ОГЛ А ВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ......................................................3
ГЛАВА 1
СКОРОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ МОНОГЕННОСТЬ ФУНКЦИЙ
§1. Вспомогательные результаты................................17
§2. Точки конечной пористости компакта........................22
§3. Теоремы о ”массивности” подмножеств Са(К) ................26
§4. Оценка разностного отношения рациональной функции в точках
Са-плотности .................................................30
§5. Теоремы об асимптотических дифференциальных свойствах в аппро ксимативных классах функций, достаточно быстро приближаемых раци опальными дробями (в терминах плотности относительно ядра Коши) 38
§6. Некоторые вспомогательные неравенства.....................40
§7. Оценка разностного отношения функции класса А(г,п) в терминах
аналитической емкости ........................................50
§8. Теоремы об асимптотической моногенности функций в точке, достаточно быстро приближаемых функциями класса А(г,п) (в терминах аналитической емкости) ..............................57
ГЛАВА 2
ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ В КЛАССАХ СМИРНОВА Ш
§1. Введение. Некоторые применения двойственности в 1Р........63
§2. Вспомогательные результаты. Определения...................68
§3. Леммы об оценках специальных сумм ........................71
§4. Основная теорема об интерполяции в классе Е?' ............75
§5. Некоторые вопросы полноты подклассов в Нр ................77
ГЛАВА 3
РАЗДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ МЕРОМОРФНЫХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. АППРОКСИМАЦИЯ НАИПРОСТЕЙШИМИ ДРОБЯМИ
§1. Оценки интегралов типа Коши. Оценки компонент мероморфных и
гармонических функций .........................................85
§2. О равномерном приближении наипростейшими дробями. Связь с
распределением полюсов наипростейших дробей ..................100
ЛИТЕРАТУРА ...................................................111
2
ВВЕДЕНИЕ
Пусть К - компакт на замкнутой комплексной плоскости С, /(г) -комплекснозначная функция, определенная на К. При целых неотрицательных п через
Дп(Л К) = М{\\/ - Щоо,К • < ц}
обозначим наименьшие равномерные уклонения на К функции / от рациональных функций Н(г) степеней с\egll < п. Первые обратные теоремы теории рациональных аппроксимаций были установлены А.А.Гончаром и Е.П.Долженко. Оказалось, что, в отличие от полиномиального случая, достаточно высокая скорость убывания величин Нп(/,К) гарантирует только лишь аппроксимативные дифференциальные свойства функции /, например, асимптотическую моногенность (т.е. комплексную дифференцируемость) в заданной точке г0 Є К, моногенность почти всюду или вне исключительного множества малой положительной меры и т.п. Связь асимптотических свойств функций (и, вообще, линейных дифференциальных операторов) со скоростью их приближения и метрическими характеристиками компакта К изучалась в работах А.А.Гончара, Е.П.Долженко, А.Г.Витушкина, В.К.Дзядыка, А.А.Пекарского, В.Н.Русака, Е.А.Севастьянова, В.В.Андриевского и других авторов (см., например, работы [11], [12], [21-27], [29], [30], [45], [40], [52], [53]).
В первой главе диссертации найдены некоторые условия на плотность компакта К, достаточные для асимптотической моногенности функции /(г) в наперед заданной точке го Є К при условии достаточно быстрого убывания величин Rn(f,K). Эго условие сформулировано в чисто геометрических терминах локальной пористости компакта (в окрестности точки го). Получены также достаточные для асимптотической моногенности функции /(2) условия на плотность К в терминах локальной аналитической емкости.
