Содержание
1 Введение 3
1.1 Обобщения интеграла Римана-Стилтьеса................. 4
1.1.1 Обобщения, основанные на модификациях римановского предельного перехода............................ 5
1.1.2 Вариационные и масштабные интегралы ............ 8
1.2 Интегрирование вектор-функций....................... 12
1.3 Интегрирование по частям ........................... 15
1.3.1 Интегралы, определяемые через обобщенный
предел, и интегрирование по частям............. 16
1.3.2 Масштабные, вариационные интегралы и интегрирование по частям^ 19
1.4 Структура и содержание настоящей работы..............23
2 Обобщенные интегралы 27
2.1 Базисные определения и результаты................... 27
2.1.1 Интегралы Полларда и Юнга...................... 27
2.1.2 Масштабные интегралы........................... 29
2.1.3 Слабая лемма Сакса-Хенстока и непрерывность неопределенного интеграла............................ 34
2.1.4 Вектор-функции ограниченной вариации............36
2.2 Необходимые условия интегрирования по частям.........39
3 Интегрирование по частям 42
3.1 Связь интегралов Юнга и Полларда.....................42
3.2 Интегрирование по частям относительно базиса 7.......44
3.3 Примеры ............................................ 56
Список литературы 60
2
Глава 1
Введение
Эта работа посвящена проблемам теории интеграла Стилгьеса векторнозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке действительной прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие процесс Римана-Стилтьеса. Такие процессы основаны на уменьшении класса разбиений, по которым осуществляется предельный переход, и (или) различных модификациях интегральных сумм.
Положительные действительные функции на множестве Е будут называться масштабами на множестве Е.
На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений:
1. Q' — множество всех рациональных чисел, Ш — множество всех действительных чисел, С — множество всех комплексных чисел.
2. I — интервал1 действительной прямой, 0 — пустое множество, Р — замыкание множества Р, Р° — множество всех внутренних точек множества Р, дР — граница множества Р, цР — мера Лебега множества Р.
3. X, Y, Z - банаховы пространства надЕ (над С), X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов над А').
4. AF(I) — приращение функции F на интервале I, A+F(t) — F(t+) -F(t), A-F(t) = F(t) - Fit-), и A+_F(t) = F(t+) - F(l-).
1 Слово numrpvcLX подразумевает промежутки мидл: (c,d) — открыты? топеряолы, [с, d) — cnnxjjN-ты? справа имнреши, fed) — открыты? сдсчм интервалы, (с,</| — замкнутис интерв<ыи (отрезки), где с < d. Всякий раз, когда из ксиггексга ясно о каком типе интертыюк идет речь, уточняющие слова будут опускаться.
3
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ
6
5. V Е — вариация функции I7 на отрезке [а, 6].
а
6. Хр ~ индикатор (характеристическая функция) множества Р.
1.1 Обобщения интеграла Римана-Стилтьеса
Интеграл Римана Стилтьеса (№) впервые возник в 1894 году в теории цепных дробей в работе Т. Стилтьеса [85] и в течение примерно 15 лет оставался лишь специфическим обобщением интеграла Римана. В 1909 года Ф. Рисс |79) открыл, что интеграл Римана-Стилтьеса является общим образованием — элементом пространства С*[а, 6].
Теорема А (Ф. Рисс). Всякий дяемент хл € С*[а, 6) представим формулой
**(/) = (Я/ф,
где. д — функция ограниченной вариации на [а, {>], зависящая отх*.
В 1910 года' А. Лебег публикует заметку [52], в которой содержится формула, выражающая Д5-интеграл от непрерывной функции через интеграл Лебега от суммируемой функции
(Л5) £ т Лд(1) = (£) /(«(»))
где /(£) — непрерывная функция, а </(£) — функция ограниченной вариации на отрезке [а, 6], г(£) = Vд. £(г>) — функция, обратная к 1>(£). На
а
основе этой формулы Лебег предложил определить интеграл Сгилтьеса
от измеримой функции; так как
&
= 1 почти всюду, то интегрируемы-
ми оказываются все ограниченные измеримые функции. Лебег высказал сомнение в существовании определения интеграла Стилтьеса от измеримой функции не опирающегося на понятие меры. Само это определение интеграла Стилтьеса у Лебега по существу не отличалось от определения интеграла измеримой функции по мере. Однако, спустя четыре года У. Юнг [91| дал новое определение интеграла Стилтьеса. В 1914 году, применив метод монотонных последовательностей, он весьма просто пришел к тому же обобщению. У. Юнг определил интеграл, который в точности
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
5
совпадал с интегралом Лебега Стилтьеса2 и в то же время У. Юнг не опирался на абстрактную теорию меры.
