса и гипергео-
с’ J j=о
метрический ряд; dy cty p(x)+z dC . ц(т)-ь С
di=Z dz m(t)-z’ rft = “ ^(t) - Ç “ УРаенения ЛевнеРа-
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Функции, которые в различных точках области принимают различные значения, называют однолистными. Первые задачи и методы их решения, которые дали начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного, появились уже в первом десятилетии XX века. П. Кебе в 1907 году доказал теорему о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е={г: \г \ <1} при отображении голоморфными однолистными в Е функциями
/2)-2+С2(/)22+... + С„(/)2Л+....
Совокупность таких функций образует класс 5.
Эта теорема послужила стимулом для исследования многочисленных экстремальных задач геометрической теории функций.
Отсутствие в множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создание новых оригинальных методов исследования экстремальных задач. Метод площадей II.А. Лебедева [29], вариационные методы М.А. Лаврентьева [28], М. Шиффсра [50], Г.М. Голузина [15], метод симметризации И.П. Митюка [33], В.Н. Дубинина [21] и т.д. позволили качественно изменить содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций. В 1923 году Левнер [49], используя теорему Каратсо-дори о сходимости семейства плоских областей к ядру, вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса 5. Эго уравнение легло в основу одного из основных методов исследования в геометрической теории функций - метода параметрических представлений Левиера. Представление конформного отображения одной области на любую, конформно ей изоморфную, через решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка открыло пути для новых
5
способов построения приближенных отображений с оценками погрешностей на границе и внутри области. Метод Левнера, а также методы, предложенные П.П. Куфаревым и H.A. Лебедевым, объединяющие метод вариаций Голузи-на и метод параметрических представлений Левнера, получили важное развитие в работах И.Е. Базилевича, 11.11. Куфарева, И.А. Александрова, А.З. Гриншпана, В.Я. Гутлянского, В.И. Попова и других авторов, и привели к глубоким результатам, которые включают в себя доказательства точных неравенств и указание соответствующих экстремальных функций.
Каждой однолистной функцией класса S определяется последовательность С/= {1, Съ •••> См • •«}, составленная из коэффициентов разложения этой функции в ряд Тейлора. Эта последовательность содержит полную информацию о функции/ € S. Поэтому большой интерес представляет нахождение необходимых и достаточных условий того, что последовательность С является последовательностью некоторой функции класса S.
В 1916 году Л. Бибербахом [471 было доказано, что | C\(f) I <2 для любой функции класса S и одновременно сформулирована гипотеза:
I C„(J) | < п, (л = 3, 4, ...) для любой/е S.
В 1923 году Левнер [49J доказал, что | С3(/) | < 3, для любой /е S, а теорема Литтлвуда [51]: I Cn(J) \ <е ■ п, показала справедливость ожидаемого порядка роста коэффициентов. Началось накопление фактов в пользу высказанной гипотезы.
В 60-е годы в работах H.A. Лебедева и И.М. Милина [30] был разработан аппарат формального экспоненцирования, позволяющий оценивать коэффициенты степенного ряда
00 к 00 *
SAz “exp к= 1 к= 1
б
через коэффициенты ряда £ . И как следствие, было установлено нера-
к= 1
венство
I С„(/) I ä п ■ ехр \-М,,{/)}, (я = 2,3,...),
fl-1 п _ £ 2 2
где М„(/) = X ~~ (1-^ I Ya(/) I ) “ функционал Милина. В 1971 году
к= 1
И.М. Милин [32J пришел к гипотезе, что M„(f) > 0 для любой /е S и любого п eN\ {1}.