Во второй главе диссертации затронуты вопросы, относящиеся к интерполяционной проблеме Неванлинны и Пика. Именно, для односвязной жордановой области О С С найдены условия на последовательности
3
{zj] С G и {д;} С С, достаточные для существования конечного решения / в классе Смирнова Ep[G), р > 1, следующей интерполяционной задачи:
p)/pf(zj) = ал 3 = 1.2,, (1)
где pj = p(zj>dG) - эвклидовы расстояния от Zj до dG. Разрешимость задач типа (1) в классах Харди Нр исследовалась ранее В.П.Хавиным, Ф.А.Шамояном, H.S.Shapiro, A.Shields, J.B. Garnett, P.L.Duren (см., например, [8], [34], [62], [68]) и другими авторами. Обычно в подобных задачах рассматриваются интерполяционные по Карлесоиу (универсальные) последовательности узлов Zj и при этом существенно используется карлесоновость дискретной меры //, сосредоточенной на множестве {zj} и такой, что p{zj) = pj. В диссертации условие универсальности ослаблено; в качестве узлов интерполяции допускаются последовательности {zj}, для которых
S({2j}) = supZp<^pP> \z-Zj |-2< оо, (2)
где sup берется по всем р > 0 и z 6 dG. В данном случае указанная мера р уже, вообще говоря, не является мерой Карлесона и для оценок мшшмальнных 7^,-норм решений / задачи (1) известные методы не применимы. В основном теореме 4.1 второй главы для каждой последовательности {zj}, удовлетворяющей ограничению (2), указаны некоторые неулучшаемые условия на {а,}, достаточные для существования конечного решения задачи (1), и устанавлен точный порядок константы интерполяции.
Третья глава диссертации посвящена некоторым задачам о разделении особенностей функций. Эти задачи возникли в теории аппроксимаций и восходят к работам A.A.Гончара, Л.Л.Григоряна, А.Г.Витушкина, В.П.Хавина, А. А.Пекарского, Е.А. Севастьянова, P.I.Poreda, в которых рассматривалась задача об опенках регулярных компонент мероморфных (субгармонических) в области G С С функций / с заданными граничными свойствами (см., например, работы [6], [13], [14], [17], [19], [33], [47])). Оценки граничного роста решений эллиптических уравнений в областях Rn получены в работах В.А.Кондратьева, Ю.А.Алхутова, И. В .Парамонова (см., например, работы [1], [44]).
4
С предыдущими задачами тесно связана задача о плотности распределения множества особенностей функций с заданными граничными условиями вблизи дО, в частности, обобщенная задача Е.А.Горина о распределении в С полюсов последовательности простейших дробей 0„ (с1её0„ = п) с единичными вычетами, достаточно быстро приближающих на дО заданную непрерывную функцию / (см. работы Е.А.Горина, Е.Г.Николаева, А.О.Гельфонда, В.Э.Кацнельсона [15], [42], [9], [33], [18] и работы других авторов). Такого рода задачи возникают, например, в теории потенциала при распределении единичных зарядов, имеющих заданный потенциал /.
В третьей главе в терминах гриновых потенциалов и емкостей получены оценки ЛАнорм компонент мероморфных функций в единичном круге Д, имеющих определенный рост вблизи его границы д&. Получены также оценки /Г-норм потоков решений уравнения Пуассона в Д через ЗА. Доказан аналог теоремы С.Н.Мергеляна об аппроксимации дробями 0* на не разделяющих плоскость компактах К функций /, непрерывных на К и аналитических во внутренних точках на К и получены некоторые результаты о распределении полюсов дробей 0„.
Результаты диссертации докладывались на школах-конференциях "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 1999, 2000 гг.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2000 г.).
Результаты диссертации докладывались также на научном семинаре в ВГПУ по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В.Жикова (1995-2001 гг.).
5
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
1. Введем характеристику ш(К,г,г) - меру геометрической пористости компакта К С С в его точке .г. При г > 0 положим
и(К, г, г) = 8ир{р{(: К)\(-х Г2: С € С\К, | С - г |< г}.
Определим подмножество (конечной пористости относительно ядра Коши) Са(А') компакта К как множество всех точек 2 таких, что %) = о;(А', г, оо) < оо.
