Квазимеры, обобщенные интегралы и хаусдорфовы меры в теории рядов Хаара и Уолша

Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 38
1.1. Некоторые определения и обозначения 38
1.2. Кратные ряды и их сходимость 39
1.3. Функции Хаара и Уолша на отрезке (0,1) 43
1.4. Двоичная группа и функции Хаара и Уолша 43
1.5. Кратные ряды Хаара и Уолша на единичном кубе [0,1]т 46
1.6. Кратные ряды Хаара и Уолша на группе (7™ 47
1.7. Хаусдорфовы 7>мсры и размерность Хаусдорфа множеств из Ст и [0,1]т 50
1.8. Некоторые утверждения о коэффициентах и частичных суммах кратных
рядов Уолша 51
1.9. Некоторые замечания об определениях функций Хаара 53
2. КВАЗИМЕРЫ И ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ХААРА И УОЛША 55
2.1. Функции множества на кубе [0,1]т и на группе Ст 55
2.2. Непрерывность /3-функций 57
2.3. О дихотомии для 5-функций 64
2.4. Условия типа Липшица для 5-фуикций 66
2.5. Условия типа Липшица и принципы распределения масс для квазимер 68
2.6. Формальное интегрирование кратных рядов Хаара и Уолша * 71
2.7. Непрерывность квазимер и коэффициенты кратных рядов Хаара и Уолша 73
2.8. Частичные суммы кратных рядов Хаара и Уолша и условия типа Липшица
для квазимер 81
2.9. Некоторые замечания о множествах единственности для рядов Хаара и
Уолша 87
2.10. Несколько слов о тесноте связи между рядами Хаара и квазимерами 95
3. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ УОЛША НА ГРУППЕ вт 99
3.1. Множества типа Дирихле для системы Уолша 99
3.2. Теоремы о монотонности 5-фуикций 101
3.3. Обобщенные интегралы двоичного псрроновского типа на группе Ст 103
3.4. К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся по кубам и р-
сходящихся кратных рядов Уолша 108
3.5. Множества единственности для кратных рядов Уолша при сходимости но
кубам и //-сходимости 110
3.6. Теоремы типа Валле-Пуссена для кратных рядов Уолша 111
4. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА 11 б
4.1. Некоторые свойства квазимер на единичном кубе (0,1]т 116
4.2. Теорема о монотонности для 5-функций на единичном кубе [0,1]т 118
4.3. Вопросы единственности кратных рядов Хаара на единичном кубе [0,1]ш 127
4.4. Утверждения о единственности и неединственности для квазимер и кратных
рядов Хаара 129
4.5. О границе существования единственности для двойных рядов Хаара 134
2
4.G. Сравнение (Р£)-интеграла и интеграла Лебега 14G
5. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОМЕРНЫХ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ТЕОРЕМЫ ТИПА ДЮ БУА-РЕЙМОНА ДЛЯ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ХААРА 149
5.1. Некоторые определении и вспомогательные утверждения нз теории
обобщенных интегралов 149
5.2. Об одном семействе обобщенных интегралов 153
5.3. О непротиворечивости (//і/2д)-интеграла и (-PJ)-интеграла 158
5.4. Теоремы типа дю Вуа-Реймона для двойных рядов Хаара 172
5.5. О противоречивости (//^Д-интеграла и (/^,/2)-интеграла и об одном примере
двойного ряда Хаара 173
6. ХАУСДОРФОВЫ МЕРЫ И МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ РЯДОВ ХААРА И УОЛША 180
6.1. Условия типа Арутюняна-Талаляна и множества относительной
единственности для кратных рядов Хаара 180
6.2. Одна теорема о монотонности для Б-фуикций 181
6.3. Множества относительной единственности для кратных рядов Уолша и
Хаара 184
6.4. Условия Вэйда и множества относительной единственности для одномерных
рядов Хаара 189
6.5. Множества относительной единственности и восстановление коэффициентов
кратных рядов Уолша и Хаара 191
7. КОЭФФИЦИЕНТЫ СХОДЯЩИХСЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ХААРА И УОЛША 194
7.1. О всюду сходящихся по квадратам двойных рядах Уолша с быстро
возрастающими коэффициентами 194
7.2. О стремящихся к нулю подпоследовательностях коэффициентов сходящихся
по кубам кратных рядов Уолша 201
7.3. О всюду сходящихся по кубам или />сходящихся кратных рядах Хаара с
быстро возрастающими коэффициеытами 206
Благодарности 209
Предметный указатель 210
Список основных обозначений 212
Список литературы 213
з
ВВЕДЕНИЕ
Представленная работа стоит на стыке теории единственности ортогональных рядов, теории обобщенных интегралов, а также некоторых разделов теории меры и теории дифференцирования.
Теория единственности является одним из классических разделов теории ортогональных рядов. Свое начало она берет с известной теоремы Кантора ([9, гл. 1], [44. т. 1, гл. 9], [173]), доказанной еще в конце XIX века.
Теорема А1 (теорема Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к пулю всюду па [—7Т,7г); кроме, быть может, конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все коэффициенты этого ряда равны пулю.
С тех пор теория единственности превратилась в весьма разветвленную теорию, тесно связанную не только с вещественным анализом, но и с другими разделами математики, например, с теорией вероятностей, теорией чисел и теорией множеств:
К сожалению, невозможно сделать обзор всех направлений теории единственности. В связи с этим мы вынуждены останавливаться подробно только на тех разделах этой теории, которые непосредственно связаны с данной работой, тем самым не уделяя должного внимания многим весьма интересным работам. Стараясь, по возможности, дать ссылки на наиболее значимые результаты о единственности для рядов Хаара или.Уолша, мы. из-за недостатка места не всегда сможем делать подобное для тригонометрических рядов.
Теория единственности естественным образом началась с изучения тригонометрической системы. Поэтому, хотя наша работа посвящена изучению рядов Хаара и Уолша, будет постоянно проводиться обзор результатов и для тригонометрических рядов, а также их сравнение с теми, что имеют моего для рядов Хаара и Уолша.
