Оглавление
Введение Л
1 Адаптационные алгоритмы решения операторных уравнений 19
1.1 Об операторах проектирования, зависящих от параметра . 19
1.2 Сходимость алгоритмов адаптации для операторных уравнений ..................................................... 22
1.2.1 Постановка задачи.............................. 22
1.2.2 Общая формулировка алгоритма адаптации. Теорема сходимости ......................................... 24
2 Галёркинскис проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задач в случае симметричного оператора 27
2.1 Постановка задачи.................................... 28
2.2 Формулировка основных результатов ....................... 29
2.2.1 Численный метод решения задачи................. 29
2.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя............................ 30
2.3 Галёркинский проектор................................ 32
2.4 Построение биортогональных функционалов.............. 33
2.4.1 Построение локальных функционалов на отрезке |-а.а] 33
2.4.2 Построение локальных функционалов в пограничных слоях............................................ 36
2.4.3 Продолжение локальных функционалов на [—1,1] . 42
<
1
2.4.4 Обеспечение выполнения условия биортогональности 41
2.5 Доказательства и вспомогательные результаты........... 46
2.5.1 Квазиоптимальность галёркинского проектора ... 46
2.5.2 Обоснование сходимости алгоритма I адаптации сетки параграфа 2.2.2................................. 53
2.5.3 Доказательства вспомогательных результатов . . . 55
2.6 Результаты численного эксперимента.................. 60
3 Галёркинские проекторы и сходимость алгоритмов адаптации для сингулярно возмущенных задал в случае несимметричного оператора 62
3.1 Постановка задачи..................................... 63
3.2 Формулировка основных результатов ...................... 64
3.2.1 Численный метод решения задачи.................. 64
3.2.2 Алгоритм адаптации сеток в случае неизвестной границы пограничного слоя............................. 65
3.3 Галёркннский проектор................................. 67
3.3.1 Некоторые свойства галёркинских проекторов ... 69
3.4 Доказательства и вспомогательные результаты........... 72
3.4.1 Некоторые свойства решения и функции Грина . . 74
3.4.2 Построение биортогональиого базиса. Доказательство квазиоптимальности метода Галёркина.............. 77
3.4.3 Обоснование сходимости алгоритма адаптации I параграфа 3.2.2.........................................103
3.5 Результаты численного эксперимента................. 106
Заключение 107
Список литературы 108
2
Некоторые обозначения и сокращения, принятые в диссертационной работе:
N - множество натуральных чисел R - множество вещественных чисел supp - носитель функции е - малый положительный параметр
С, С\, Со, ... - положительные постоянные, не зависящие от е и расчетной сетки
СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений л.н.п. - линейное нормированное пространство м.к.э. - метод конечных элементов
5(Л, 1,1) - пространство линейных сплайнов дефекта 1, определенных на разбиении А расчетной области [z] - целая часть вещественного числа г (... )Т _ 0Перация транспонирования
f(x) = 0(д(х)) - означает выполнение условия \f(x)\ < С\д(х)\
/(*•) = 0*(у(х)) - означает выполнение условия Ci\f(x)\ < \д(х)\ <
Сг\т\
< и,ф > - обозначает действие линейного функционала ф на л.н.п X: ф(и) —< и, Ф >
(,) - скалярное произведение в L2[a, 6j.
Мг - спектральная норма квадратной матрицы А, ЦАЦ2 = у/Ьпш*(ААТ)
ЦАЦоо - норма матрицы, согласованная с ||.|)оо - нормой вектора, к
ІИІІОО = max £ Ы г 3=1
||/l||i - норма матрицы, согласованная с 1\— нормой вектора, ІИІІ1 = тах£1яу1
3 2 = 1
||.|| - норма в С[а, Ь]
3
Введение
В основе решения многих классов задач теории’ операторов, прикладного функционального анализа, теории аппроксимаций лежат свойства операторов проектирования (проекторов), рассматриваемых в качестве операторов, действующих в банаховых пространствах.
В теории приближений - это исследование норм операторов ортогонального проектирования на различные пространства приближающих функций (пространства алгебраических и тригонометрических полиномов). К этому сводятся в частности вопросы поточечной сходимости рядов Фурье, сходимости интерполяционных процессов, наилучших средних квадратичных приближений, метод наименьших квадратов, сходимость и устойчивость метода Галеркина, построение безусловных базисов в различных функциональных пространствах (банаховых пространствах) и т.п.