Сходное с предыдущим понятие меры пористости компактов было впервые введено Е.П.Долженко в 1967 году и оказалось очень полезными в теории граничных свойств функций и в теории приближений. В заметке [77] отмечалось, что условие 2 € Са(Аг) необходимо и достаточно для существования в точке 2 оценки бернштейновского типа ’&’(2)| < А(К, 2,с1е^ для рациональных фзшкций Я со сво-
бодными полюсами {т.е. оценка зависит лишь от степени deg Я рациональной функции Я и от ее вир-нормы ЦАЦсс.л- на К). Кроме того, как простое следствие леммы 4 работы [19], в точке 2 £ Са(К) получается точное по порядку степени Я неравенство
| Я'(г) |< А ■ Ш(К, г) Д • || Д||оо,К. (4)
Отметим, что оценка (4) в точке г £ К может иметь место даже в том случае, когда К является лишь счетной совокупностью точек, достаточно "частой” в окрестности 2. В §3 рассматриваются вопросы о массивности подмножеств Са(У<) в случае связных компаков К, имеющих спрямляемую внешнюю границу (периметр), т.е. объединение границ всех смежных с К областей. Например, доказана
Теорема 1. Если К - континуум, внешняя граница которого имеет конечную длину, то множество К\Си(К) имеет пулевую плоскую меру Лебега.
В §4 установлены вспомогательные неравенства для разностных отношений рациональных функций в точках 2 Е Са(А').
6
В §5 найдены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции / в заданой точке 2 компакта. К в терминах скоростей убывания при п -» оо наилучших равномерных приближений функции / рациональными дробями Я степеней
Я < п и величин <д(Я, г, г), г ->• 0.
Напомним определение моногенности по Э.Борслю и Д.Е.Меньшову ([2], [39], [40]). Пусть К Э г - неизолированная точка сгущения компакта К. Скажем, что комплекснозначная функция / имеет в точке 2 моногенный дифференциал относительно К, если она определена всюду К и существует (зависящее от Я, /) число Л(г) со свойством
/(С) - /(г) = А(г) ■ (С - г) + Щ - г), К В < -»■ г.
Пусть 2 является точкой положительной тевг-плотности компакта Я. Функция / называется асимптотически моногенной в точке 2 относительно К (в дальнейшем пишем / е МДГ2(Я, 2)), если она имеет в 2 моногенный дифференциал относительно Я П Е. где Я - некоторый компакт, для которого 2 является точкой (полной) тевг-плотности, т.е. теБ2(Д(2;г)\Я) = Щг2), где Д(2;г) = {( :| С ~ 2 |< г}. В этом случае число А(г) = /оь(г) определяется однозначно и называется асимптотической производной относительно множества К. При условии /аа е МЯ2(Я, 2) аналогично определяется асимптотическая производная /!(2)(г) (относительно Я) второго порядка и т.д.
Пусть {5^}^! - некоторая последовательность чисел 5* > 1. Определим при 0 < г < 1 целочисленную функцию N (г). Если 5^.2 > г“1 при всех ^ 6 ±У, то полагаем Я (г) = 1. В противном случае полагаем
Я(г) := тах{& : 5*2* < г“1, /с € К).
Теорема 2 [71]. Пусть {5*}ь=1 " некоторая последовательность чисел 5* > 1. Тогда, есл и при г —» 0 имеем
и(К, г, г) 5,1 = о(1) & 5*2*«*» (/. *) <
то / € МЯ2(Я. 2). В частности, если при некотором, є Є (0,1] имеем и>(К. 2, г) ЬУ г = о(1) при г —^ 0, и 1п1-с пЯ„(/, Я) < ос, то { Є А/іУ2(Я,2).
