СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...............................................3
ГЛАВА I. Смешанные ряды по полиномам Лагерра 26
1.1 Основные свойства полиномов Лагерра...............26
1.2 Дальнейшие свойства полиномов Лагерра.............28
1.3 О рядах Фурье-Лагерра.............................33
1.4 Смешанные ряды по полиномам Лагерра...............41
1.5 Операторы Дп+Г(/).................................48
1.6 Операторы ££+г(/) и классы IV^ ^ а+ш_г)...........51
1.7 Смешанные ряды в случае а = 0.....................54
ГЛАВА II. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лагерра С^г(х)..............................56
2.1 Введение..........................................56
2.2 Вспомогательные результаты........................57
2.3 Аппроксимативные свойства операторов £?1+г(/)
на классах И/ГГ(0, оо)................................62
2.3.1 Оценка функции Лебега Ць(х) на С?1.............65
2.3.2 Оценка функции Лебега 1гп{х) на ................71
2.3.3 Оценка функции Лебега 1гп(х) на (?з.............79
2.3.4 Оценка функции Лебега 1гп{х) на ...............101
2.4 Оценка снизу функции Лебега 1тп{х) при х = 0......102
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ....................................108
2
ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы.
В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномам; при решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название пСмешанные ряды’1, следуя работам ШарапудиноваИ.И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Ь^(х) при а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.
з
В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Ла-герра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.
Объект исследования.
В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0;оо), изучаются их частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х £ [0; оо).
Цель работы.
1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0; оо) и изучить их свойства.
2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.
3) Получить оценку функции Лебега 1гп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра.
Общие методы исследования.
В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна.
Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0;оо), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.
Практическая ценность.
4
Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, связанных с применением ортогональных многочленов; при исследовании смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Апробирование работы.
Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003-2007 гг.);
- на Саратовской зимней математической школе (2008 г.);
- в Дагестанском Научном Центре (2008 г.);
- на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2010 г.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, одна из которых [21] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.
В диссертации рассмотрены некоторые вопросы исследования аппроксимативных свойств анешаиных рядов по классическим полиномам Лагерра. Остановимся сначала на некоторых проблемах, возникающих в связи с применением метода рядов Фурье но выбранной ортонормированной системе (примером может слу-
жит система ортоиормированных полиномов Лагерра) для приближенного решения дифференциальных уравнений. Для определенности рассмотрим дифференциальное уравнение вида
р(х, у, у',... ■у{г~1)) = 0- (1)
Предположим, что его решение у = /(;х) ищется в виде ряда
ОС
/(ж) = £ СкМх), (2)
А-=0
по выбранной ортонормированной системе {</?/с(я)}ь^о> состоящей из достаточно гладких функций <Рк(х). Если все ряды вида.
/М(х) = Е ск<Рк\х) (0 < V < г - 1) (3)
А*=0
сходятся, то из (1) мы находим
(°° 00 00 /_ 1 \ \ ж, Е скч>к{х\ Е ск<рк(х),Е Ск<Рк лх) = (4)
А:=0 к=0 к=0 /
Численные методы решения уравнения (4) относительно неизвестных коэффициентов Ск позволяют найти приближенные значения лишь конечного числа с&(к = 0,1,..., .V). Поэтому вместо точных равенств (3) мы будем иметь приближенные равенства
/^(гг) « £ ск<р%\х) = х) (0 < V < г - 1), (5)
к=О
соответственно, вместо точного равенства (4) мы будем иметь приближенное равенство
6
Выбрав А7 достаточно большим, мы можем добиться требуемой точности в приближенных равенствах (5) и (6) и тогда частичную сумму 5дг(/, х) = й'дг (/, х) можно взять в качестве приближенного решения (с требуемой точностью) уравнения (1). Однако, может случиться так, что некоторые из рядов (3) сходятся очень медленно (чаще всего это характерно для рядов (3), соответствующих случаю V > 1 ) и тогда для достижения удовлетворительной точности в приближенных равенствах (5) и (6) потребуется взять N черезмерпо большим. Это создает целый ряд неудобств, связанных с практическим использованием (хранением, численной реализацией и другими) разложений в (5). Естественно возникает задача о замене ,|длинных,,разложений в (5) существенно более "короткими"’, но без существенной потерии точности приближенных равенств (5). Такая ситуация является типичной, например, в задачах, в которых в качестве ортоиор-мированной системы {^(^)}й=о берется одна из систем классических ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Якоби, Лагерра или их дискретных аналогов.