В частности, расходимость рядов Фурье п интерполяционных процессов но различным системам функций обусловлена неограниченностью совокупности норм проекторов на линейные оболочки базисных функций в соответствующих нормированных пространствах.
Из курса функционального анализа хорошо известно следующее утверждение
Теорема (Банаха-Штейнгауза)
Пусть F - произвольное банахово пространство. Рп : Р —> Р - последовательность непрерывных операторов (не обязательно проекторов). Для того, чтобы последовательность функции Рп / была сходящейся для всех / е необходимо и достаточно выполнение двух условий:
(1) 8ирп||Р„|| < оо;
(2) Рп / сходится при п —> оо на некотором подмножестве Р. всюду плотном в Р.
Эта теорема, фактически, сводит изучение процессов аппроксимаций к доказательству ограниченности норм семейства илтерполяциоп-
4
ных и ортогональных проекторов на соответствующие пространства приближающих функций. Таким образом, рассмотрение операторов проектирования и применение теоремы Банаха-Штейнгауза лежат в основе математической теории обоснования сходимости интерполяционных процессов.
Можно сказать, что вопрос о сходимости интерполяционных сплайнов к непрерывной функции эквивалентен вопросу об ограниченности последовательности операторов проектирования.
Итак, получение оценок норм проекторов имеет огромное значение при обосновании численных методов, при решении задач теории приближений и ряда прикладных задач В ряде случаев эти оценки были установлены.
Например, для проекторов на пространства тригонометрических и алгебраических полиномов доказано, что нормы проекторов растут как логарифм с ростом степени полинома п [51].
||.Рп||с-.с > с1пп
В приложениях наибольший интерес имеет вопрос поточечной сходимости рядов Фурье, а из последней оценки вытекает, например, тот факт, что для любой точки существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится в этой точке
Широкое распространение в последнее время приобрели силайн-функции. 11о сравнению с классическим аппаратом приближения многочленами сплайн-функции обладают по крайней мере двумя важными преимуществами, во-первых, бесспорно, лучшими аппроксимативными свойствами на классах функций, имеющих зоны быстрого и медленного изменений, или функций с особенностями, во-вторых, удобством реализации построенных на их основе алгоритмов для ЭВМ. В связи с чем представляет интерес изучение п получение оценок норм операторов ортогонального и интерполяционного проектирования на пространства сплайнов.
Один из наиболее ярких и известных примеров, иллюстрирующий описанный подход - это проблема де Вора. Так при изучении процессов
интерполирования сплайн-функциями К. де Бор [56] рассматривал операторы ортогонального в проектирования пространства непре-
рывных функций на пространство сплайнов:
Р$: / € С[а, 6] —> Psf £ S(A,m,k)
В 1975 г. им было сделано предположение, что нормы операторов \\Р,\\с^с ограничены при любом расположении узлов сетки. Проблема доказательства этой гипотезы получила название проблемы де Бора, еще известная как проблема об ограниченности констант Лебега.
В 2001 г. это предположение было доказано АЛО. Шадриным [51].
Н.Л. Зматраковым [40, 42, 43] и А.Ю.Шадриным [53, 54| были получены оценки норм семейств интерполяционных и ортогональных проекторов на пространства сплайнов в операторной норме пространства непрерывных функций.
Для интерполяционных проекторов на пространства сплайнов этими вопросами занимался С.Б. Стечкин с учениками [39]. В частности,
Н.Л. Зматраковым [42, 43] были получены условия, близкие к необходимым и достаточным, для ограниченности интерполяционных проекторов и, соответственно, сходимости процессов интерполирования. Им было установлено, что нормы интерполяционных проекторов ограничены далеко не всегда, а лишь при некотором условии на разбиение области, а именно, был введен показатель локальной равномерности сетки и установлена точная оценка этого показателя
/5Д = max ^ < (3 + v5)/2,
||Qn||c—*С < const.