7
В §5 доказана также теорема об аппроксимации на подмножествах компакта К линейных дифференциальных операторов вида D^\f) := aN{z)f№](z) + ... + a0(z)f(z) с комплекснозначными коэффициентами апу п = О, где N - фиксированное натуральное число. Пусть существует набор компактов К = К0 D К\ Э ... D KN, в котором для всех номеров 1 <71 < N имеем w(Kn^i,Z,r) = о(1) И LU(Kn-Uz) < Л(К) при г 0 и z € Кп. Пусть, кроме того, во всех своих точках компакт Кдг имеет положительную mes2-плотность. Тогда справедливо следующее предложение.
Теорема 3. Если
M(f) := £ njV_1 ln1+f< ос, с > О,
n=l
функция f имеет относительно А'.у все асимптотические производные до порядка N включительно. Кроме того, D^N\li2>{z)) -4 Dls4f(Z)) пРи s -* ос для рациональных функций наилучшего приближения R,2»(z) равномерно по z Є Адг, где
DW(R2.(z)) = о^(г)^}(г) + a0,s(z)R2.(z),
a an^(z) —» a„(z) при -s —> ос равномерно по z на К. При этом sup-норма DaT}{f(z)) на Kn оценивается через Л тах„ ||anj|co,/^M(/).
В §5 показано также, что условие z Є Са(А’) нельзя ослабить ни в теореме 2, ни в других аналогичных теоремах из §5, а при 2 Є Са(АГ) нельзя также существенно ослабить и условия на скорость убывания величин Rn(f, К).
В §6- §8 при изучении сходных вопросов о моногенности / применяется аппарат аналитической емкости. Пусть К - компакт на С, z ^ К, G(K, z) - связная компонента множества С\АГ, содержащая точку 2. Напомним, что аналитической емкостью компакта К относительно точки £ называется величина ъ(К) ~ sup{|Ф'(^)j}, где sup берется по всем голоморфным в области G(K, z) функциям Ф, удовлетворяющим условиям Ф(г) = 0 и sup{|Ф(С)| : С Є G(K,z)} < 1 (см., например, [6], [7]). Для произвольного множества М С С и точки 2 ^ М полагают 7г(М) = sup{72(A")}, где sup берется по всем компактам К С М.
8
Введем одно обобщение класса рациональных функций. Скажем, что при фиксированных z G С и п 6 N однозначная функция Ф(£) принадлежит классу А(г,п), если область ее определения на С (т.е. полная область аналитичности в смысле Вейерштрасса) содержит точку z и является не более чем п-связной.
В §8 установлены достаточные условия для асимптотической моногенности комплекснозначной функции /(() в точке 2 континуума К в терминах локальной аналитической емкости (в окрестности точки z) и скоростей убывания при п —> оо наименьших уклонений
Фп(/, К) = inf{||/ - ФЦоол}»
где нижняя грань берется по всем функциям Ф € А(2,п), аналитическим на А. Приведем один результат.
Теорема 3 [71]. Пусть К - континуум и некоторая последовательность чисел Г}. 6 (0,1/2) удовлетворяет условиям
YZ=i 2*Гкъ(&{г-,гк)\К) < оо; г*'Ф2*(/, Щ < оо.
Тогда / 6 MN<l(K,z).
В §8 получены также достаточные условия и для усиленной асимптотической моногенности MNi(K)Z), где мерой исключаемых множеств служит длина обхвата их границ.
2. Вторая глава посвящена одной обратной задаче теории интерполяции о весовой интерполяции функциями из класса Смирнова Ер. Скажем, что односвязная жорданова область G С С принадлежит классу А Альфорса [46], если ее граница 7 содержит более одной точки, локально спрямляема и имеет конечную 1-плотность
ft(7) := sup{mesi(7 П d)/diam(£)} < 00,
где sup берется по всем открытым кругам 6. Напомним, что некоторая последовательность Л = {2/}^ С G называется интерполяционной по Карлесону, если для любого набора комплексных чисел {aj}JL 1 € 1‘ с нормировкой
11«,111— = sup{| aj I : j e N} < 1
9
- Київ+380960830922