Содержание
Введение...........................................................2
Глава 1. Умножение перестановок на целые числа
1° Основные понятия. Перестановки, меняющие сумму II
сходимость.........................................................10
2° Умножение перестановок на целые числа 20
Глава 2. Умножение перестановок на нецелые числа
1° Перестановка не делится пополам..............................38
2° Возможности примера Марцинкевича - Корнилова.................44
3° Свойства выделяемых перестановок.............................52
Глава 3. Пространства векторных рядов
1° Множества первой категории в пространствах рядов.............58
2° Недоиолняемые подпространства в пространствах рядов..........67
Литература.........................................................75
Работы автора по теме диссертации..................................77
Введение
Во многих областях математики используются ряды - числовые, векторные, функциональные. В основном ряды используются как инструмент приближения одних объектов другими - более простыми. Именно поэтому исследование свойств самих рядов является важным разделом математики. Истоком темы, которой посвящена данная работа, является классическая теорема Римана: условно сходящийся числовой ряд можно переставить так, что он будет сходиться к любому наперед заданному числу, а также к = ос или к —оо. Если понимать
оо
под областью сумм ряда £ ж* элементов пространства Е множество
ОС'
тех X £ Е, ЧТО при некоторой перестановке 7Г ряд £ Хк сходится к х (это определение ввел М.И.Кадец в [5], используется также термин ’’множество сумм”:[7],[8],[16]), то теорема Римана формулируется так: область сумм числового условно сходящегося ряда есть множество действительных чисел.
Естественным образом возникает вопрос: что можно сказать об области сумм условно сходящегося векторного ряда или ряда, составленного из функций? Первый результат, относящийся к векторным рядам, а именно, к рядам комплексных чисел, получил 11.Леви в 1905 г. [21]. Для рядов в произвольном конечномерном пространстве на этот вопрос ответил Е.Штейниц в 1913 г.[25]. Теорема Штейница
оо
гласит: область сумм ряда £ ж* в т - мерном пространстве Е есть
оо
подпространство 6- Го, где $ = £ а;*., Го -- аннулятор множества
*=1
Г = {/ Є Е' : Е |/(ж*)| сходится.}.
1
Однако в бесконечномерном нормированном пространстве аналог теоремы Штейница не верен. Область сумм ряда, в данном случае может быть незамкнутым множеством (М.И.Островский,[13]), не иметь линейной структуры (И.Марпинкевич, П.А.Корнилов[9]), а. то и вовсе состоять из нескольких точек (М.И.Кадец, К.Возняковский[20], П.А.Корнилов[8]). Причем такие ряды существуют в каждом банаховом пространстве. Налицо принципиальное отличие структуры обла-
2
сти сумм ряда в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Эта ситуация стала обьектом исследований большого числа математиков. В существующих работах но данному вопросу можно выделить два основных связанных друг с другом направления исследований.
Первое заключается в нахождении условий, достаточных для того, чтобы область сумм ряда в бесконечномерном пространстве совпадала с подпространством 5 -Ь Го. Этой теме посвящены работы М.И.Кадеца[5], С.Троянского [15], Б.М.Никишина [11],[12],
Л.В.Печерского [14], С.А. Чобаняна [16], М.И.Островского[13], И.Ба-рани[1] и других авторов. Классическим здесь является результат М.И.Кадеца (1954 г.,[5]) для пространств р > 1 : условие
оо ■ ,
Е 1ЫПП{2’Р) < ос
к=1
оо
является достаточным для того, чтобы область сумм ряда Е со-
^ — 1
впадала со множеством $ + Го* Этот результат С.Троянский (1967 г..[15]) обобщил на равномерно гладкие банаховы пространства как
оо
Ер(1М1) < оо
*=1
(р - модуль гладкости пространства). Работу С.А.Чобаняна [10](1984 г.) можно считать обобщением результата С.Троянского на случай произвольного банахова пространства.
Другое направление - построение рядов, области сумм которых не совпадают с подпространством «4-Го и исследование известных достаточных условий совпадения в связи с этими рядами. Среди таких результатов выделяются работы П.А.Корнилова.[6]-[9], М.И.Кадеца[20]. В.М.Кадеца[4], М.И.Островского[13]. Наиболее интересные результаты данных исследований были перечислены ранее.