1.1.1 Обобщения, основанные на модификациях римановского предельного перехода
В 1923 году подробный анализ определения интеграла Стилтьеса был выполнен С. Поллардом [72]. Поллард предложил усовершенствовать определение интеграла Римана-Стилтьеса с тем, чтобы новый интеграл обладал свойством аддитивности, отсутствующим у обычного /?5-интеграла. Для этой цели Полларду служит понятие обобщенного предела.
Определение 1.1.1 (Поллард). Функция / : \а, 6] —» й называется интегрируемой в смысле ПоАларда-Стилтьеел {РЗ) по функции д : [а,Ь] —+ К на [а, 6), если существует такое действительное число г, что для всякою г > 0 найдется разбиение Е отрезка [а, 6] такое, что для всякого разбиения Т = (а = 4о>^1» • • • Лп = 6} Э Е и произвольной разметки т, т, 6 имеет место неравенство
Рв-интеграл сохраняет все простейшие свойства Я$' -интеграла, кроме Т01Ч), для нею справедлива формула
при условии существования интегралов в хотя бы одной ее части. Полларду не удалось однако, доказать формулу интегрирования по частям для вновь введенною интеграла, и он даже высказал предположение, что она вообще не справедлива.
То обстоятельство, что для существования того или иною типа интеграла важно поведение обеих функций в общих точках разрыва было отмечено Поллардом и проиллюстрировано простейшими примерами. Отчасти
*Под интегралом Лебега-Стилтьеса {£.£) &с*оду далее понимается интеграл, имляхкциГня а&Ы-тоаной функцией интервал*я* согласно определению, ириэедетпгому в (5, стр. 352|.
п
X ^ д0((ъ-1. *]) ~ * <є-
Число 2 будем далее обозначать
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
6
оно объясняется поведением / в концевых точках частичных интервалов. Это подсказывало модификацию интеграла Полларда-Стнлтьеса, когда поведение функций в точках разбиения исключалось бы в самих определениях. В частности, такой модификацией является исключение рассмотрения / в точках разбиения требованием, чтобы точки разметки т, фигурирующие в интегральных суммах, удовлетворяли условию т,- €
Такое определение в 1931 году и предложил Б. Душник [20]. Его интеграл, обобщающий PS-интеграл, будем называть внутренним интегралом Полларда Стилтьеса (/PS). В 1934 году IPS-интеграл применил Кальтенборн [47] для анапитичсского выражения элементов D*[a,b\, где D{a, 6] нссспарабельнос пространство действительных функций, заданных на отрезке [а, b и имеющих разрывы первого рода с нормой ||/(£)|| =
SUPifc|a,i) 1/(01-
Теорема В (Кальтенборн). Всякий функционал х* € D'[a,b представим в виде
где {с,},^0 — точки разрыва /, а функции и -ф зависят только от х*, причем <р — функция ограниченной вариации на [а, Ь), а ф равна нулю всюду па [а, Ь], за исключением счетного множества точек г» и ]С№(Т»)1 <
00.
Там же Кальтенборн показал, что для аналитического выражения элементов £>*[а,6] нельзя использовать Р5-интеграл.
В 1938 году вопросы определения интегралов типа Римана Стилтьеса изучал Т. Гильдебрандт в обзорной статье [43]. Со своей стороны Гиль-дебрандт предложил новое определение.
Пусть функция д имеет односторонние пределы в каждой точке отрезка [а. 6]. Назовем интегральной суммой Юнга-Стилтъеса от функции / по функции д относительно разбиения Т = {а = <о> ^1» • • •»Ъ — 6} и разметки Т, т, 6 [£»-!,*<], сумму следующего вида
в предположении, что д(а—) = д{а) и д(Ь-{-) = д(Ь). Суммы такого вида впервые ввел У. Юнг в работе |91|. Использованная нами форма записи сумм Юнга является более современной (см. [55]).
Определение 1.1.2 (Гильдебрандт). Функция / : [а,6] —♦ К называется интегрируемой в смысле Юнга-Стгитьеса (У5) по функции
П
п
(/ ■ 9)r(Tr) = £/(T,){9(tH - + £ f(U) Atg(u),
- Київ+380960830922