Оглавление
Некоторые используемые обозначения 3
Введение '1
1. Случайные полиномы
по системам функций из Ьр при р> 2 12
1.1. Интегрально-равномерная норхса ............................... 12
1.2. Нижния оценка норм случайных полиномов . . -........... 16
2. Случайные линейные комбинации функций из £1 32
2.1. Оценка сверху................................................. 32
2.2. Нижние оценки норм случайных полиномов по системам функции
из /.,........................................................ 34
2.3. Приложение и нерешенные проблехт............................. 41)
3. Некоторые специальные полиномы 53
3.1. Колмогорове кие поперечники и £-энтролия соболевских классов функций в /,*,..................................................... 53
3.2. Об одной последовательности тригонометрических полиномов . . 56
Литература
63
Некоторые используемые обозначения
Р(/7) — веройТИОС11. события /Л см. |52].
Ef — математическое ожидание случайной величины см. (52] (Е£ := * dP).
0(0 - дисперсия случайной величины 0 см. (52) (0(f) := Е|{|* — (Е()*)-
covi.Ov) := {^(£j “ ковариационная мачрица случайных
векторов С = «i)f и TJ = (jfj)?.
/ = (Ну) • |/(»)| < 1|0(»)| .пя всех п > «о с некоторой константой Л (/, у -вещественные И 111 комп.н-ксные последовательное I II).
Q ж'Н : A\Q[w) ^ W,u') ^ некоторыми не зависящими от пара-
метра гг € И' положительными константами .4,. Аг - для вещественно значных функипп <?. И. он уделенных на некото|юм абстрактном множестве IV. Если И С К. то выполнение соответствующих неравен« • В требуется только “начиная с некоторою места" — для всех и? п0.
П-В. “почти всюду" ИЛИ •‘почти всех“ (за исключением множества нулевой меры п.ш вероятности).
п.н. - “почти наверное“ (за исключением события нулевой вероятное и«).
II/II, := (/„ |Д*)Ж»)) "■ ПРИ 1 ^ /'< х /.,-норма функции / на (IV,р).
II/IU = <*** sup [/{«?)| ;= Inf {.I >0: |/{<е)| < Л ДЛЯ n.B. И*€ И }.
4»€И‘
; /II,,. - интегрально-равномерная норма, см. (1.1) стр. 12.
ll/ll; : СМ. (1.4) стр. 13.
Il/li:,. : см. (1.5) стр. 13.
[г] целая часть вещественного числа г.
log л- - натуральный логарифм вещественного числа .г > 0.
(г, w) скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве.
И := ( E/-I Д™ V = (Cj)f € R f или С*.
Л
Введение
Диссертация посвящена исследованию полиномов (конечных .пшенных комбинации) по общим и специальным функциональным системам. Необходимость исследования свойств |>а:хімчиьіх полиномов возникает при решении многих лада1! анализа и мюрші приближений. Гак, большинство теорем вложения могут быть < формулированы в виде утверждении о поведении ПОЛИНОМОВ с некоторыми эксчрсмальными свойствами, а отсутствие вложения одного нормированною пространства в другое обычно доказывается демонстрацией “количественной" разницы порядков норм в этих лрост|>анства.ч на экстремальных в определенном смысле полиномах. Такие полиномы строятся либо с помощью какой-нибудь специальной конструкции. либо с помощью некоторой процедуры усреднении, показывающей, что “большинство типичных” (^ср^-лпич^ иди “случайных" в определенном смысле) полиномов обладает некоторым свойством, ( гонт отметить. что свойства полиномов отражают не просто различие двух нормированных пространств, а различие целой последова гельности их общих конечномер ных подпространств полиномов порядка не выше и. Поэтому у гиерждение о повелении норм полиномов содержи і значительно болыне информации в сравнении с результатом о том, что одно нормированное пространство не вклады вагтея в другеи*.
Внесем некоторую ясность в терминологию. Пусть {/. }П=] некоторая ей стема функций па пространстве с мерой (Л',я). Мы будем называть случайным полиномом по системе {/,}'{ или полиномом ю случайными коэффициентами линейную комбинацию следующего вида:
п
х) := (I)
1=1
где "случайные ы».ирфиинентьГ {^»}!‘=і — набор независимых случайных ве личин на вероятностнохс пространстве (П. Р), а “неслучайные ко:*|м|»ициеиты * {«,}*_, - набор комплексных чисел. Нас буду і интерсч онать своїй тна случай-
ной величины ||/ч,(*ь*)|/ідл'.#і)» где /| -\\і — норма в некотором пространстве функций /. на (.V,//).
О \ним из классических результатов. позволяющих. в частности, и< следовать свойства случайных полиномов (1). является неравенство Хннчина. Приведем его в следующей <)юрме:
I
Теорема, (Неравенство Хинчнна (Млрцннкевича Нгми-Зиг.мунда))1 J.t* любого I ^ р < эс сущ1стьуют константы Лл н Вг > 0 i/голшг. что Лиг
/Г//0«360ЛЬ«0/О «ООО/т KCJ(Je>UCU.HW£ 664U40W {£} пшъих, что Еt’f = О
и Е;(,|р < «х». спраби)лиьы троьемепма:
•и( Е к.1'Г < Е1 Е*Г « *^( Е к.!'Г- <-’>
I I 4
/*ол«. л: тому же. Е|^,|2 = I. Е|(,-|* < М и р > 2. то
(Еи,)'"«0*!1>ь| (31
I I
Лиг 6С1? кодшлбхгнш код^ицаемшоо {е,}* г некоторой к&нстантой С^м > II. Г помощью неравенства Хннчкна нетрудно покапать, что
Е|| £ >чИ,'‘']|р = ^ 52 | Е ***'*11.ж ^ 1 *р < х
!♦_„ “ по «>:<« *=-«
Л ,‘ .М»»н «А*±1 ^ 4
где = ь!>;п «1и| 2ттА'^-) — функции Радсмахера.2 ~ 6 [ОЛ]- В то же время для случая р = со Р. Салемом и Д. Зигмундом [Щ в 1951 г. было доказано, что
94
ЕII53п ^ **к* 11«ж V"' 1ов«■■ и)
Этот факт показывает качественное различие вложении пространства тригонометрических полиномов порядка не выше п в ио п » Ьр при /» < ос.
