Оглавление
Введение........................................................З
Глава 1. Разложение по системе сдвигов В-сплайна...............21
Глава 2. Оценка погрешности приближения........................31
Глава 3. Свойства оператора Т\ в Ьг............................43
Глава 4. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций ... 55
Литература.....................................................64
3
Введение
Тема диссертации находится на стыке двух областей математики, активно развивавшихся во второй половине XX века. С одной стороны, основной базой работы служит аппарат сплайн-функций, в особенности 5-сплайнов. Главным объектом исследо»?ания является линейный оператор, представляющий собой линейную комбинацию сдвигов одного фиксированного сплайна. Этот порождающий сплайн, как правило, является 5-сплайном с компактным носителем, система сдвигов которого является базисом некоторого пространства, сплайнов. Последнее обстоятельство роднит тему диссертации с другой областью, весьма популярной в последние десятилетия, — теорией всплесков (иначе называемых вэйвле-тами), в которой, как правило, рассматриваются обладающие свойством базисности системы сдвигов и сжатий одной фиксированной функции. Всплески имеют весьма значительный практический интерес, например, в обработке сигналов и изображений. Теория всплесков достаточно полно изложена таких монографиях, как [1]—[4). Поскольку диссертация не напрямую связана со всплескам, детально вдаваться в эту область не будем, а приведём лишь одно определение, взятое из [2, с. 96].
Определение 1. Система, элементов гильбертова пространства
навивается фреймом, если существуют такие поло'жителъпые числа А и В, что для всех элементов / гильбертова пространства выполняются неравенства
ЛЦ/Н2 ^£|(/-Л)12<в||/|!2.
к
Наибольшее из возможных чисел Л и наименьшее из возможных чисел В называются соответственно нижней и верхней границей фрейма.
Теории сплайнов посвящён ряд монографий, как отечественных, так и зарубежных (см., например, |5)—(9|). Перечислим некоторые определения и теоремы, касающиеся сплайнов, которые потребуются в дальнейшем, следуя в основном книге [5].
Через I будем обозначать конечный промежуток [а, 6] или всю действительную ось Е. Пусть задано разбиение X промежутка /
X: а = Яо < Х\ < ... < хн = 6, если / = [а, Ь]:
X: ... < х-1 < х0 < х\ < ... < хх < тдг+1 < ..., если I = К.
Для целого /с ^ 0 через Ск{1) обозначим множество к раз непрерывно дифференцируемых на 1 функций, а через С~1(1) — множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода в точках сетки.
4
Определение 2. ([5, с. 15]) Функция 8п^(х) называется сплайном степени п ^ 0 дефекта и (и — целое число, 0 ^ V ^ ть-\-1) с узлами па сетке X, если
а) па каждом отрезке [а:,-, Хм-г] функция 8п>и(х) является многочленом степени не выше п, т. е.
п
ЗпЛх) = У"Х-(х - *0-* для х е [ж{)ж*+1],
3=0
I = 0,..., N — 1 для I = [а. Ь], i е % для I = М;
б) 5,^(х) € С—(/).
Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через 8п>у(Х). Это множество является линейным пространством; в случае конечного промежутка I его размерность равна .Л/м+тг— и+1 ([б, с. 12]). Простейшим примером сплайна является функция Хевисайда
в(х) =
}, если X ^ О,
0. если х < 0,
с которой естественным образом связана усечённая степенная функция
х+ — хпв(х) =
хп, если х ^ О, 0, если х < 0.
Важным классом сплайнов являются Б-сплайны. Пусть сначала сетка X является конечной. Расширим её, добавив дополнительные точки
Х-гх < ... < Х-1 < а; Ь < 1 < • • < %н+п.
Возьмём функцию ц>п{х, I) — (—1)п+1(х — г)" и построим для неё разделённые разности (определение см., например, [10, с. 43]) (п+ 1)-го порядка по значениям аргумента £ = х* ...., Хх+гн-ь В результате получаются функции переменной х.
