2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................... 4
ГЛАВА 1. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности дробных интегралов и дробных производных переменного
порядка........................................................... 21
§ 1. Вспомогательные сведения................................... 21
и. 1.1. Функции тина модуля непрерывности и некоторые их свойства ......................................................... 21
п. 1.2. Обобщённые пространства Гёльдера с характеристикой, зависящей от параметра.................................... 22
п. 1.3. Понятие весовых пространств Гёльдера переменного порядка 23 п. 1.4. Дробные интегралы и дробные производные переменного
порядка....................................................... 25
п. 1.5. Обобщённые классы Зигмунда-Бари-Стечкина ............. 26
п. 1.6. Индексные числа Матугневской-Орлича и их связь с классами Фэд................................................ 29
п. 1.7. Некоторые вспомогательные утверждения и соотношения .. 30
§ 2. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности
операторов 1а+\ Г)*^ и 31
ГЛАВА 2. Теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщённой переменной гёль-деровости................................................... 54
3
§ 3. Действие операторов 1*+ и в пространствах Н^'\[а,Ь\) — 54
§ 4. Регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка ......................................................... 61
ГЛАВА 3. Действие операторов дробного интегродифференцирования
в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами 70
§ 5. Действие операторов 1^ и в пространствах Нх^ ([а, 6], р)
в случае веса (х — а)м............................................ 71
§ 6. Действие операторов 1^1' и Г)^ в пространствах ЯА^ ([а, 6],р)
в случае веса (6 — х)"............................................ 87
ЛИТЕРАТУРА.......................................................... 94
ВВЕДЕНИЕ
В данной диссертации рассматриваются левосторонние и правосторонние операторы дробного интегрирования
1а£) /Гх) —__\___ [_______________________ (о 1)
а+ П) Г[а(ж)]/ (д.-*)!-*(*)’ ([)Л)
а
Ь
!«( ) <(х)" 1 [ Л*)«** /0 2")
ь- ПХ) ~ Г[а(х)]У («-*)>-*«>
X
и операторы дробного дифференцирования
п“(') Г(х\ = /(ж) + “(*) ? (0 31
а+ Д ; Г[1 - а(*)](* - а)°(*> Г(1 — «(ж)] у (®-01+в<*) 1 ;
а
6
£)«(•) тгх\ ________/(£)________________________а(х)____________________ [ (о 4)
ь* Л ' Г[1 — а(ж)](6 — Г[1 — с*(я)] / (« — *)»+«(*) 1 ;
X
переменного порядка »(ж), 0 < а(ж) < 1, в обобщённых пространствах Гёльдера Я^'^([а,Ь]) с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости #А(Х) ([а, 6], р) со степенными весами. В нашем случае характеристика а;(£, ж),0 <£</; — а, принадлежит классу типа Зигмунда-Бари-Стечкина по переменной t равномерно по ж, а вес р(ж) имеет вид (ж — а)^ или (6 - ж)", где д и V — некоторые действительные числа.
В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с перемен-
5
ным показателем, определяемое модуляром / Другим примером
п
является пространство Гельдера Нх^ переменного порядка, определяемое
условием ш(/, £,з;) ^ с^х\х £ Ел, где локальный модуль непрерывности
о;(/, а;) функции / равен эир |/(л: 4- Ь) — /(ж)1. Известны и более общие
|Л|<*
пространства, а именно, обобщенные пространства Гельдера с переменной характеристикой ш(£,я), зависящей от х: о>(/, £, х) ^ сш(£,ж), где мажоранта и(Ь, х) - функция типа модуля непрерывности по переменной £ (для каждого х 6 [а, 6]).
Целыо работы является исследование зависимости отображений, осуществляемых дробными интегралами и дробными производными переменного порядка, от локальных значений А(х) и и{Ь,х) при заданных
ограничениях на величины д и и. Необходимость такого исследования возникает, например, при исследовании дифференциальных свойств функций или при решении некоторых интегральных уравнений первого рода (см., напр., [24)).
В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гёльдера. Так, первый результат в данной области принадлежит Г. Вейлю (см. [47]). Он показал, что периодические функции, удовлетворяющие условию Гёльдера порядка А, имеют непрерывные дробные производные порядка а < А. Для непериодических функций подобный результат был получен П. Моителем в работе [32]. Более точно действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференци-
6
рования в пространствах Нх было изучено Г. Харди и Д. Литтлвудом в работе [25]. В ней была доказана теорема о действии оператора дробного интегрирования 1£+ постоянного порядка из пространства Гёльдсра Н$ в пространство Н$+а,\ + а < 1, с „лучшим“показателем гёльдеровости, а также теорема о действии оператора дробного дифференцирования D?l+ из пространства Н$, А > а, в пространство Н$ ~а с „худшим“ показателем гёльдеровости. Позднее B.C. Рубииым (см. [23]) были получены аналогичные теоремы о действии оператора 1£+ в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Н. К. Карапетянца и А. И. Гинзбург [12], [26]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [33], С. Г. Самко [42]. Дробное интегродифференцирование на отрезке вещественной оси в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривались в работах X. М. Мурдаева [17],[18], X. М. Мурда-ева и С. Г. Самко [19] - [21]. Действие операторов дробного интегрирования чисто мнимого порядка в пространствах Гёльдера постоянного порядка на отрезке вещественной оси со степенными весами было изучено в работе
Н.К. Карапетянца и Л.Д. Шанкишвили [14]. Дробное интегродифференцирование комплексного порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости со степенными весами рассматривалось в работе Н.К. Карапетянца и
7
JI.Д. Шанкишвили [29]. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробным интегралом. Многомерные потенциалы и гиперсиигулярные интегралы в пространствах переменной, обобщённой и обобщенной переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Ва-кулова [2] - [4], [5] - [8], [45], Б. Г. Вакулова, Н. К. Карапетянца и Л. Д. Шанкишвили [9],[10],[46] и Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11]. Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и сотвстствующих ги-персингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе И. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11], где рассматривались пространства гёльдеровых функций, определенных на однородных пространствах (квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения).
Ещё одним важным вопросом является регуляризация интегральных уравнений первого рода. В работе С. Г. Самко [43] рассматривается вопрос о регуляризации уравнения Абеля переменного порядка в пространствах Lp. Там же изучен вопрос об обращении оператора дробного интегрирования переменного порядка в указанных пространствах. К уравнению типа Абеля приводит целый ряд естественно-научных задач (см., например, [15] с. 230). К таким относится задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную сред}', по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями или задача из теории „глобулярного скопления“ в астрономии (глобз'ляр-нос скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг
общего центра сферическими слоями постоянной плотности). В настоящей работе регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка проводится в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости.
Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на G параграфов. Теоремы (леммы, формулы, замечания), нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая — на номер теоремы (леммы, формулы, замечния) внутри параграфа.
В главе I получены оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов дробного интегрирования (0.1),(0.2) и операторов дробного дифференцирования (0.3),(0.4). В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек х G [а, Ь].
§1 иос.ит вспомогательный характер. В нём приведены определения, обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. В частности, здесь была доказана следующая
Лемма 1.1 Пусть u{t,x) - функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х £ [а, Ь] и cjq == inf oj[b — а, х) > 0. Тогда оператор умноэюепия на функцию g £ Lip([a,bJ) ограничен в Нш^([а, 6]) и вН^\[а,Ь}).
В §2 получены оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными переменного порядка. Из леммы 1.1 следует, что при рассмотрении левостороннего и правостороннего операторов дробного интегрирования (0.1) и (0.2) оценки типа
- Київ+380960830922