Прнвсдгнныс В1.ННР оценки целесообразно сравни гь со свонггвамн тригонометрических полиномов специального вила. Гак. зля ядер Дирихле
0.М = 5 Ё ■
к=—п
имеет место ||/?л||| х 1о$;л и 2||/)*||со « я + I. и то время как для "типичного" тригонометрического полинома с 1«*х|к|жциентамн ±1 имеет место II £1,. ±<?Г‘Ц. х у/о и 1(2-1» ±^11» х \/п Ьй п* что показывает специфичность
ядер Ди[)пхдм■ в пространствах !.х к /.... Лругнм примером тригонометрических ПОЛИНОМОВ с экстремальных!!! СВОЙСТВАМИ ЯВЛЯЮТСЯ полиномы Рудина Шапиро, это полиномы вида
п
/?п(;с) = ^ 0*г,Аиг. со свойством ||/^.||х х \/т7.
Ьш-п
‘Неравенств« (2) в частном случае независимых бернуллиеш ких случайных величин было оодученс А Я. Xubhiiiium (48] в 1У23 г. и ikxiac усил'И'» а (24]. Нгрльексшо (3) билонидеденп и\ IV) Пэяп и Зигмундом [33] в 1030 г. Неравенство <2\ в случае произвольных случайных величии было подучено Марппикевичгм пИт мундом [27] ь 193“ г. {си. глкас (17] тсо|Ь 2.(i п 2.7 иди (49} тгор. 1(1.2).
?Мли. если читатель предпочитает вероятностную термннолшию. {rt. | — произвольным набор независимых берну.ылсвских случайных величин, принимающих значение ±1 с верояч ногтями 1/2.
где 0* = ±1 — некоторая специальным образом выбранная последовательность знаков (см. [I7j. тгор. 4.11). Таким образом, полиномы Рудник Ш л паро являют-ся экстремальными в классе тригонометрических полиномов с кооффнцнента-МІІ ±1 В смысле малости (по порядку) ИХ || • ||со-нормы.
К настоящему моменту подучен ряд опенок равномерном нормы случайных полиномов внд&(1 > с различными ограничениями на и {/і}". Отметим, что вто время как оценки сверху давно нашли разнообразные приложения в анализе н теории вероятностен» приложения соответствующих Оценок снизу не столь многочисленны. Однако, доказательство именно нижних оценок обычно наиболее трудоемко н требует использования специфических свойств систем {/,} и (f,}- В доказательстве верхних оценок условия на систему {/,) обычно существенно слабее. Гик. часто, если для математического ожидания нормы полинома вида <1) по системе {/Л? выполнена некоторая верхняя опенка, то она имеет место и в том случае, если мы залісним в выражении (1) функции /, на их абсолютные величины |/,(. Для доказательства верхних оценок часто бывает достаточно несложной процедуры усреднения (см. доказательство верхней оценки в (іазделе 2.1). В качестве примера прогині и полезной оценки сверху приведем следующий хорошо известный |н*зультаі
Теорема, (см. [15], гл. VI, теор. 1) Пус ть существует константа р > 0 гжт-К(іл. что для каждого полиномег по сне теме функций {/,} С £o©(-V./i) {fiX = \) Или СЮ мню о:
/i{x€-V :| ^гі/іИІ > ^|| 5Z<v/. IL} £ Х-.
Пусть также ниаьпсимыс случайные величины (ч«}* являются субг-ауссооскы-ми,л m.t. для любого і = выполнено
у
Еехр(Л&) ^ ех1)("г) *Н9а 6(1 * “ 00 < ^ < 00 *
Тогда для любого у. >2 имеет .utсто неравенство
p{llEf'/‘IL > ч’Е.и.&ы-ь*))'*} « \
Следствием этой теоремы является следующая полезная Теорема, (гм. [15], гл. VI. теор. 3) Пусть { А) усомплексные трнгонометри-чсскис полиномы d переменных порядка не ыяте X. и {£*} — набор ксэяб*1Г<млы.г субгауссооскн і о сличай и е/ > 0. тогда инеем
p{i'i ЕW*L ÿ (V'(Е «АН-'«# ' )' 1 «
А к
где > 0 — некоторая постоянная, и. следовательно, или множество индексов А С {-".V V}*, то
ец Е < гс"‘А Е i”*i,k* v)‘“- <5>
АСА АхД
3Субгациолостъ величин 4, здесь, по большому счету, не важна. Для выполнения теоремы (в со можно с другими ко нет а игами) н\жво. чтобы "хвати’* ржацюдслений всех линейных комбинации £/*,it убывали достаточно быстро, чтообегисчпваеття. например, вьлкдл пением № ноненциалыюй оценки типа (2.1) (см. раздел 2.1). Заметим, что и стандартные нормальны** случайны* величины, и функции Рлдемахера являются субгауссовскимп.
6
- Київ+380960830922