Определение 3. ([5, с. 18]) В-сплайном степени п на сетке
. . . , 371-Н1+1) ^ • • • 1 N 1,
назовём функцию
Вгп{х) = (я:;+л+1 - хи..., х{+п+1]. (1)
5
1-гп4-1
Обозначим 1/;п+1(г(г) = П Определение 5-сплайна (1) мож-
5=1
но переписать в виде
1+714-1 ✓ \ тх
В’(х) = (х{+п+1 - х() ^ 3?—7Г\' * = -”••••>ЛГ - !• (2)
1УЛХ5)
Лемма 1. ([5, с. 20--21]) Сплайны Вгп(х), г = —п,..., ДГ — 1 обладают следуют,ими свойствами:
а)
В* (х) 1 ^ для X € (Х„ Xi4.r1.fl),
л [еО, для х £ (х;,х;+п+1);
б) функции 5;, (гг) являются сплайнами степени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.
Многие примеры сплайн-функций являются экстремалями тех или иных экстремальных задач. Пункт б) означает, что при фиксированных узлах среди всех ненулевых сплайнов заданной степени дефекта 1, о которых в дальнейшем и будет идти речь, наименьший носитель имеют именно 5-сплайны. Можно было бы в качестве определения 5-сплайна взять его свойство минимальности длины носителя, и исходя из него получить аналитические представления (1) и (2). Именно, справедлива
Теорема 1. ([5, с. 22]) Всякий сплайн 5(х) ^ 0, припадлеэтсащий 5лд(Х), с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.
Буква В в названии 5-сплайна означает ’’базисный”: всякий сплайн дефекта 1 разлагается по соответствующей системе 5-сплайнов, как видно из следующей теоремы.
Теорема 2. ([5, с. 21]) Функции 5£(х), г — —п,..., N — 1, линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов 5Пд(-Х’).
Как следует из теоремы 1, требование минимальности длины носителя определяет 5-сплайн с точностью до множителя. 5-сплайны, определён ыс формулами (1) и (2), иногда называют нормализованными 5-сплайнами. Если сплайн В1 домножить на числовой множитель ———
П Хн.п+1-Х,’
то получится 5-сплайн, интеграл от которого равен единице ([5, с. 20]):
——■ -1 — [ В'п{х)Ах=\.
*Б£+п+1 ./К
6
Определение 3 годится и для случая бесконечной сетки X. В этом случае индекс г пробегает все целые значения. В этом случае справедливы лемма 1 и теорема 1, так как их утверждения носят локальный характер и по сути не зависят от конечности сетки. Верна также и теорема 2: всякий сплайн 6- на бескоенчной сетке X единственным образом представляется в виде суммы 5 = ^ К-
Основным объектом рассмотрений первых трёх глав диссертации является линейный оператор
г»/(*) = £>(/№), (з)
г
где п ^ 1, а с*(/) — некоторые линейные функционалы. Конкретный вид этих функционалов, а также варианты областей определения функций / и Тп/ и пределов суммирования в (3) будут определены позднее. Отметим лишь, что в тех случаях, когда рассматриваются функции на отрезке или функции с некоторым периодом, индекс г пробегает конечное число значний; если же функции определены на всей числовой оси, то г е Ъ. В последнем случае проблем со с.ходимостыо ряда в (3) не возникает, так как ввиду ограниченности носителя В-сплайна в каждой точке лишь конечное число слагаемых этого ряда отлично от нуля.
Изложим предысторию вопроса. Термин ’’сплайн” впервые был введен Шёнбергом в работах [11, 12) в 1946 г. Им же было введено понятие /^-сплайна. Построение операторов, аналогичных (3), представляющих собой линейные комбинации В-сплайнов уже проводилось. Так, в статье [13] рассматривается приближение кубическими сплайнами:
= \ И /(*<)«*(*)> (4)
1=3
где точки XI = гЕ1-Ь(г—1)/г., г = 1,..., X, образуют равномерное разбиение отрезка [гс1 ,хм\ с шагом А, 5» — ^-сплайн третьей степени, построенный НО сетке Х{-2, 2ч-Ъ Я», ®1+1, Х^2, * = 3, . . . , ЛГ — 2, С условием 5г(хг) = 1. Коэффициенты с*(/) = |/(з;{) в данном случае вычисляются по значениям функции / в узлах сетки. Сплайн (4) не является интерполирующим, но тем не менее обладает хорошими аппроксимативными свойствами.
Теорема 3. ([13, с. 13]) Пусть } € Сл\х^. 2^-2]• Тогда выполняются следующие соотношения:
Ц/^х) - 5(к)(гг:)||с = О(к^), ц = тт{4 - к, 2}, к = 0, 1, 2, 3.
- Київ+380960830922