Теорему Кантора усилил В. Юнг ([9, гл. 1], [44, т. 1, гл. 9], [254]), который показал, что в теореме А1 достаточно требовать сходимости к нулю вне счетного множества. Теоремы Кантора и Юнга привели в начале XX века к обширным исследованиям с целью поиска исключительных множеств, которые не нарушают эти теоремы. Такие множества называются множествами единственности или и-множествами. Более точно, множество А, лежащее в области определения системы функций {фп}, называется множеством единственности или V-множеством для рядов но этой системе, если сходящийся к нулю вне множества А ряд апФп(&’)
4
является тождественно нулевым. Задача о нахождении (/-множеств является одной из важнейших в теории единственности. Множество, не являющееся (/-множеством, называется множеством множественности (иначе, М-множеством) для соответствующей системы функций. Другими словами, множество А, лежащее в области определения системы функций {<£«}> называется М-множеством для рядов по этой системе, если существует нетривиальный ряд (то есть ряд. не все коэффициенты которого равны нулю) сходящийся к нулю вне множества А.
Задачу о нахождении (/-множеств и М-множеств можно расширить, если в соответствующих определениях рассматривать не все ряды но системе {фп}, а лишь ряды из некоторого класса 0. Тем самым получим определения (/(0)-множеств и М(0)-множеств. (/(0)-множества иначе называются множествами относительной единственности Классы (/-множеств обладают свойством наследственности: если А\ С А2 и А% является (/-множеством, то А\ также является (/-множеством. Подобным свойством обладают и классы (/(0)-множеств.
Рассмотрим случай тригонометрических рядов. Теорема Юнга означает, что любое счетное множество является (/-множеством. Несложно показать, что любое измеримое множество положительной меры уже не является (/-множеством. Важнейшим шагом в построении теории единственности явился пример совершенного М-множества нулевой меры, построенный в 1916 году Д. Е. Меньшовым ([9, гл. 14], [197]). Д. Е. Меньшов первым построил нетривиальный тригонометрический ряд, почти всюду сходящийся к нулю. Такие ряды называются нуль-рядами, аналогичная терминология имеет место и для рядов но другим системам функций.
Пример Д. Е. Меньшова, с которого по сути началась современная теория единственности, показал, что в этой теории нельзя пренебрегать множествами меры нуль, и этот факт изменил общепринятую в то время точку зрения о роли множеств нулевой меры в различных областях анализа.
Пример Д. Е. Меньшова породил естественный вопрос о существовании несчетных (/-множеств. Вскоре Н.К. Вари и А. Райхман построили примеры континуальных (/-множеств (|9, гл. 14], [167], [206]). Дальнейшие исследования многих авторов (см., например, работы Н. К. Бари [166], А. Райхма-на [205], Р. Салема [211, 212], Р. Салема и А. Зигмунда [213], И. И. Пятецкого-Шапиро [84, 85, 86], А. Зигмунда и Й. Марцинкевича [195]) показали, что вопрос о принадлежности конкретного множества классу II- или М-множеств для тригонометрических рядов является очень тонким вопросом, связанным не только с метрической и топологической, но и с арифметической структурой множеств. Этот факт подтверждает то обстоятельство, что обычные способы классификации множеств нулевой меры по степени их "густоты”,
5
такие как емкости и хаусдорфовы размерности, не позволяют различить (У-и М-множества [9, гл. 14], [45]. Представление о глубине проблемы дает тот факт, что даже в простейшем случае, когда рассматриваются симметричные замкнутые множества с постоянным отношением С (мноэ/сества канторовского типа), решение этого вопроса требует привлечения алгебраической теории чисел. Например, знаменитый результат, достигнутый усилиями Р. Салема. И. И. Пятецкого-Шапиро и Л. Зигмунда [85, 211, 212, 213], утверждает, что множество является (У-множеством тогда и только тогда, когда 1/С ~ число Пизо. Ранее этот результат был получен Н. К. Бари [166] для рациональных С (в этом случае множество является (/-множеством тогда и только тогда, когда 1/С — целое число). В частности, канторовское троичное множество является (У-множеством. В общем же случае вопрос об (7- и М-множествах чрезвычайно труден и не решен даже для совершенных множеств. Более того, в работе [193] показано, что не существует конструктивного критерия принадлежности заданного множества классу множеств единственности.
Важным фундаментальным результатом о структуре множеств единственности явилась следующая теорема И. К. Бари ([9, гл. 14], [8]).
Теорема А2 (теорема Бари). Объединение счетного числа замкнутых І/-мпооісестпв такоісе является V-множеством.
Теорему Бари позже обобщили Н. Н. Холщевникова [148], а также К. Кар-лет и Г. Дебс (см. [193, с. 44|).
Еще одним важным направлением теории единственности является проблема восстановления коэффициентов сходящихся вне II-множеств функциональных рядов но их сумме. Из теоремы Кантора вытекает, что не существует двух тригонометрических рядов, сходящихся к одной и той же конечной сумме всюду на [0,2-тг), кроме, быть может, конечного множества точек. Естественно, возникает вопрос: обязан ли сходящийся к конечной суммируемой функции вне некоторого множества (такие множества принято в последнее время называть V-множествами) тригонометрический ряд являться рядом Фурье своей суммы, то есть можно ли восстановить коэффициенты этого ряда по его сумме с помощь формул Фурье? Еще в конце XIX века П. дю Буа-Реймон доказал ([9, гл. 1], [169]) следующий результат.
Теорема АЗ (теорема дю Буа-Реймона). Тригонометрический ряд, всюду сходящийся к интегрируемой по Риману функции, является рядом Фурье своей суммы.
Позже А. Лебег обобщил эту теорему на случай ограниченных суммируемых функций [9, гл. 1], а Ч. Валле-Пуссен доказал ([9, гл. 1], [229]) следующий результат, обобщающий теоремы дю Буа-Реймона и Лебега.
Теорема А4 (теорема Валле-Пуссена). Тригонометрический ряд, сходящийся всюду, кроме, быть может, счетного множества точек, к конечной суммируемой функции, является рядом Фурье своей суммы.
И. И. Привалов доказал [83], что в теореме Валле-Пуссена можно вместо счетного множества взять произвольное замкнутое {/-множество. Наиболее общий результат, обобщающий теорему А4 для суммируемых функций, получен Н. Н. Холщевниковой [141].
