СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения ...........................,.......................... 4
Введение ................................................................... 5
Глава I. Один новый случай интегрирования уравнения Левнера .......... И
§ 1. Основные результаты ......................................... И
п. 1. Уравнение Левнера-Куфарева.............................. И
п. 2. Теорема о существовании и единственности решения
уравнения Левнера-Куфарева................................ 12
п. 3. Основные понятия ........................................ 12
§2. Выбор управления ............................................. 13
§ 3. Функция у(т) ................................................. 16
§ 4. Интегрирование ............................................... 17
§ 5. Предельный случай ............................................ 20
§ 6. Частный случай ............................................... 21
Глава II. Экстремальное управление в задаче вращения на классе Sp 24
§ 1. Основные понятия и результаты ................................ 24
н. 1. Оценки аргумента производной ............................ 24
п. 2. Экстремальные управляющие функции в задаче
о max arg f'(zo) на классе S ............................. 25
§2. Параметризация функционала ......................................27
п. 1. Вывод основных формул ................................... 27
п. 2. Введение параметров ..................................... 28
§ 3. Условие существования единственного вещественного корня
некоторого уравнения третьей степени .......................... 30
§ 4. Вспомогательная кривая ....................................... 33
п. 1. Отображение перехода к вспомогательной кривой ........... 33
и. 2. Параметризация вспомогательной кривой .................. 34
п. 3. Построение графика вспомогательной кривой ............... 35
§ 5. Нахождение решений некоторого уравнения,
доставляющих максимум функционалу I(fp, г) .......... 37
2
п. 1. Расположение дуг, прообразов дуг
вспомогательной кривой .................................... 37
н. 2. Аналитическое выражение ветвей, доставляющих
максимум функционалу .................................... 38
п. 3. Случай р = 1 ............................................ 41
§ б. Нахождение экстремальных управляющих функций .................. 41
Глава III. Свойства решений уравнения Левнера
с постоянным управлением ........................................ 43
§ 1. Некоторые результаты в задаче о коэффициентах ................. 43
§ 2. Постановка задачи ............................................. 45
§ 3. Решение уравнения Левнера с постоянным управлением ............ 47
п. 1. Интегрирование........................................... 47
и. 2. Геометрия решения ....................................... 48
§ 4. Разложение по степеням г решения уравнения Левнера с ц = -1
и новое представление полиномов Ьранжа......................... 50
Библиография .............................................................. 56
3
Основные обозначения
N - множество натуральных чисел;
R - множество действительных чисел;
R+ ~ множество положительных действительных чисел;
Z - множество целых чисел;
Е - единичных круг {г : \z\ < 1};
со
S - класс голоморфных однолистных в Е функций вида /(г) = z + X ck
/<=2
Sp - класс голоморфных однолистных в Е функций вида
00
/рСг) = z + £ Cfep+t 2Äp+1 с ^-кратной симметрией вращения относительно k-\
нуля;
- подкласс класса Sp функций fp(z) = lim е* Дг, х),
где f(z, т) - решение уравнения Левнера; fp ~ функция класса Sp\
f(z) - функция, сопряженная функции /Сг);
а(а - 1) ... (а - (г - 1))
/ач
п)
- биномиальный коэффициент, равный
/ \ а
при п = 0 = 1.
/г!
4
ВВЕДЕНИЕ
В теории аналитических функций значительное место отводится изучению однолистных аналитических функций, т.е. таких аналитических функций, которые в различных точках области принимают различные значения.
Одним из важных классов функций, однолистных в круговой области, является класс 5 голоморфных однолистных в единичном круге Е = {г : \z\ < 1} функций, нормированных условиями ДО) - 0, /*'(0) = 1. Многие исследования связаны с р-симметричными (р = 1, 2, ...) функциями класса 5, выделяющимися в самостоятельный класс Sp, причем S\ = 5. Подклассы Sp (р = 2, 3, ...) не являются вложенными. Пусть число р раскладывается на простые множители Pi. Тогда любая функция, принадлежащая классу Spt принадлежит и каждому из классов Sp? Класс 5«, представляет собой тождественное отображение круга на круг.
Функции Дг) = lim е C,(z, т), которые мы называем предельными для решений уравнения Лсвнера
„ ц'Чт) + С? dx С цР(х) - ф
Ф, 0) = г,
(*)
М< 1.
О £ X < 00,
где ц(т), |р(т)|“1, - непрерывная или кусочно-непрерывная функция на [О, да), входят в класс Sp.
Связанная с этим уравнением теоретико-функциональная конструкция, которая впервые появилась в работе Левнера [89], имеет широкий спектр применений, в том числе и в области теории вероятностей [36], [37].
В каждой из глав данной работы решается отдельная задача геометрической теории функций комплексного переменного, связанная с уравнением (*).
Примеры интегрирования уравнения Левнера в квадратурах единичны. Некоторые случаи интегрируемости найдены Куфаревым П.П. [46], Александ-
5
ровым И.Л. (5), Хеллингом К. [84]. Базилевич И.Е. 120]г проинтегрировав более общее уравнение
0 < х < оо,
где ро(0> Р](0 ~ голоморфные в единичном круге функции с положительными вещественными частями, получил формулу
которая задает совокупность функций, содержащую ряд подклассов класса 5.
В первой главе мы приводим новый случай интегрирования уравнения (*), позволяющий сделать заключение о том, что управляющие функции вида
где б є Л, а., (3 є Л+, х(т), х(0) = 1, | х(т) | = 1, ~ непрерывно-
дифференцируемая на [0, оо) функция, индуцируют решения этого уравнения, в том числе отличные от отображения круга на круг с разрезами.
В §§ 2, 3 главы I вводится условие, необходимое для интегрирования уравнения (*) с указанным управлением ц(т), и исследуется влияние этого условия на управляющую функцию.
В § 4 интегрируется уравнение Левнера с выбранным управлением и тем
самым доказывается теорема о принадлежности функции £ = е~,Ьт х го, где ьо неявно за. »стся интегральным уравнением, к множеству однолистных функций, отображающих круг Е на /асимметричные круговые области.
В § 5 находится функция /(г), предельная для полученного решения С,5 £(г, т), и формулируется вытекающая отсюда теорема о принадлежности этой функции к классу Ер.
I = -С р(С. X)
с функцией
/КС,г) (1 -е-,)р0(О + е"р,(О ’
/Ь) Л^Ь.Ы^-'ехр/
|_ о о
и
ц(т) = е4* хи+Чт),
б
- Київ+380960830922