На основе результатов А.Ю. Шадрина Ю.С. Волковым были получены оценки погрешности интерполяции сплайнами высоких степеней и доказана сходимость соответствующих интерполяционных процессов.
Оценки погрешности приближенных решений интерполяционных методов также сводятся к оценкам норм проекторов. Этим вопросам посвящены, например, работы А.Ю. Шадрина [53], Ю.С. Волкова
6
[57, 58, 59), Н.Л. Зматракова [40, 42, 43), Ю.Н. Субботина [44], В.Л. Мирошниченко |38, 41). Получение оценок норм семейства проекторов проводится посредством изучения свойств матриц Грама и коллокаци-. онных матриц в некоторых базисах пространства сплайнов (линейных В-сплайнов), а также оценок норм обратных к ним матриц [59].
Ограниченность в совокупности норм ортопроскторов на линейную оболочку вейвлет-функций в различных операторных нормах была по: ложепа в основу обоснования сходимости процессов аппроксимаций и построения безусловных базисов в различных функциональных пространствах [47), [48). Условия существование безусловных базисов в некоторых гильбертовых пространствах формулируются в терминах интерполяции линейных операторов и сводя гея к рассмотрению свойств семейства интерполяционных проекторов между двумя гильбертовыми пространствами (см., например, [49]). Ограниченность норм семейства проекторов обеспечивает существование безусловного базиса, в образе оператора проектирования.
И наконец, перейдем к рассмотрению галёркииских проекторов.
В 70-е годы прошлого века Ф. Наттерером, Дж. Нитше и Р.Скоттом |45|, [46] был предложен аппарат доказа тельства сходимости метода Галёрки-на, основанный на построении и изучении свойств операторов проектирования. Эти операторы решение рассматриваемой задачи проектирую'!' на пространство решений, построенных методом Галёркииа. В связи с. чем Ф.Наттерером был введен термин галеркинский проектор.
В дальнейшем оказалось, что предложенный ими подход является мощным аппаратом при теоретическом исследовании задач вычислительной математики. Ограниченность норм семейств галёркииских проекторов является базой для обоснования сходимости и устойчивости метода Галёркииа, Галёркина-Петрова, Ритца, метода коллокации; схемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т.д.
Метод галёркииских проекций в России разрабатывался В В. Стры-гиным [32, 33, 34, 35, 36, 37| и И.А. Блатовым [24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. Отметим также, что теория проекционных методов решения оператор-
7
пых уравнений активно развивалась в трудах воронежской математической школы, здесь в первую очередь нужно обратить внимание на работы М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко и их учеников [60, 611.
Вместе с тем остается много нерешенных, важных в теоретическом н прикладном смысле, классов задач. Во-первых, это обоснование сходимости и устойчивости метода Галёркина для класса сингулярно возмущенных краевых задач, т.е. получение оценок норм соответствующих галёркинских проекторов. Во-вторых, это вопросы строгого математического обоснования сходимости подвижных адаптивных сегок при решения указанного класса краевых задач.
Состояние вопроса в рассматриваемой области характеризуется сле-дуюіцими основными достижениями.
Дж. Нитше, Ф. Наттерером рассматривались нежесткие задачи и доказательства ограниченности норм операторов проектирования сводились к изучению свойств проекторов для "главной части" дифференциального оператора, которая, фактически, представляет собой старшую производную с соответствующими краевыми условиями, либо эллиптический оператор в случае уравнений в частных производных. В этом случае соответствующий галёркинский проектор, как правило, оказывался просто ортогональным или интерполяционным проектором на пространства сплайнов.
Для сингулярно возмущенных задач эти результаты и методы не применимы по ряду причин. Во-первых, ввиду сильной неравномерности расчетной сетки. И, во-вторых, ввиду невозможности выделить простую главную часть оператора задачи, поскольку старшая производная "давится" малым параметром е.
Рассматриваемые для этого класса задач проекторы не являются ортогональными в 1^{а, 6] или интерполяционными, что усложняет их изучение. В связи с этим Благовым И.А., Стрыгиным В.В. [24| был предложен метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на построении двойственного (биортогонального) базиса в тестовом пространстве. Представление галёркинского проектора через базис Б—сплайнов и биортотональный к нему базис тестового пространства позволяет до-
8
- Київ+380960830922