СОДЕРЖАНИЕ
стр
{ВЕДЕНИЕ...........................................................3
.’ЛАВА 1 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ.........................................15
§1. Теоремы сложения и функциональное уравнение
Леви-Чивиты...........................................15
§2. Равномерно-сегментное движение..........................29
§3. Теоремы сложения для векторнозначных и операторнозначных функций.........................................37
§4. Тангенциальные теоремы сложения.........................46
ГЛАВА 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУШ И УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.....................................................62
§5. Предварительные сведения и обозначения..................62
§6. Аппроксимация в С-модулях...............................66
§7. Неизометрические представления и неограниченные функции...............................................74
ГЛАВА 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ .УРАВНЕНИЯ В ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 32
§8. Теорема сложения для обобщенных функций.................32
§9. Обобщение теоремы Березина-Карпелевича..................89
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................98
3
ВВЕДЕНИЕ
Классические функциональные уравнения
( (х+у) = (! (х) + £ (у) (1)
И
{ | (х) { ф (2)
привлекали и привлекают постоянное внимание многих математиков, начиная с работ Коши, установившего, что непрерывные их решения -это, соответственно, линейные функции и экспоненты. Среди направлений, в которых эти результаты обобщались, можно выделить следующие:
1) рассмотрение функций на абстрактных (топологических) группах и полугруппах,
2) рассмотрение измеримых решений с ослаблением условий до выполнимости почти всюду,
3) изучение свойств неизмеримых решений,
4) ограничение области определения или области выполнения соответствующих равенств (в частности, на открытые подмножества в группах),
5) изучение соответствующих неравенств (полуаддитивные функции),
6) векторнозначные решения (сюда относятся, в частности, операторнозначные решения на К + уравнения (2), изучение которых составляет теорию полугрупп операторов, имеющую совершенно необозримый спектр приложений).
Достаточно полный обзор этих направлений содержится в работах Иосида (1), Хилле и Филлипса 12), Голдстейна (3).
4
Сравнительно недавно стали рассматриваться вопросы устойчивости уравнений (1) и (2), т.е. свойства функций, которые, в том или ином смысле "почти" удовлетворяют уравнениям (спрашивается: верно ли, что они "мало" отличаются от решений уравнений?). Первые результаты здесь были получены в 1941 году Хайерсом [41 который, отвечая на вопрос Улама, показал, что непрерывное отображение | X У ( где X . У банаховы пространства), удовлетворяющее условию II \ (х+^) - \ (х) <6 , не
более, чем на б отличается от линейного отображения. Позднее Бейкер 15) доказал, что для непрерывных отображений полугруппы в банахову алгебру условие
ир 11{(ху)-[(х)|(<р|| <“
эквивалентно условию
Шр II ((х) - ^ (эс) II < «
где (| гомоморфизм. Отметим различие в этих результатах: прежде всего, речь в них идет о разных классах функций, кроме того, второй не носит "количественного" характера. Перенести результат Хайерса на произвольные полугруппы, как выяснилось, невозможно 16 1, так же, как и доказать его "бейкеровскую" модификацию (шр \\\(ху)-|(х)-{(у)Ц<оо => бор II {(*)-£(*)Л*:-) даже для скалярнозначных функций. Правильный клаоо полугрупп здесь выделяется условием аменабельности. Основной результат для аменабельных груш (и аменабельных банаховых алгебр, соответственно) был получен Д.Кажданом 17) и Б.Джонсоном 18 1. Наиболее общие результаты можно найти у А.С.Штерна [6,9].
5
Продолжением результатов Коши об уравнении (1) является и теория когомологий топологических груш (см.[10]). В самом деле, решения (1) - это одномерные коциклы стандартного коцегшого комплекса (со скалярными коэффициентами). В частности, известные теоремы Ван Эста МП и Мостова [121 о совпадении гладких, непрерывных и измеримых когомологий, являются прямыми обобщениями результатов о совпадении соответствующих классов аддитивных функций.
Основной целью настоящей работы является изучение решений функциональных уравнений вида
и некоторых боле ; - неиз-
вестные функции на некоторой полугруппе, скалярнозначные или принимающие значения в банаховой алгебре; в последней главе рассматриваются, также, обобщенные функции. Такие уравнения рассмотрены (для абелевых полугрупп) Секелехиди ИЗ] под названием уравнений Леви-Чивиты (см. [15 ],(35], а также [14], где исследуется, как они возникают в краевых задачах для уравнений математической физики); частные случаи уравнения (3) часто изучаются под названием "теорем сложения" (см., например, [16]). Взгляд на (3) как на теорему сложения предполагает характеризацию функций Ф ,
для которых существуют 0.с , 6с такие, что выполняется (3); по существу, однако, принципиальных различий в этих подходах нет.