Эта гипотеза оказалась гораздо удобнее для исследований, чем гипотеза Бибербаха, что и подтвердил в 1984 году Луи де Пранж [48], доказав ее справедливость и как следствие, получив неравенство I Cn(f) I < п. Таким образом, метод Левнсра позволил решить проблему коэффициентов, волновавшую математиков в течение семидесяти лет, и которой занимались такие видные ученые как Робертсон, Хейман, Дьедонне, И.И. Привалов, К.И. Бабенко и многие другие. История исследований достаточно подробно освещена в работах Фитцджеральда и Поммерснке [45], О.М. Фоменко и Т.В. Кузьминой [46], И.А. Александрова [6], И.А. Александрова и И.М. Милина [9].
Задача о коэффициентах была решена на классе S и некоторых его подклассах. В числе первых, кто начал исследовать методом Левнсра множества значений систем функционалов, был И.Е. Базилевич [12]. Им на классе
SP{M), S\(M) s S(M), была решена задача о множестве { | dpi\ |, I C^+i I }, которая ясно показала, насколько усложняются оценки коэффициентов при переходе от класса S к его подклассу ограниченных функций с /жратной симметрией вращения и дала некоторые объяснения отсутствию гипотезы для SP(M), аналогичной гипотезе Бибербаха для класса S.
7
В настоящее время, задача о коэффициентах, в силу своей нетривиальное™, является традиционным объектом исследования как зарубежных специалистов но теории функций: Карлесона и Джонса [421, Hie Ming-Qin [52J и других, так и отечественных: Ф.Г. Авхадиева [2J, Д.В. Прохорова [36], И.Р. Каюмова [2] и других. Почти любую экстремальную задачу на классе однолистных функций можно свести к некоторой проблеме коэффициентов, так как любая однолистная функция представляется однозначно своим рядом Тейлора или Лорана.
Этим обусловлена актуальность решения подобного рода проблем.
Важное теоретическое значение приобретает задача об исследовании отклонения функционала Милина A„(f) = Mn+](J) - \4n(f) либо при фиксированной функции из класса S,f е S, либо на классе S и его подклассах. И если
ес
последовательность {А/„(/)}* i будет монотонно возрастать для каждой /е S, кроме случая, когда/= к9, где kv- функция Ксбс, то этот факт откроет новые возможности в решении экстремальных задач теории аналитических функций.
В доказательстве, предложенном Бранжем, важную роль выполняет некоторая система п линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям, оказалось монотонно убывающим до нуля на положительной части вещественной оси. Этот факт и позволил Бранжу решить задачу о коэффициентах. Таким образом решение данной системы (на самом деле совокупности систем, так как при фиксированном п е N, возникает конкретная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) при любых заданных начальных условиях и установление необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять начальные значения, чтобы соответствующие интегральные кривые системы были заведомо монотонными, заслуживают особого изучения в рамках метода параметрических представлений средствами математического анализа, дифференциальных уравнений и теории специальных функций.
8
Цель работы. В данной работе, посвященной исследованию геометрических свойств классов аналитических (в том числе и однолистных) функций одного комплексного переменного, основными направлениями являются: вывод леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций, исследование уклонения функционала Милина, получение точных оценок коэффициентов на классе функций более общем, чем ограниченные однолистные в единичном круге функции с симметрией вращения, обобщение теоремы Бранжа, дающей положительный ответ относительно гипотезы Бибер-баха о коэффициентах, общий случай решения некоторой системы дифференциальных уравнений, имеющей важное значение в теореме Бранжа.
Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов математического анализа, теории дифференциальных уравнений, методов геометрической теории функций, аппарата формального экспонснцирования Лебедева-Милина. В работе развиваются метод параметрических представлений Левнера и метод внутренних вариаций Ш иффера-Г олузина.
Научная новизна и практическая значимость. Идейным источником предлагаемой диссертации служат цикл научных работ П.П. Куфарсва, И.А. Александрова, И.М. Милина, H.A. Лебедева, de Branges L. и других ведущих ученых в области теории функций. Принципиальные соображения, изложенные в этой работе, принадлежат профессору И.А. Александрову.
Результаты, представленные в диссертации, кроме введения, § 1 и частично §§ 2, 3, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами.
Основные результаты работы.
I. Получен аналог леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций.