Содержание
2
Введение 3
1. Емкости конденсаторов и квадратичные дифференциалы 19
1.1. Обобщенные конденсаторы................................ 19
1.2. Асимптотические формулы................................ 22
1.3. Квадратичные дифференциалы............................. 26
2. Экстремальные разбиения 33
2.1. Необходимые условия.................................... 33
2.2. Фиксированные полюса................................... 41
2.3. Свободные полюса....................................... 48
2.4. Мебиусовы инварианты................................... 60
2.5. Задача о четырех неналегающих областях................. 73
3. Приложения в теории функций 83
3.1. Мероморфные функции без общих значений................. 83
3.2. Многоточечные теоремы искажения........................103
3.3. Оценки начальных коэффициентов в классе ................Ю9
3.4. Неравенства для полиномов............................. 116
Список литературы 123
г
з
Введение
В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают значительное место в геометрической теории функций и имеют богатую историю (см. монографии [17, 39], а также обзоры [32, 72. 73]). Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей. Эта тематика восходит к знаменитой статье М.А. Лаврентьева 1934 года [85] и впоследствии была развита в работах П.П. Куфарева [84], Г.М. Голузина [24, 25],
3. Нехари [107], Ю.Е. Аленицына [1], Н.А. Лебедева [80], Дж. Дженкинса [28], Г.В. Кузьминой [09]—[71], [74], И.П. Митюка [87, 88] и других математиков. Современные задачи об экстремальном разбиении включают в себя различные типы модулей и приведенных модулей непересекающих-ся областей. Значительные результаты в решении такого рода задач установлены в работах Г.В. Кузьминой [75]—[82], П. Дюрена и М. Шиффера [97, 100, 110], А.К. Бахтина и его учеников [5] - [15], [18, 19, 91], С.И. Федорова [92], Е.Г. Емельянова [49]—[54], А.Ю. Солынина [90], А.Ю. Васильева [114] и многих других. Основными методами при решении этих задач являлись: вариационный метод, метод экстремальных метрик и метод площадей. В последние десятилетия ряд задач об экстремальном разбиении был решен В.Н. Дубининым и его учениками Е.Г. Прилепкиной, Л.В. Ковалевым, Е.В. Костюченко и Н.В. Эйрих с помощью свойств емкостей обобщенных конденсаторов и симметризации [30]—[37], [43]—[45], [48]. [63]—[05], [68]. Развитие методов симметризации в задачах геометрической теории функций связано с именами В.К. Хеймана, Дж. Дженкинса, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, М. Маркуса, Д. Ахаронова, А. Бернстайна, В.А. Шлыка,
/
4
В.Н. Дубинина, АЛО. Солынина и других авторов.
Вместе с тем, многие задачи об экстремальном разбиении, в особенности со свободными полюсами, остаются нерешенными. В частности, неизвестно насколько в традиционных задачах о неналегающих областях внутренние радиусы можно заменить на радиусы Робена (о емкости Робена, функции и радиусе Робена см. [29, 36, 37, 94, 90, 98, 99, 102, 113]); как выглядят экстремальные разбиения, если на экстремум исследовать функционалы, зависящие от последующих коэффициентов в разложении функции Грина (функции Робена); каковы экстремальные разбиения в случае свободных полюсов на отрезке, на луче и других подмножествах комплексной сферы; каковы экстремальные разбиения для мебиусовых инвариантов, связанных с неналегающими областями.
Хорошо известно, что к задачам об экстремальном разбиении сводятся многие другие вопросы геометрической теории функций (см. [25, 39], а также обзоры [32, 72, 73]). Таким образом, от решения этих задач во многом зависит прогресс в исследовании смежных проблем: оценок коэффициентов, доказательств теорем покрытия и теорем искажения для однолистных и многолистных функций, получение метрических свойств подмножеств комплексной сферы и так далее.