Отметим, что при изучении задачи о восстановлении коэффициентов сходящихся рядов обычно приходится иметь дело с сильно осциллирующими функциями, не всегда являющимися суммируемыми. Хорошо известно (см., напр., [44]), например, что тригонометрический ряд
со
sin пх n Inn
гг=2
всюду сходится к конечной функции, но его сумма не является интегрируемой по Лебегу, а сам ряд (0.1) не является рядом Фурье никакой суммируемой функции. В связи с этим дальнейшие обобщения теорем дю Буа-Реймона, Лебега и Валле-Пуссена связаны с изучением интегралов, более общих, чем интеграл Лебега. Теорема типа дю Буа-Рсймона оказывается справедливой для узкого интеграла Данжуа [44], но не имеет места для широкого интеграла Данжуа [111]. В каком-то смысле завершением этого направления для тригонометрических рядов явилось построение интегралов таких, что всякий всюду сходящийся к конечной функции ряд является рядом Фурье в смысле данного интеграла. Первым таким интегралом явилась так называемая тотализация Тг«, Данжуа [179], являющаяся интегралом второго порядка. Интеграл первого порядка, решающий аналогичную проблему, был построен в 1989 г. Д. Прейссом и Б. Томсоном [204].
Возможность построения содержательной теории единственности для других ортогональных систем в первую очередь зависит от справедливости аналога теоремы Кантора в ее простейшем виде: если ряд апфп(х) по системе {фп{%)} сходится к нулю во всех точках отрезка ортогональности, то этот ряд является тождественно нулевым. Г. М. Мушегян и Р. И. Овсепян показали [68, 72, 74], что это утверждение может оказаться неверным даже для некоторых полных в іг[0,1] ортонормированиых систем {Фп(х)}, состоящих из ограниченных в совокупности непрерывных функций. Естественным образом построение теории единственности для ортогональных систем, отличных от тригонометрической, началось с изучения конкретных систем, для которых удалось установить теорему типа Кантора.
7
(0.1)
В 60-е годы ХХ-ого века стали систематически изучаться вопросы единственности для рядов по системам функций, отличным от тригонометрической (системам Радемахера, Хаара. Уолша, Виленкина-Прайса, Фабера-Шаудера, Франклина и ряду других). На развитие данной теории, в особенности на постановку задач, оказала сильное влияние ставшая классической теория единственности тригонометрических рядов. Однако, многие результаты в теории единственности рядов но различным системам оказались отличными от тех, что имеют место для тригонометрической системы, не говоря о том, что развитие этой теории потребовало в подавляющем большинстве случаев разработки совершенно новых методов.
Система Уолша, введенная Дж. Уолшем [240] еще в 1923 году, является простейшим представителем мультипликативных систем, часто называемых сг1стел1ами Виленкина-Прайса. По сути, под системой Уолша подразумевают несколько разных систем (система самого Уолша [240], система Уолша-Качмажа [191], система Уолша-Поли [201]. система Уолша в нумерациях Шиппа [215]), отличающихся, впрочем, лишь перестановками функций внутри двоичных пачек. Интерес к таким системам обусловлен не в последнюю очередь их использованием в прикладных вопросах, таких, как цифровая обработка сигналов, кодирование, распознавание образов. С другой стороны, изучение мультипликативных систем имеет теоретический интерес, так как эти системы служат в гармоническом анализе моделью системы характеров на компактных абелевых группах.
Теория единственности рядов по системе Уолша развивалась под влиянием аналогичной теории для тригонометрической системы. Результаты этих теорий зачастую похожи, но случаются и различия. Тот факт, что пустое множество является {/-множеством для одномерных рядов Уолша, был доказан в 1923 году самим Дж. Уолшем (240). В 1947 году Н.Я. Виленкин [17] распространил этот результат на некоторый класс мультипликативных систем. В 1949 году A.A. Шнейдер [152] и, независимо от него, Н. Файн [184] показали, что любое не более чем счетное множество является U-множеством для рядов Уолша. Среди множеств нулевой меры есть как {/-множества (152), так и М-множества (этот факт был независимо установлен
A.A. Шнейдером [152] и Дж. Кури [177]). Первый пример совершенного М-множества меры нуль фактически содержится в работе В. А. Скворцова [104]. В [93] В. А. Скворцов установил существование совершенного М-множества, хаусдорфова 7>мера которого равна нулю при всех р > 0. Тем самым "жидкое" в определенном смысле множество оказывается М-мпоже-ством. В другом примере, построенном В. А. Скворцовым [89], {/-множество
оказывается в некотором смысле "густым". Отметим, что если рассматривать задачу, является ли симметричное совершенное множество с постоянным отношением С U- или М-множеством для рядов Уолша, то известен лишь результат A.A. Шнейдера [152], утверждающий, что при f = 2_s_1, s Є N, такое множество является //-множеством. В частности, неизвестно, является ли канторовское троичное множество U-множеством для рядов Уолша.
К. Йонеда изучал [244, 245, 247] множества Дирихле для системы Уолша. Напомним (215, глава 7), что множество Е с G называется множеством Дирихле для системы Уолша (а»п(а;)}, если lim infn_»oo snpxeE |1 —а;п(т)| = 0. К. Йонеда доказал [247], что любое множество Дирихле является ^/-множеством для-одномерных рядов Уолша. В [244] К. Йонеда показал, что среди множеств Дирихле для системы Уолша присутствуют множества хаусдор-фовой размерности Г, поэтому существуют //-множеством для рядов Уолша хаусдорфовой размерности 1. При изучении одномерных рядов Уолша было показано, что принадлежность данного множества классу //-множеств или классу М-множеств в значительной степени зависит не от "густоты" множества, а от его арифметической природы. В этом смысле результаты о6U-множествах для рядов Уолша похожи на аналогичные результаты для тригонометрической системы. Связь вопросов единственности для рядов Уолша и для рядов по мультипликативным системам с аналитической теорией чисел изучена также Б. Обергином [165].
Теорему типа Бари для рядов Уолша доказал В. Вэйд [236]. В работе [214] Ф. Шипи построил пример нуль-ряда по системе Уолша с неотрицательными частичными суммами. Р. И. Овсепян распространил [73] этот результат на произвольные системы по переставленным функциям Уолша.
В одномерном случае имеется достаточно много результатов, касающихся проблемы восстановления коэффициентов рядов Уолша. Первый результат в этом направлении принадлежит Н. Файну [184]: если ряд Уолша сходится к конечной функции / Є L(G) всюду вне счетного множества, где, тем не менее, сходится ряд
оо 71=0
то исходный ряд является рядом Фурье-Уолша функции /. Следующий, достаточно общий результат был получен в 1964 году Ф. Г. Арутюняном и A.A. Талаляном [6]. Если коэффициенты ряда Уолша стремятся к нулю, а подпоследовательность частичных сумм S2kj(t) сходится к конечной суммируемой функции /, то данный ряд является рядом Фурье-Уолша функции
9
£
I
un{z) dz,
(0.2)
/. Теорема Арутюняпа-Талаляна для рядов Уолша показывает, что условие сходимости ряда (0.2) в работе Н. Файна, а также требование сходимости всей последовательности частичных сумм ряда Уолша являются избыточными. С последним, более жестким, чем у Ф.Г. Арутюняна и A.A. Та-лаляна, требованием, теорема была доказана Р. Криттенденом и В. Шапиро [178]. Ф. Г. Арутюнян показал [3], что теорема Арутюняна--Талаляна остается в силе, если функция / интегрируема в смысле широкого интеграла Даижуа, но при этом сходится вся последовательность частичных сумм, а не подпоследовательность. Ряд обобщений некоторых результатов, описанных выше, был получен В. А. Скворцовым |97]. Важным шагом в данном направлении явилось построение интеграла, относительно которого всякий сходящийся всюду к конечной функции ряд Уолша является рядом Фурье-Уолша своей суммы. В. А. Скворцов первым построил [90] такой интеграл, который был назван интегралом Хаара-Даиэ/суа или НD-интегралом.
Многие из представленных выше результатов позже были обобщены на случай систем Виленкина-Прайса, а также на ряды по системам характеров нуль-мерных групп (см., напр., работы В. Вэйда [235, 238], В. А. Скворцова [100, 225], И.И. Тузиковой [135], H.A. Бокаева и В.А. Скворцова [16], Д. Харриса [190], В. А. Скворцова и М. П. Королевой (106], В. В. Костина [52, 54], В. А. Скворцова и Ф. Тулоне [108, 109], Н. С. Поляковой [82]). Вопросам единственности для рядов Уолша посвящены также работы К. Йонс-ды [251], В. Вэйда [230. 233], К. Йонеды и В. Вэйда [239], Г. М. Мушегяна [65],
В.А. Скворцова [88, 92, 95, 96, 101], H.H. Холщевииковой [142, 145, 147], Ш.Т. Тетунашвили [130, 132], Г. Г. Геворкяна [24, 29, 187], II. Б. Погося-на [81], H.A. Бокаева [13], H.A. Бокаева и М. А. Нурханова [15] и ряд других.
: Для множеств относительной единственности рядов Уолша известен сле-
дующий важный результат, принадлежащий В. Шапиро [223]. Пусть е = {£■„} — монотонно убывающая к нулю последовательность, 0(e) — класс одномерных рядов Уолша с коэффициентами Ьп такими, что |6П| < еп для всех п. Тогда для всякого ö > 0 существуют U(©(е))-множества, мера которых больше, чем 1 — 5. Теорему Шапиро усилили, доказав наличие (/(©(е))-мно-жеств полной меры, А. В. Бахшецян [10] и Г. Г. Геворкян [29]. Теорема Шапиро является аналогом известной теоремы Зигмунда (|256], см. также [9, гл. 14], [44, гл. 9]) для тригонометрических рядов. Теоремы А. В. Бахшецяна и Г. Г. Геворкяна являются аналоями теорем Кахана-Кацнельсона [192] (в одномерном случае) и Ш.Т. Тетунашвили [127] (в многомерном случае при сходимости по прямоугольникам), установленных для тригонометрических рядов.
10
Множества относительной единственности для рядов Уолша изучались также в работах Р. Криттендена и В. Шапиро [178], В. Вэйда [237], К. Йо-неды [242, 249, 250, 252. 253], В. Вэйда и К. Йонеды [239]. В этих работах использовалась несколько другая терминология. Пусть © — некоторый класс рядов Уолша. Скажем, что множество Е С G является М(©)-множеством, если существует ряд bnWn(t) е © такой, что lim*^ J2n=o bnwn(t) = О на G \ Е. Если множество Е С G не является М(©)-множеством, то оно называется U(в)-множеством.
Пусть Q — класс рядов Уолша, частичные суммы Sn которых всюду на G удовлетворяют условию
52*М — Ьf(2fc), к —» оо
{условие Криттендена-Шапиро [178]). Р. Криттенден и В. Шапиро доказали [178], что борелевское множество А С G принадлежит классу U{Q) тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. В. Вэйд [237] и К. Йо-неда [250] рассмотрели класс Fa (сх € R) рядов Уолша, для коэффициентов Ъп которых выполнено условие
оо
б£пв_1 < ОО.
л=0
Из результатов работ [237] и [250] вытекает, что если 0 < а < 1, то замкнутое множество Е С G принадлежит классу U{FQ) тогда и только тогда, когда его a-емкость равна нулю, с*-ем кость множества является характеристикой, близкой к хаусдорфовой a-мере, поэтому интересно сопоставить данные результаты с установленными в главе б для рядов Хаара теоремами
6.10, 6.15 и 6.21.
Результаты другого типа получены в работе Р. И. Овсепяна [74], где на языке единственности изучалась возможность различать классы коэффициентов рядов. Пусть Up (Мр) означает семейство {/-множеств (М-множеств) для класса рядов с коэффициентами из 1Р. В [74] были приведены примеры ортонормированных систем, для которых пустое множество является Мр-множеством для одногор и {/^-множеством для всех <7 < р или М (©(^-множеством при фиксированном е = {е^} с еп \ 0, ^2 ej* = о° и {/-множеством для класса рядов с коэффициентами порядка о(еп). Подобные теоремы были получены для системы Радемахера А. В. Бахшецяном [IX], а для систем Хаара, Уолша и тригонометрической — Г. Г. Геворкяном [21, 27,187]. В частности, в работе [187] Г. Г. Геворкян установил окончательный результат для системы Уолша: для любой монотонно убывающей к нулю последовательности е = {еп} существует М(е)-множество, являющееся одновременно {/-
множеством для класса рядов с коэффициентами порядка о{еп).