Хорошо известно, что аппроксимативные свойства разложений по полиномам Лагерра существенно зависят от асимптотических свойств самих ортогональных полиномов. Поскольку при росте степеней ортонормированных полиномов Лагерра их производные неограниченно (и достаточно быстро) растут вблизи точки О, то, как следствие, существенно ухудшаются аппроксимативные свойства разложений по этим полиномам. В частности, это существенно ограничивает возможности применения рядов Фурье по полиномам Лагерра в задаче одновременного приближения исходной функции и ее производных. Кроме быстрого роста вблизи точки 0, отметим еще одно свойство полиномов Лагерра, из-за
7
которого суммы Фурье-Лагерра плохо проявляют себя в задаче одновременного приближения дифференцируемой функции и ее производных. Речь идет об асимптотическом поведении нулей полинома Лагерра, когда его степень становится большим. Дело в том, что как хорошо известно, нули полинома Лагерра сильно сгущаются около точки 0 когда его степень растет и. следовательно, сам полином Лагерра быстро колеблется вблизи точки 0. Это обстоятельство неизбежно вызывает резкие колебания частичной- суммы. Фурье-Лагерра вблизи точки 0 и ,как следствие, производная суммы Фурье-Лагерра, функции / плохо аппроксимирует производную самой функции /, даже, если она обладает высокой гладкостью. Фраза "плохо аппроксимирует производную "означает, что для достижения удовлетворительной точности приближения производной функции / посредством производной тг-той частичной суммы Фурье-Лагерра, число п" (порядок частичной суммы) приходится брать слишком большим.* И все же, применение рядов Фурье по полиномам Лагерра для решения целого ряда типов дифференциальных и интегральных уравнений является естественным. Это объясняется тем, что часто удается найти простые алгоритмы для нахождения коэффициентов Фурье-Лагерра неизвестной функции (решения уравнения). В этом случае возникает идея решать такие задачи в два этапа. На первом этапе решается исходное уравнение методом рядов-Фурье и находят достаточное число коэффициентов Фурье-Лагерра для искомого решения уравнения; Если при этом потребовалось привлечь слишком большое число этих коэффициентов, то на втором этапе решается задача "сжатия "вектора, составленного из них. Решить эту задачу простым "отбрасыванием "некоторых из них не удается. Требуется осуществить, более глубокие пре-
8
образования, учитывающие информацию о дифференциальных свойства искомого решения, содержащуюся во всех найденных коэффициентах. Одна из целей настоящей работы заключается в том, чтобы осуществить подобные преобразования "длинных" частичных сумм Фурье-Лагерра.
Детальный анализ причин, из-за которых возникают указанные выше недостатки рядов Фурье по ортогональным полиномам привели нас к построению смешанных рядов по полиномам Лагерра, имеющих столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые (смешанные) ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра 1%(х) при а = 0 обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач.
Теперь перейдем к более подробному описанию содержания диссертации. Она состоит из настоящего введения и двух глав.
В главе 1 приведены условия сходимости смешанных рядов но полиномам Лагерра п их аппроксимативные свойства, полученные ранее [45] и необходимые для наших дальнейших исследований. Теоремы, приведенные в главе 1, показывают, что в ряде важных задач приближения функций смешанные ряды по полиномам Лагерра обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.
9
I
- Київ+380960830922