Несколько слов о связи (3) с (1) и (2). Различие здесь не только в более сложной правой части, но и в числе неизвестных. Таким образом, (1) - это не частный случай (3), а специализация
и
(3)
б
его частного случая
{ (.x+ij) = а (х) Д (у) (4)
если специализацией функционального уравнения называть любое функциональное уравнение, получающееся из него накладыванием дополнительных зависимостей между неизвестными. Так, уравнение
| ( —к) " | (х)1 * (<j)1 (уравнение Лобачевского)
|(xip -{(x)y+3cf(y)-f(*)((y) (уравнение Фенио)
являются специализациями (3).
В случае "уравнения Пексиде" (4) очевидно, что оно эквивалентно своей специализации (1). Для (2) и уравнения |(x+ij) - 0,(x)-()(ip это также справедливо, если функции ска-лярнозначны; в операторной ситуации отличия могут быть значительными (см. §3). Как бы то ни было, явное описание решений общего уравнения сильно облегчает задачу исследования его специализаций ( которая уже сводится к нахождению дополнительных зависимостей между параметрами, входящими в общее решение).
Основным методом, систематически применяемым в работе, является использование понятий и объектов теории представлений; позволяющее выявить геометрический смысл соответствующих аналитических задач.
В особенности полезным такой подход оказался в вопросах устойчивости (глава 2), которые, таким образом, свелись к оценке поперечников инвариантных множеств через расстояние до
7
инвариантных подпространств.
Опишем содержание работы по главам.
В первой главе рассматриваются свойства функций, являющихся решениями уравнений Леви-Чивиты.
Основным результатом первого параграфа является Теорема 1.1, устанавливающая, что решения уравнений Леви Чивиты на полугруппе Ог это в точности матричные функции конечномерных представлений. Для коммутативного случая этот результат был получен в 113]. Его следствием является теорема Леви-Чивиты 1351 о решениях уравнения (3) на & (они являются квазимногочленами). Исследуются такие свойства решений, как ограниченность и непрерывность, и устанавливается их связь с соответствующими свойствами представлений. Здесь же рассматриваются функции, удовлетворяющие уравнениям
[ (яу) = Ь ( а(х), I (у)), (5)
где Ос , $ функции со значениями в ЛТП X , У , а В
непрерывная билинейная форма. (Случай уравнения Леви Чивиты включается в (5): он соответствует конечномерным X , У ). В случае, когда X , У гильбертовы пространства, а & компактная абелева группа, этот класс функций допускает особенно простое описание: он совпадает с алгеброй всех функций, имеющих абсолютно сходящийся ряд Фурье.
Пусть & полугруппа с инволюцией; рассмотрим следующую специализацию уравнения (5) (для гильбертова или эвклидова X = У )
I (у*дс) =(а(£) ,аф) (б)
8
Теорема 1.12 первого параграфа утверждает, что решения (6) это наборы ( | , (Л ), где | (.£) =
Ж ■* -представление (г ,а ^ - его циклический вектор. При
различных выборах *-полугрупп мы получаем описание положительно определенных.или экспоненциально выпуклых функций.
В § 2 приводится одно "механико-геометрическое" приложение теории уравнений Леви-Чивиты: задача о равномерно-сегментном движении. Рассматривается движение по плоской кривой, при котором за равные промежутки времени проходятся сегменты одинаковой площади. Возможность такого движения является внутренним свойством кривой (в отличие от движения с постоянной секториальной скоростью).
Используя результат о непрерывных решениях уравнения Леви-Чивиты на отрезке, удается доказать, что равномерно-сегментное движение возможно лишь по кривым второго порядка (и по прямым).
В § 3 рассматриваются теоремы сложения для функций со значениями в банаховом пространстве. Пусть | Сг 2. (где Z
банахово пространство) удовлетворяет условию
|(яу) *в(а(эс), 8(у)) , (7)
где В) билинейное отображение из X х У в Z Если при этом
с!лги X = с(мп У = И , то будем говорить, что | допускает
теорему сложения длины И Как показывает Теорема 3.1, функция
| допускает Т.С. длины И тогда и только тогда, когда I(эе)= /\ , где К представление 0 в некотором пространстве К ( оСот К ^ И ), ^ 6 К , А линейный оператор из
к в г
Специализацией уравнения (7) является уравнение
- Київ+380960830922