11
Важным случаем множеств относительной единственности для рядов Уолша являются множества единственности для системы Радемахера. Фундаментальные результаты о таких множествах получены в 1962 году С. Б. Стеч-киным и П. Л. Ульяновым [113]. Позже эти результаты были обобщены и уточнены в работах A.B. Бахшецяна [11] и H.II. Холщевниковой [146].
Множества относительной единственности для рядов Уолша также изучались в работах В. Вэйда [231], Ш. Т. Тетунашвили [128], Г. Г. Геворкяна [26],
С.Ф. Лукомского [57] и ряде других. Подробное описание части результатов о единственности рядов Уолша можно найти в обзорах Л. А. Балашова и А. И. Рубинштейна [7|, И. А. Виноградовой и В. А. Скворцова [18], В. Вэйда [233], A.A. Талаляна и Р.И. Овсепяна [126].
Еще одной хорошо известной системой функций, которая начала активно изучаться в 60-е года ХХ-ого века, является система Хаара, впервые рассмотренная А. Хааром [189] еще в 1910 году. Система Хаара является первым и наиболее простым примером системы всплесков (вейвлетов), теория которых сейчас интенсивно развивается. Кроме того, эта система, как показано в работах П. Л. Ульянова (см., напр., [136, 137]), являющегося инициатором глубокого изучения системы Хаара, а также А. М. Олевского (см., напр., [198]), играет важную роль в общей теории ортогональных рядов, где с ее помощью были решены многие задачи.
Системы Хаара и Уолша тесно связаны между собой. Любая функция одной из этих систем является линейной комбинацией конечного числа функций другой системы. Несмотря на такую тесную связь, теория единственности рядов Хаара сильно отличается от теории единственности рядов Уолша.
То, что пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, было доказано самим А. Хааром [189] еще в 1910 году, однако доказательство содержало ошибку. Верное доказательство вытекает из появившихся одновременно в 1964 году работ Ф.Г. Арутюняна [4], Ф.Г. Арутюняна и
A.A. Талаляна [6], М.Б. Петровской [79], В.А. Скворцова [105]. Однако, любое одноточечное множество уже является М-множеством для таких рядов (для множества А = {1/2} — результат Г. Фабера [181], в общем случае — результат Дж. Мак-Лафлина и Дж. Прайса [196]). Таким образом, в отличие от рядов Уолша или тригонометрических только пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара. В связи с этим для получения теорем единственности для рядов Хаара необходимо налагать ограничения на поведение коэффициентов или частичных сумм таких рядов. Актуальной задачей для таких рядов становится изучение множеств относительной единственности.
В теории рядов Хаара X^nLo °пХп(х) очень важную pojn> играет следующее условие на поведение общего члена ряда:
<htXn{x) = ох (п), п > оо. (0.3)
Условие (0.3), введенное в работе (6], называется условием Арутюняна-Та-лаляпа. Пусть Эдт обозначает класс одномерных рядов Хаара, всюду на [0,1] удовлетворяющих условию (0.3). Г. М. Мушегян дал [6б| полное описание и(Элт)- и М(0лг)-множеств, доказав, что множество А С [ОД] является М(влгЭ-множеством тогда и только тогда, когда А содержит непустое совершенное подмножество. Отсюда вытекает, что борелевское множество А С [0,1] является U(©лг)-множеством тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. Результат Г. М. Мушегяна был перенесен В. А. Скворцовым на многомерный случай при сходимости но прямоугольникам [99].
Естественным расширением условия Арутюняна-Талаляна является следующее условие на поведение коэффициентов рядов Хаара, которое рассмотрел В. Вэйд [234]:
ап — 5(пр-1/2), тг оо. (0.4)
Прир = 1 условие (0.4) превращается в равномерный аналог условия Арутюняна-Талаляна.
Пусть ©р означает класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (0.4). Из результатов работ [4, б, 66, 79, 105, 181, 196] вытекает', что при р > 1 пустое множество и только оно является [/(&р)-множеством, а при р = 1 борелевское множество является [/(Ор)~множеством тогда и только тогда, когда оно не более чем счетно. Г. М. Мушегян показал [62; 66] наличие совершенных С/(©р)-множеств при р < 1. Следующие результаты доказал В. Вэйд [234]. При всех р < 0 существуют (/(@р)-множества, лебегова мера которых сколь угодно близка к единице. Для 0 < р < 1 верна теорема типа Бари: объединение не более чем счетного семейства замкнутых U(Op)-множеств является U(©р)-множеством (при р = 0 нужно дополнительно предполагать, что исходные U(QP)-множества имеют лебегову меру нуль). При этом не было явного описания класса таких множеств.
Ряд работ был посвящен проблеме восстановления коэффициентов рядов Хаара. В. А. Скворцов доказал [105], что если ряд по системе Хаара сходится всюду на [0,1] к ограниченной функции, то он есть ее ряд Фурье-Хаара. М. Б. Петровская обобщила [80] этот результат, показав, что в нем достаточно требовать сходимости вне счетного множества, добавив при этом требование стремления к нулю общего члена ряда. В другой работе [79] она доказала справедливость результата В. А. Скворцова при замене ограниченной функции на суммируемую. Следующий достаточно общий результат был получен в 1964 году Ф.Г. Арутюняном и A.A. Талаляном [б]. Если
ряд Хаара всюду на [0,1] удовлетворяет условию Арутюнина-Талаляна. а подпоследовательность частичных сумм S2k3 (х) сходится к конечной суммируемой функции /, то данный ряд является рядом Фурье-Хаара функции/. Нарушение условия Арутюняна—Талаляна хотя бы в одной точке приводит к тому, что утверждение теоремы перестает быть верным. Ф. Г. Арутюнян показал [3], что теорема Арутюняиа-Талаляна остается в силе, если функция / интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа, но при этом сходится вся последовательность частичных сумм. Г. М. Мушегян рассматривал (63, 64, 65] ряды по переставленным системам Хаара. В частности, в [63] было доказано, что если переставлен шли ряд Хаара всюду на [0,1] удовлетворяет условию типа Арутюняна-Талаляна и некоторая подпоследовательность частичных сумм всюду вне некоторого счетного множества сходится к конечной функции / 6 Дг[0, 1]: то данный ряд является рядом Фурье-Хаара функции /. При этом данный результат может не иметь место. если предположить, что / € Lp[0,1] для всех р < 2.
Построенный В. А. Скворцовым интеграл Хаара-Даижуа (ЯЛ-интеграл) полностью решает проблему восстановления коэффициентов рядов Хаара. В. А. Скворцовым также было построено семейство интегралов, восстанавливающих коэффициенты рядов Хаара, сходящихся но подпоследовательностям частичных сумм [102].
Вопросы единственности для рядов Хаара, в том числе возможность обобщения описанных выше результатов, изучались также в работах A.A. Талаляна [122, 124], Г. М. Мушегяна [67], В. А. Скворцова [91], В. Вэйда [230], Г. Г. Геворкяна [21, 24, 25, 28, 29], Г. Г. Кемхадзе [49]. Р. Ганди [188], Ш. Т. Те-тунашвили [130, 131, 132], В. В. Костина [53, 54] и ряде других. Подробное описание части результатов о единственности рядов Хаара можно найти в обзорах П.Л. Ульянова [138], Б. И. Голубова [33], И. А. Виноградовой и В. А. Скворцова [18], В. Вэйда [232].
Большой интерес представляет изучение вопросов единственности кратных ортогональных рядов для разных типов сходимости. Однако, переход от одномерного случая к многомерному сильно усложняет задачу. Как отмечено в работе Л. В. Жижиашвили [41], многие утверждения, известные для одномерных числовых или функциональных рядов, без труда переносятся на случай га-кратных (га > 2) рядов. Тем не менее получить в указанном направлении аналоги многих известных результатов очень трудно (и не всегда возможно). Тот факт, что сходящаяся по прямоугольникам последовательность не обязана быть ограниченной, дает простейшее представление о возможных трудностях, характерных для га-кратных последовательностей, а, значит, и для га-кратных рядов. Но сходимость по прямоугольникам имеет
ы
некоторые особенности, позволяющие иногда сводить ее к повторной сходимости. Известен следующий результат [149]. Если дана последовательность
Сходимость по кубам (сходимость по квадратам в случае т = 2) и сходимость но р-ограниченным прямоугольникам (иначе, /^-сходимость), являющаяся промежуточной между сходимостью но прямоугольникам и сходимостью по кубам, устроены гораздо сложней. Нетрудно показать, что для таких типов сходимости утверждение выше не является верным. Например, уже в двумерном случае для любых щ, у.2 £ К и {сю} существует двойная последовательность ипиПи такая, что
Тем самым уже для числовых последовательностей обнаруживается большое различие между сходимостью по прямоугольникам и сходимостью но кубам. Подобная ситуация наблюдается часто и при сравнении сходимости по прямоугольникам и р-сходимости.
Вопросы единственности для кратных тригонометрических рядов изучались в работах X. Гейрингер [185], В. Шапиро [216, 217, 218, 219, 220, 221, 222], В.Ф. Гапошкина [20], Р. Кука [176], Дж. М. Эша и Г. Вэлланда [163, 164], Дж.М. Эша [155], В. Конна [175], Ж. Бургсйна [171], М.Х. Насибо-
цова и A.A. Талаляна [107], Чэн Минь-Дэ и Чэнь Юнь-Хэ [150], Г.Г. Геворкяна [22, 23], Ш.Т. Тегу наш вил и [127, 129, 133, 134], H.H. Холщевнико-вой [140, 144], Дж.М. Эша, К. Фрейлина и Д. Ринна [156], В.А. Скворцова [226], Л.Д. Гоголадзе [30, 31], С. Ш. Галстяна [19], Дж. М. Эша и Г. Вонга [159, 161, 162], Дж.М. Эша и Ш.Т. Тетунашвили [157, 158], Т.А. Жеребьевой [38] и ряде других. Еще в 1918 году в работе X. Гейрингер [185] появилось ошибочное доказательство теоремы типа Кантора для таких рядов при сходимости по прямоугольникам. И только в начале 90-х годов ХХ-ого века в работах Ш. Т. Тетунашвили [129, 133) было найдено верное доказательство. В работе [129] был разработан замечательный метод сведения прямоугольной сходимости кратных тригонометрических рядов к
Uni,...,n»’ причем
lim
min{ni,...,nm}—юо
lim [ lim
ТХт—'ОО у min{ni,...,nm_l}—*оо
= и.
ва [69, 70], A.A. Талаляна [115,116,117,118,119,120,121,123], В. А. Сквор-
повторной, позволивший, в частности, доказать, что любое счетное множество является (/-множеством для кратных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, а также построить широкий класс континуальных (/-множеств (более слабый результат, состоящий в том, что пустое множество является (/-множеством для двойных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам, был доказан в 1972 г. Дж. М. Эшем и Г. Вэлландом [164]). Еще более широкие классы континуальных (/-множеств были построены в недавних работах Л. Д. Гоголадзе (30, 31] и Т. А. Жеребьевой (38]. Аналог теоремы Кантора установлен для сферической сходимости (в двумерном случае этот факт — следствие результатов В. Шапиро [222] и Р. Кука (176], в общем случае — результат Ж. Вургейна [171]), но до сих нор неизвестно, является ли хотя бы пустое множество (/-множеством при сходимости по кубам или /всходимости. Открытым остается, причем для любого из основных типов сходимости, и следующий фундаментальный вопрос: всякое ли множество положительной меры является М-множеством? Проблема восстановления коэффициентов повторно сходящихся (а значит, согласно результатам Ш.Т. Тетунашвили, и сходящихся по прямоугольникам) вне счетного множества кратных тригонометрических рядов решена
В. А. Скворцовым [226]. Теорема типа Бари для кратных тригонометрических рядов при сходимости по прямоугольникам была доказана Н. Н. Хол-щевниковой [144]. Результаты работ, описанных в этом абзаце, частично освещены в обзорах Б. И. Голубова [32], М. И. Дьяченко [37]. Дж. М. Эша и Г. Вонга [159].
Рассмотрим случай кратных рядов- Уолша. Пусть (/ГСС1,т5 (/сиЬе,т и
и&сиЬе.ш обозначают классы (/-множеств для 7 д-к ратных рядов Уолша на группе (7т при сходимости по прямоугольникам, р-сходи мости (р е (0,1]), сходимости по кубам и сходимости по двоичным кубам, соответственно.
X. О. Мовсисян [61] и, независимо, В. А. Скворцов [98] доказали, что любое не более чем счетное множество является (/гес^яг*множеством. Более того, из результатов данных работ вытекает, что любое объединение счетного числа гиперплоскостей, является (/гсс^т-множеством. Более широкие классы несчетных измеримых £/гес^т-множеств построены С. Ф. Лукомским [58], Л. Д. Гоголадзе [30, 31] и Т. А. Жеребьевой (39, 40]. С. Ф. Лукомский доказал [194], что игесцт Ф ир,т Для всех р € (0,1]. Из работ С. Ф. Луком-ского [59] и Н. С. Моревой [60] вытекает, что класс (Л1СиЬе,т состоит лишь из пустого множества. Ф. Вэйс доказал [241], что если частичные суммы б")«! 21%т 771-кратного ряда Уолша удовлетворяют условию
Нтэир |£г2п1,...,2п"*(£15 • • • »*т)| < °°
10
всюду на Gm вне счетного множества точек и при этом
lim =0 по мере,
то все коэффициенты этого ряда равны нулю. Теорему типа Бари для[/геС1,т-множесгв доказала H.H. Холщевиикова [144]. Отметим также следующую важную теорему С. Ф. Лукомского [58] о структуре [/гссцт-миожеств: множество А С [0, llm_1 является [/rect,m-i-множеством тогда и только тогда, когда множество А х [0,1] С [0,1]т является £/гесг,т-множеством.
Для кратных рядов Уолша первые результаты, касающиеся проблемы восстановления коэффициентов, были получены X. О. Мовсисяном [61] и
В. А. Скворцовым [98]. В частности, хорошо известны следующие теоремы В. А. Скворцова. Если кратный ряд Уолша сходится по прямоугольникам всюду, кроме, быть может, счетного множества, к конечной функции /, интегрируемой в смысле нерегулярного интеграла Перрона, то этот ряд является рядом Фурье-Псррона-Уолша функции /. Можно предполагать, что ряд сходится лишь по подпоследовательности прямоугольных частичных сумм, но тогда надо дополнительно требовать выполнения некоторых естественных условий на поведение коэффициентов ряда. В работах В. А. Скворцова [224, 225] анонсирован интеграл, относительно которого всякий сходящийся по прямоугольникам всюду к конечной функции кратный ряд Уолша является рядом Фурье-Уолша своей суммы. В работах Т. А. Жеребьевой (39, 40] и JI. Д. Гоголадзе [30] теоремы типа Валле-Пуссена были доказаны для кратных рядов Уолша, сходящихся по прямоугольникам к конечной суммируемой функции вне [/-множеств из достаточно широкого класса.
Вопросам единственности кратных рядов Хаара посвящено не так много работ. Несложно показать, что любое одноточечное множество является М-множеством и для кратных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам или кубам. Что касается пустого множества, то оно является [/-множеством для кратных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам (этот факт следует из работ Х.О. Мовсисяна [61] и В. А. Скворцова [99]).
Для кратных рядов Хаара первые результаты, касающиеся проблемы восстановления коэффициентов, были получены Х.О. Мовсисяном [61], А. Д. Эбралидзе [153] и В. А. Скворцовым [98, 99]. Некоторые обобщения этих результатов можно найти в работах [94, 107]. В частности, хорошо известны следующие теоремы В. А. Скворцова. Если кратный ряд Хаара сходится по прямоугольникам всюду к конечной функции /, интегрируемой в смысле нерегулярного интеграла Перрона, то этот ряд является рядом Фурье-Перрона-Хаара функции /. Можно предполагать [98], что ряд сходится лишь по подпоследовательности прямоугольных частичных сумм и
лишь вне счетного множества, но тогда надо дополнительно требовать выполнения некоторых многомерных аналогов условия Арутюняна-Талаляна. Часть результатов распространена на кратные ряды по обобщенным системам Хаара H.A. Бокаевым [14]. В работах В.А. Скворцова [224, 225] был анонсирован интеграл, восстанавливающий по обобщенным формулам Фурье коэффициенты сходящихся но прямоугольникам кратных рядов Хаара.
Для сходимости по кубам или /^-сходимости имеется крайне мало результатов о множествах единственности и о проблеме восстановления коэффициентов. Это касается и кратных тригонометрических рядов, и кратных рядов Уолша, и кратных рядов Хаара. В работах Дж.М. Эша и Ш.Т. Те-туиашвили [158] и А. А. Талаляна [118] получены некоторые результаты о > единственности кратных рядов Уолша и тригонометрических при сходимости по кубам или даже при более слабых предположениях, однако, в этих работах накладываются ограничения, пусть и достаточно мягкие, на поведение коэффициентов или частичных сумм рядов.
Если же не рассматривать никаких ограничений, то, как уже упоминалось, для кратных тригонометрических рядов до сих пор неизвестно, является ли хотя бы пустое множество [/-множеством при сходимости по кубам или /9-сходимости. Аналогичный вопрос остается открытым и для кратных рядов Уолша на единичном кубе [О, l]w. Если же рассматривать одномерные функции Уолша на двоичной группе С, являющейся естественной областью определения таких функций, то для кратных рядов Уолша на группе Gm до недавнего времени были получены, по-видимому,.лишь следующие два результата о множествах единственности при сходимости но кубам или р-сходимости, принадлежащие С.Ф. Лукомскому [59, 194]. Пустое множество является [/-множеством для кратных рядов Уолша на группе Gm при сходимости по кубам или р-сходимости (на самом деле рассуждения С. Ф. Лу-комского доказывают аналогичный факт и для кратных рядов Хаара на группе Gm). Кроме того, при любом р £ (0,1] класс £/р>т-множеств не совпадает с классом [/rcct.m-множеств. Для кратных рядов Хаара на единичном кубе [0,1]т до последнего времени fie было известно даже, является ли пустое множество /[-множеством для таких рядов при сходимости по кубам или р-сходимости.
