Оглавление
Введение 4
1 Представление решений уравнения Бюргерса в Еп 18
1.1 Задачи Коши для уравнений Бюргерса и теплопроводности вГ.................................................... 18
1.2 Представление решений задачи Коши для уравнения Бюргерса с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца ... 20
2 Уравнение Бюргерса и уравнение теплопроводности относительно мер на бесконечномерном пространстве 27
2.1 Меры в оснащенных гильбертовых пространствах и формулы дифференцирования..................................... 27
2.2 Бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула . . 32
2.3 Пример использования бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула................................... 39
2.4 Представление решения задачи Коши для уравнения теплопроводности относительно мер с помощью функциональных интегралов ................................................... 40
3 Уравнения Бюргерса на многообразии 45
3.1 Определения уравнений Бюргерса на многообразии....... 45
3.2 Аналог преобразования Хопфа-Коула на многообразии ... 50
2
3.3 Стохастические уравнение Бюргерса с внешними силами и уравнение Колмогорова-Петровского--Пискунова.................. 58
3.4 Примеры многообразий, где имеет место аналог преобразования Хопфа-Коула............................................. 60
Заключение 65
Список литературы 67
Список работ автора по теме диссертации 71
3
Введение
Целью работы является применение методов бесконечномерного анализа, прежде всего функционального интегрирования, для исследования уравнений типа Бюргерса в различных пространствах.
В диссертации получены формула Фейнмана и формула Фейнмана-Каца для уравнения Бюргерса с внешней силой в конечномерном пространстве. Описана связь решений задач Коши для уравнения Бюргерса в бесконечномерном пространстве (оснащенном гильбертовом пространстве) и уравнения теплопроводности относительно мер в том же пространстве. В работе также получена формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности с потенциалом относительно мер на оснащенном гильбертовом пространстве. Кроме этого, в диссертации описано уравнение Бюргерса на римановом многообразии и показано, что аналог преобразования Хопфа-Коула на некотором классе многообразий связывает решения задач Коши для уравнения Бюргерса и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова. Подобные результаты получены также для стохастических версий введенных уравнения Бюргерса с внешней силой и уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова на многообразиях.
Уравнением Бюргерса называется уравнение
относительно функции / : М х X —> X, где X — (сепарабельное) гильбертово пространство размерности п Є 1,2,3,..., ос. Предполагается, что
4
Уравнение Бюргерса [4], [9] используется в акустике, гидродинамике и космологии для моделирования ударных воли, распространяющихся в сплошной среде. Оно используется как модельное для уравнений пограничного слоя и уравнений Навье-Стокса. Для численного решения уравнения Бюргерса разработаны различные разностные методы в труде Д. Андерсона, Дж. Таннехилла и Р. Плетчера [22]. В последнее время появилось значительное количество математических работ, посвященных исследованию свойств уравнения Бюргерса и его стохастического аналога (см. [б], [2], [1], [3] и имеющиеся там ссылки).
В уравнении Бюргерса переменная £ играет роль времени и будег в работе называться ’’переменной времени” или просто ’’временем”. Неизвестная функция в уравнении имеет смысл поля скоростей сплошной среды, в левой части уравнения Бюргерса представлена ее ’’конвективная” производная, имеющая смысл ускорения частицы сплошной среды.
В трехмерном пространстве (то есть в случае X = К3) уравнение Бюргерса представляет собой систему уравнений, отличающуюся от соответствующих уравнений системы Навье-Стокса отсутствием в правой части члена, зависящего от давления р. Часто в уравнениях Навье-Стокса, как и в уравнении Бюргерса. предполагают наличие внешней силы ^ : М х К3 —> М3:
% + (/, V/) = -А/ - ^гас1р + Я
оъ р р
где р — плотность среды, а р, — сс вязкость. Для полноты с уравнениями Навье -Стокса рассматривают уравнение неразрывности сНу г? = 0.
Вопросы существования решений и их построения для уравнения Бюргерса рассматриваются Я. И. Белопольской. В ес работе [1] построено вероятностное представление обобщенного решения задачи Коши для нелинейных параболических уравнений типа Бюргерса.
Хорошо известно преобразование /(£, /и{Ь, х),
/ : М х К -> Е, связывающее уравнение Бюргерса и уравнение теплопро-
5
водности. Это преобразование — преобразование Хопфа-Коула [9], а соответствующее уравнение теплопроводности для и(Ь}х) : 1 х I -> 1 имеет вид:
<9гг(£, х) 1 д2г*(£, х)
дЬ 2 дх2
Аналогичное преобразование имеет место в п-мерном пространстве:
х _ кга<1 и J и
Введенный в диссертации бесконечномерный аналог преобразования Хопфа-Коула переводит бесконечномерное уравнение Бюргерса в уравнение теплопроводности относительно мер.
Теория дифференцируемых мер была заложена свыше 40 лет назад
С. В. Фоминым [39] (смотри также [21]). Последующее развитие этой теории обсуждается в работах [36], |25], [15], [24]. Одним из центральных понятий теории дифференцируемых мер является понятие логарифмической производной меры, впервые введенной в работе [21]. Именно это понятие существенно используется для построения бесконечномерного аналога преобразования Хопфа-Коула.
В диссертации получены представления решений задачи Коши для уравнений Бюргерса с внешней силой с помощью формул Фейнмана и Фейнмана-Каца.
В работе X. Воснакрика и Ф. Зена [20] формула Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности и преобразование Хопфа-Коула использовались для вычисления точного решения некоторых частных случаев уравнения Бюргерса,
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням фазового пространства, когда степень стремится к бесконечности [14]. Формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям.
Фактически формулы Фейнмана и формула Фейнмана-Каца появились
6
- Київ+380960830922