Цель диссертационной работы - развить технику емкостей конденсаторов и симметризации в решении задач об экстремальном разбиении и дать новые приложения экстремальных разбиений в традиционных разделах геометрической теории функций комплексного переменного.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1. дается определение обобщенного конденсатора и формулируются
необходимые свойства емкости конденсатора: монотонность, принцип симметрии, принципы композиции. Параграф 1.2. содержит асимптотические формулы для емкостей конденсаторов, в одной из которых участвуют, так называемые, радиусы Робена. Пусть область D С С ограничена конечным числом аналитических жордановых кривых, Г - непустое замкнутое подмножество dD, состоящее из конечного числа невырожденных жордановых дуг, и пусть а - конечная точка области D. Функция Робена а, Г) определяется как вещественная непрерывная функция на D \ {а} (D означает компактификацию D посредством простых концов Каратсодори, граница dD - совокупность простых концов), непрерывно дифференцируемая на D \ (Г U {а}), гармоническая в D \ {а} и удовлетворяющая следующим условиям:
gD(z,a,T) = 0 при гбГ,
л
—gD{z,a, Г) = 0 при zedD\V,
дп{г,а, Г) -f- log |-г — а| - гармоническая функция в окрестности точки а (d/dn означает дифференцирование вдоль нормали к dD). В случае, когда D - произвольная конечносвязная область комплексной сферы С без изолированных граничных точек, а Г - непустое замкнутое граничное подмножество dD, состоящее из конечного числа невырожденных связных компонент, функция Робена определяется с помощью конформного отображения.
Радиусом Робена области D относительно точки а и множества Г назовем величину
г(Д Г, о) = exp lim а, Г) 4 log \z - а|).
z—*а
Если множество Г = dD, то функция Робена равна функции Грина, а радиус Робена г(ДГ, а) совпадает с внутренним радиусом r(D, а).
б
В параграфе 1.3. даны краткие сведения из теории квадратичных дифференциалов на комплексной сфере.
Во второй главе изучаются задачи об экстремальном разбиении в классических и новых постановках. В параграфе 2.1. показано применение простейших вариаций для получения условий, которым необходимо должны удовлетворять экстремальные наборы областей и точек в некоторых задачах о неналегающих областях. В частности, рассмотрена следующая экстремальная задача для радиусов Робена "со свободными полюсами":
п
ПЦАь.Гьа/ьХ1 - |оА.|2) -> sup, (2.1.16)
к=1
где верхняя грань ищется по всевозможным точкам ак} областям Dk и множествам Г*, удовлетворяющим условиям: ак Є Dk С U = {z : \z\ < 1}, (idDk) HU С Г/,, с dDk, Dk П Di = 0, к ф I, к>1 = 1,... ,n, n > 2. С
применением дробно-линейной вариации вида
7 7'рІФ _
Tv(z) = ! _ —-iv = z + (z е~‘* - e'*)r + °(г), Г-> О,
г є (0,1), ip 6 К, доказана
Теорема 2.4. верхняя грань в (2.1.16) достигается для точек
п
ab lafcl < 1 ,к = I,... >п, то необходимо выполняется равенство = 0-
Аг=1
Параграф 2.2. посвящен изучению задач об экстремальном разбиении с фиксированными полюсами. Например, получен аналог известного неравенства П.П. Куфарева, где внутренние радиусы заменены на радиусы Робена г(Рк,Гк,ак), к = 1,2.
Теорема 2.5. Для любых областей Dk) мпооісеств Гк и точек ак, удовлетворяющих условиям
DlHD2 = 0, ак Є Dk С U, (dDk) HU С Г* С dDk, /с = 1,2,
справедливо неравенство
r{D\,Ti,a\)r{Di, Г2, аг) < |а2 - сц|2 [l - |(а2 - ai)/(l - аТо2)|2]-1,
где равенство для любых фиксированным точек а\ и а2 круга U достигается в том случае, если общая граница областей D\ и D2 совпадает с Г1 = Г2 и является неевклидовой прямой, ортогональной отрезку неевклидовой прямой, соединяющельу точки а\ и а2, и делящей этот отрезок пополам.
Обозначим через K(t), 0 < I < 1, круговое кольцо t < \z\ < 1, и пусть функция Т конформно и однолистно отображает кольцо K{t) на кольцо Тейхмюллера - плоскость с разрезами по некоторому отрезку [Т(1)}—1], Т(1) < —1, и по неотрицательной части вещественной оси.
Теорема 2.6. Для любых областей Dк, множеств Г*, и точек ак, удовлетворяющих условиям
Di n D2 = 0, ak е Dk С K{t)y (dDk) nK(t)c Гк С dDk, к = 1,2,
справедливо неравенство
< Чгыт-мг <2219)
Равенство в (2.2.19) достигается в случае, когда а\ <0, а2 > 0, а общая граница областей D\ и D2 совпадает с
Г.=Г2={^ K(t) : \T(z) - Г(01)| = \T{z) - Т(а2)(} .
В параграфе 2.3. исследуются задачи об экстремальном разбиении в тех случаях, когда полюса ассоциированных с ними квадратичных дифференциалов обладают некоторой степенью свободы. В качестве основных результатов этого параграфа приведем следующие теоремы.
8
Теорема 2.8. Пусть точки аь, к = 1,...,п, п ^ 2, принадлежат окружности \z\ — р, 0 < t < р < 1; области Dk, аk € Dk С К(t), /с = односвязпые и попарно пепересекающиеся; и пусть замкнутые множества Г\., С dDk, & = 1,... ,тг, такие, что с?лл каждого к мно-оюество (dDk) \ Гд- либо пусто, либо представляет собой дугу окружности \z\ = 1, А; = 1,... ,п. Тогда справедливо неравенство
ПНЛ.Г.,«) < Пг(о;,г;,4).
/г—— 1 А:—1
где ак = рехр(2тк/п), D*k = {z € Я(£) : |arg2 — 2ттк/п\ < тг/гг}, Г£ = {ге dDjJ :|г|т^1}, к = 1,... ,п, а функция Ти определяется как функция Т, но с заменой параметра I на tn.
Теорема 2.12. Пусть точки а/с = 1,...,п, (п ^ 3) таковы, что öi = —ап = 1, —1 < а* < 1, к = 2, ...,n— 1; области Dk, аь € Дь С С, /с = 1,... ,п, попарно не пересекаются. Тогда справедливо неравенство
«Ti (^т)
Равенство достигается для областей Dk, на которые плоскость С разбивается Кривыми Z = COS ~2^Z^Ch(i) 4- i sin *2w-2^'Sk(^)» ^ ^ [—oc, +oo], l = 1,... ,тг — 1, и точек dk = cos /с = 1,..., n.
Обозначим регулярную часть функции Грина области D через hn(z, С) = Qd(z, С) "И°ё \z “ Cl- Тогда для точек а € D lo gr(D, а) = /ip(a, а). Рассмот-рим симметрическую разность
Я( Д 2:, С) = hD(z, z) + MC С) “ 2hD(z, С),
а также предел
K(Dya,ip) := lim Я(Д а — ре1(р,а + ре1Ч>)/р‘2, р 6 R.
47Г р—‘О
9
Теорема 2.13. Для любых точек ак} к — 1 , ...,п, принадлежащих интервалу (—1,1), любых попарно неналегающих одпосвязных областей О*, ак € Иь С С \ {-1, 1}, А; = 1,... ,71, справедливо неравенство:
В параграфах 2.4. и 2.5. изучаются величины, инвариантные относительно группы дробно-линейных автоморфизмов комплексной сферы. Пусть В - открытое множество комплексной сферы С, и пусть А = {а*:}£=1 - совокупность различных точек множества В. В работах В.Н. Дубинина и его учеников были введены и изучены различные модификации приведенного модуля М(В,А, Д, Ф) множества В относительно совокупности А и некоторых наборов параметров Д и Ф [32, 33, 43, 47). Если дополнение множества В имеет положительную гармоническую меру, то справедлива формула:
где г(В, ак) означает внутренний радиус связной компоненты множества В, содержащей точку ак, относительно этой точки, а дв{г, С) - функция Грина связной компоненты В, содержащей точку С, с полюсом в этой точке. Как обычно считаем £в(г>С) = 0 вне указанной компоненты.
Равенство достигается для областей Бк} на которые плоскость С раз-
бивается кривыми г = со5-^“сЬ(^ + г эт I 6 [—оо, +оо],
I = 1,... ,?г + 1, и точек ак = соэ 1\ к — 1,... ,71.
М(В. А) = М(В: Л, {1,..., 1}, {г,... ,г}) =
10
Рассмотрим следующие мебиусовы инварианты
п' \ак -
ЛВ,А) = ЄХР{*Г2-{В'А)}
і &п+і — от, ^ ^ 2
П kfc-ajt4.il
Л=1.
где штрих у произведения означает, что если одна из точек а* является оо, то под соответствующим сомножителем понимается единица. При п = 2 и п = 3 данные величины совпадают. В случае, когда множество В является объединением попарно непересекающихся областей £)*, ак € к =
1,,п, инвариант
изучался многими авторами (см. монографии [17, 39], обзоры [32, 72, 73], а также работы [20, 69, 92]). Инвариант і/(.В,Л),7і ^ 4, отличается от 1(В, А) на произведение степеней модулей ангармонических отношений точек из совокупности А и ранее не встречался.
Условимся говорить, ЧТО открытое множество В отделяет точку ак <Е А от точки сц Є Л, если указанные точки принадлежат различным связным компонентам множества В. Следующая теорема дополняет результат Г.В. Кузьминой об оценке инварианта Ц [69] (см. также [73, с. 25]).
Теорема 2.16. Пусть А = {ак}1=\ ~ совокупность различных точек комплексной сферы С, и пусть множество В отделяет точки аі,а2 от точек аз и а*. Тогда
1{В,А) — /„ = г(Д*,а*) ) П |ак - а,!2«1-")
1{В,А) < |(аьоз,04,а2)|8/3|(аз,а4,аьа2)|4/3, (2.4.35)
11
где (•,*,•,•) - ангармоническое отношение четырех точек. Равенство в (2.4.35) достигается в случае, когда множество В ограничено кривыми, заданными уравнением
|(z - ai)(z - а2)| = |(z - a-d){z - аЛ)\.
Следствие 2.2. Пусть точки совокупности А = {а*}4=1 расположены па единичной окружности \z\ = 1 в положительном направлении обхода в порядке возрастания индекса, и пусть множество В отделяет точки öj, аз от точек а2 и а4. Тогда справедливы неравенства
J(5,A)< 1/4.
Равенство в каждом случае достигается при ак = ехр(г(0 + пк/2)): к =
1,...,4, и В = {z G С \ {0} : arg г4 ^ 4 в + 7г}, где в - произвольная вещественная постоянная.
Ввиду неравенства Шура
П к - а,|2/3 < 44/3.
1^к<К4
Поэтому первое неравенство следствия 2.2. является усилением теоремы Г.П. Бахтиной (см. теорему 2.17 работы [32] в случае п = 4 и комментарии к ней).
В случае, когда множество В является объединением попарно непересе-кающихся областей Dа* Е Dк = 1,...,4, оценка следствия 2.2. для инварианта J4 верна для любых различных точек плоскости С, а именно справедлива теорема.
Теорема 2.19. Пусть односвязные области Dk С С, к = 1,...,4, такие, что Dk П А = 0 для всех к ф I, к, I = 1,..., 4; точки а^. Е Dk, & =
- Київ+380960830922