При изучении вопросов единственности для ортогональных рядов часто оказывается важным оценивать коэффициенты сходящихся рядов. Известная теорема Кантора-Лебега утверждает, что коэффициенты одномерного тригонометрического ряда, сходящегося (к конечной функции) на множестве положительной меры, стремятся к нулю. Для одномерных рядов Уолша на группе G дело обстоит даже проще: для стремления коэффициентов к нулю достаточно сходимости в одной лишь точке.
18
Для кратных рядов известны следующие результаты. Пусть
+ ОС +оо
СО = £ ••• Е ^ 1Пгае***“+~+""‘--> (0.5)
Пі=-сх> пт=-оо
— т-кратный тригонометрический ряд на [—7г,тг)т, п = (щ,... ,Птп) Є £т, ||п|| = тіп{|п.і|,..., |пт|}, |||п||| = гпах{|п1|....,|пт|}. В 1972 году Дж. М. Эш и Г. Вэлланд доказали (164), что если ряд вида (0.5) сходится по прямоугольникам на множестве положительной меры, то коэффициенты сп этого ряда ограничены и стремятся к нулю при ||п[| —> оо. В случае т = 2 этот результат получили ранее Г. Ревеш и О. Шаш [207].
При сходимости по кубам или />-сходимости последнее утверждение перестает быть верным. Тем не менее, коэффициенты рядов (0.5), сходящихся таким образом, не могут расти очень быстро. В 1958 году II. Коэн показал [174] (см. также [104]), что если ряд (Т) вида (0.5) сходится по кубам на множестве полной меры, то коэффициенты этого ряда имеют рост слабее экспоненциального. Последнее означает, что для всякого 7 > 1 найдется 6= Ь((Т),7) такое, что
Ы < б7|1|пШ
для всех п Є Ът. В 1997 году Дж. М. Эш и Г. Вонг доказали [160] в двумерном случае, что результат Коэна точен в том смысле, что для любой.последовательности <р{п) положительных чисел такой, что Іітэир,^^(</?(п))1//п < 1, найдутся всюду сходящийся по кубам ряд (0.5) и С > 0 такие, что
с-ЧКПЫН) < Ы < соннії)
для некоторой подпоследовательности коэффициентов Сп,. Теоремы Коэна, Эша и Вонга с естественными изменениями справедливы и для /2-сходимости.
В 1973 году в работе [98] В. А. Скворцов доказал, что если т-кратный ряд Уолша сходится по прямоугольникам к конечной сумме во всех точках "креста"
({ж,} х [0,1)™-1) и ([0,1] х {х2} х [0,1 Г~2) и ... и ([0,1]т-‘ х {хт})
(хі,...,жш — двоично-иррациональные точки), за исключением, быть может, точек из некоторого не более чем счетного множества, то коэффициенты Ьп этого ряда стремятся к нулю, когда |||п||| —♦ оо. Это означает, в частности, что коэффициенты ряда ограничены. В 1973 году в другой работе [99) В. А. Скворцовым было показано, что если т-кратный ряд Хаара сходится к конечной сумме всюду на [0,1]т, то общий член этого ряда
апи...,птХп1 пта(х) есть Ох(П1 * ... • Пт) при |||(пь...,Пт)||| ОО ВСЮДУ
на [0,1]т, то есть для этого ряда выполнен сильный многомерный аналог условия Арутюняна-Талаляна.
19
Изучению возможности распространения теоремы Кантора-Лебега на случай кратных рядов по различным ортогональным системам для разных типов сходимости посвящены также работы А. Зигмунда [255], С. Б. Стечки-на [112], Р. Кука [176], В. С. Панферова [76, 77], Ю. А. Зайцева [42], а также много других работ.
Помимо изучения вопросов единственности рядов Хаара и Уолша, значительная часть работы посвящена вопросам, которые можно отнести к теории меры и теории обобщенных интегралов. Обоснованием такого подхода служат два обстоятельства. Во-первых, одной из главных целей развития теории обобщенных интегралов всегда было ее приложение к теории ортогональных рядов, особенно к теории единственности. Во-вторых, важным инструментом получения результатов, относящихся к теории ортогональных рядов, является техника формального интегрирования рядов, фактически позволяющая свести изучение ортогональных рядов к изучению некоторых объектов (в некоторых случаях их называют квазимерами), обладающих рядом свойств мер. В частности, важную роль играет изучение дифференциальных свойств и гладкости таких объектов.
В связи с этим одной из главных задач работы является изучение некоторых вопросов теории меры и теории обобщенных интегралов с целью их применения к теории единственности рядов Хаара и Уолша. Причем при изучении одномерных и кратных рядов Хаара (но не Уолша!) обнаружилось очень интересное обстоятельство. Связь между рядами Хаара и квазимерами оказалась настолько тесной, что теорию единственности рядов Хаара (а иногда, как показывает проведенный в пункте 2.10 обзор некоторых результатов, и другие разделы теории рядов Хаара) в определенном смысле можно рассматривать как теорию квазимер. В частности, в главах 4, 5 и б получен ряд дуальных теорем для одномерных или кратных рядов Хаара, с одной стороны, и для квазимер или обобщенных интегралов, с другой. При этом нарушение общности теорем для рядов Хаара происходит ровно тогда, когда нарушается общность теорем для квазимер или обобщенных интегралов. Что интересно, такой тесной связи с квазимерами нет и не может быть для рядов Уолша, несмотря на то, что множества рядов Хаара и рядов Уолша изоморфны.
Метод формального интегрирования — основной метод исследования вопросов единственности рядов Хаара и Уолша в нашей работе. Этот метод, на наш взгляд, особенно эффективен при изучении общих рядов Хаара или Уолша (как одномерных, так и кратных), то есть рядов, не являющихся рядами Фурьс-Хаара или Фурье-Уолша. Теория единственности имеет дело, как правило, именно с такими рядами. Для рядов Уолша метод квазимер впервые рассмотрел Н. Файн [184], а для рядов Хаара — В. А. Скворцов [91].