Самый полный обзор исследований по обоим направлениям содержится в монографии В.М.Кадеца и М.И.Кадеца ”Перестановки рядов в пространствах Банаха" [3].
И
Возможны и другие подходы к представленной проблеме. Один из них, практически не встречающийся в отечественной литературе, связан с изучением свойств перестановок (биекций множества натуральных чисел на себя) в связи с тем, как они действуют на ряды. Под действием перестановки на ряд естественно понимать ряд, полученный из исходного данной перестановкой его членов: если тг : N —> N -
оо
перестановка, £ ж* - исходный ряд, то после действия перестановки k— 1
оо
7г получается ряд £ ж-гм. В связи с этим возникают понятия: пере-
к=\ К }
становка тг меняет сумму в пространстве Е и меняет сходимость в пространстве Е (существует сходящийся ряд в пространстве Е, который после перестановки тг сходится к другому элементу или, соответственно, расходится).
Перестановки, меняющие сумму или сходимость, исследуют R.Wi-tula [26], [27], Р.А.В.Pleasants [23], P.Schaefer [24], E.H.Johnston[18],[19] и другие авторы. Так, еще в 1955 г. R.P.Agnew [17] получил критерий для перестановок, сохраняющих сходимость числовых рядов, а в 1981 г. P.Schaefer доказал, что этот критерий справедлив в любом банаховом пространстве ([24]). Таким образом оказалось, что свойство перестановки менять сходимость не зависит от пространства. Аналогичная теорема представлена в нашей работе с доказательством. так как была получена независимо и другим способом. К последним развернутым работам, освещающим перестановки, меняющие сумму и сходимость, можно отнести статьи R.Wit.ula (например, [27], 1995 г., имеет большую библиографию). Однако эти исследования ушли далеко в сторону от рассматриваемой проблемы.
Мы предлагаем пойти дальше в исследовании перестановок в связи с их действием на ряды. А именно, в монографии [3] приведен следующий пример.
Пусть 7Г - такая перестановка, что 7г(1,5к) = к для четных А:, а для нечетных к < j выполнено 7г(А’) < 7г( / ). Пусть <7(2,5А0 = к для четных к и сг(А’) < о (j), если к < j - нечетные. Тогда из сходимости
4
ОС оо
ЧИСЛОВЫХ рядов Е хк К нулю И Е х1г(к) к числу ;г следует, что ряд к=1 *=1 к '
оо
Е ^<г(А) также сходится, причем к числу 2х.
к= 1
В связи с этим примером естественно появляется определение. Пусть тг, (7 - перестановки, а £ Л. Определим множество перестановок а : 7г следующим образом: перестановка <т принадлежит множеству а • 7г тогда и только тогда, когда для любого ряда в любом нормированном пространстве Е из соотношений
00 оо
Е я* = Е х*1к) = Ж, ж е Е
к-I £=1
оо
следует, что ряд Е ха(к) сходится к а.г. Будем писать при этом: а 6
к~ 1
а • тг. Данное понятие является ключевым в нашей работе.
Мы рассматриваем два класса перестановок: перестановки вида 7Г;л(/ {р, д £ N \ {1}, для каждого т Е N
^,,,Н = <1»>;
*Р,Ч '■ Л' \ {Рт)т=1 К \ ит}„=1 - биекция, сохраняющая порядок) и
■перестановки вида тт^д (множества Л. 13 £ Лг, множества А,Д,ЛГ\ A9N\ В бесконечны,
: .4 -> В, пАВ : N \ А -* N \ В
биекции, сохраняющие порядок).
Очевидно, что перестановки вида пр>я - частный случай перестановок вида па,в- В процитированном выше примере тг = Я32, а = пг)2.
Кроме этого, мы рассматриваем некоторые пространства, элементами которых являются ряды из банахова, пространства Е. А именно, пространство сходящихся рядов (8с(Е), | * |), где
= 8,1р{|1 Ё *к\\Е, п е Дг}
*=1
( множеству Ь'ц(Е) принадлежат те последовательности (.хч.)£ь для которых ряд Е Хк сходится) и
1с -— 1
5
- Київ+380960830922