Оглавление
Введение 3
1 Фреймы в гильбертовых пространствах 20
1.1 Определения и основные свойства фреймов.....................20
1.2 Фреймы и связаные с ними операторы..........................27
1.3 Фреймовый потенциал.........................................36
1.4 Равноугольные фреймы........................................39
2 Классы простых и составных фреймов Парсеваля в пространствах произвольной размерности 51
2.1 Основные свойства простых и составных фреймов Парсеваля . . 51
2.2 Взвешенное фреймовое объединение фреймов Парсеваля .... 65
2.3 Представление составных фреймов Парсеваля...................71
2.4 Конструкции простых фреймов Парсеваля.......................77
3 Простые фреймы Парсеваля в конечномерных пространствах 87
3.1 Критерии простоты фреймов Парсеваля.........................87
3.2 Достаточные условия простоты фреймов Парсеваля..............92
3.3 Топологические свойства простых фреймов Парсеваля ..........96
Литература 100
2
Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов — линейно-зависимых полных систем векторов.
Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [51], посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвящённых фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, A. Grossmann, Y. Meyer, C. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться [1,3,7,31,56]. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвящённых фреймам.
Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления разного рода шумов, в квантовой механике [7,13,66]. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или зашумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов иод названием Compressed Sensing [52]. Нетриви-альиость ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы
3
полностью, если они целиком попадают в это ядро.
Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании [57). При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности [50]. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности — операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.
Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной [36,47,48]. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.
Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фрей мов [37]. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные варианты [41,43], связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.
Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля иод действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бес-
4
конечномерных пространствах; поиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:
1. Введены и описаны классы простых и составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.
2. Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов. При этом для конечных фреймов метод являегся универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.
3. Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.
4. Доказана ограниченность числа векторов простых конечных фреймов Парсеваля в ^.
5. Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.
6. Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.
7. Описаны топологические и проекционные свойства множества простых фреймов в •
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для построения жёстких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.
5
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинаре кафедры высшей математики Санкт-Перебургского государственного университета; на второй международной конференции «Математическая физика и её приложения» в г. Самара, 2010 г.; на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеж, 2011 г.; на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции, 2011 г.; на конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Самара, 2011 г.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.; на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2012 г.; на международной конференции "Wavelets and Application^1 в г. Санкт-Петербург, 2012 г.
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [14-26,62-64]. Из совместной работы [62] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи [15,21,26,62] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.
Содержание диссертации. Во введении описана краткая история возникновения проблемы данного исследования, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, его связь с прикладными задачами. Далее формулируется ряд качественных вопросов, которые изучаются в данной работе, и ответы на которые приводятся в исследовании.
В первой главе рассматривается общая теория фреймов в сепарабельных гильбертовых пространствах над вещественным полем, специфические свойства конечномерных фреймов, описываются основные свойства фреймового потенциала и его значение в характеризации жёстких фреймов, исследуется класс равноугольных фреймов.
6
Пусть И — полное сепарабельное пространство, наделённое скалярным произведением (*, •) и согласованной нормой ||т|| = у/(х,х), а X — конечное или бесконечное множество индексов. В силу изоморфизма сепарабельных гильбертовых пространств, не ограничивая общность, можно рассматривать исключительно пространства и ^2*
Определение 1.5. Набор элементов F = {fi}iei пространства Н называется фреймом, если существуют константы Л, В > 0 такие, что для всех х из Н выполнено двойное неравенство
aimi2<;d<*,/oi2<bm2.
tel
Числа А и В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Они определяются неоднозначно, так как верхнюю границу В можно увеличивать, а нижнюю границу А — уменьшать. Поэтому инфинум множества всех верхних границ называют оптимальной верхней границей фрейма, а супремум множества всех нижних границ — оптимальной нижней границей фрейма.
Укажем некоторые специальные классы фреймов.
Определение 1.6. Фрейм F = {/г}1€х называется равномерным, если существует константа b > 0 такая, что Vz € X верно ||/;|| = Ь.
Определение 1.7. Фрейм F = {fi}iei называется нормированным, если \fi € X верно Ц/,11 = 1.
Определение 1.8. Фрейм F = {/i}ter называется ограниченным, если существует константа Ô > 0 такая, что Vг € X верно ||/f|| > 6.
Определение 1.9. Назовём фрейм F = {fi}iex э/сёстким, если можно выбрать границы фреймы так, что А = В, при этом
Vx 6 н, £|<х,/{)12 = .4Ы12-
tel
Для жёстких фреймов точное значение А называют фреймовой границей. Особый интерес представляет случай А = 1.
7
Определение 1.10. Назовём фрейм F = {/*■},*ег фреймом Парсеваля, если
чхеч, Х)К*»Л>12 = Н*11а-
ІЄІ
Множество фреймов Парсеваля в пространстве?? будем обозначать VT(H), а подмножество ограниченных фреймов Парсеваля
Рассмотрим произвольный фрейм F = {/і}ієХ в пространстве Ті. Введём операторы синтеза, анализа и фреймовый оператор.
Определение 1.12. Будем называть оператором синтеза фрейма F линейное отобрао/сение следующего вида
Т : £j(Z) >-> Н, T{d}ieI = fi-
ієТ
Определение 1.13. Сопряжённый кТ оператор будем называть оператором анализа
Г:Н^е2{1), Г® = {(*,/,)}* і.
Оператор Т является ограниченной сюръекцией, а Т* — является инъекцией.
Определение 1.14. Композиция оператора синтеза Т с оператором анализа Т* даёт фреймовый оператор
А/
5 : 7* н+ «, Sx = TT'x = £{*, /<)/,.
І—1
Оператор синтеза фрейма F будем обозначать Т — synthesis (F). Укажем основные свойства фреймового оператора.
Теорема 1.2. Пусть F = {/і}і€х ~ фрейм в пространстве Ті с фреймовым оператором S. Тогда справедливы следующие утверждения:
1. Оператор S обратим и является самосопряэ/сённым.
2. Любой вектор х Є Н может быть представлен в виде
iel i€Z
8
- Київ+380960830922