Оглавление
Введение 2
Глава 1. Необходимое условие полноты системы экспонент в
пространствах Со и Ьр(Ч+)1 р > 2. 11
1. Вспомогательные утверждения. 11
2. Необходимое условие полноты. 13
Глава 2. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах. 31
1. Вспомогательные утверждения. 31
2. Необходимое условие полноты системы экспонент в весовых
пространствах. 34
Глава 3. Описание нулей функции класса А00 в полуплоскости через их
проекции на мнимую ось. 46
Литература 70
сс/
1
Введение
Работа посвящена исследованию полноты систем экспонент в различных функциональных пространствах на полупрямой.
Известная теорема Вейерштрасса о плотности в пространствах £?(0,1) и С[0,1] алгебраических полиномов может- быть переформулирована как утверждение о полноте системы степеней {хп : п = 0,1,...} в соответствующих пространствах.
В 1914 г. Мюнц рассмотрел более общую систему
{®Дя}п€П» (!)
рп ЕШ и нашел условие ее полноты в пространствах Ь2( 0,1) (когда —1/2 < < /XI <• /х2 < ..., -> +оо) и
СЬ[0,1] = {/ € С[0,1] : /(0) = 0}
(когда 0 < < Д2 < •••)• В своей работе [16] (см. также [1]) Мюнц доказал,
что в случае пространства Со[0,1] полнота имеет место тогда и только тогда, когда
1
— = оо.
Мп
Появление пространства Со[0,1] вместо (7[0,1] вызвано тем, что в данном
случае все функции системы (1) обращаются в 0 в точке х = 0; можно за-
менить Со на С, присоединив к системе (1) функцию, тождественно равную единице.
Исли ограничиться выше указанными требованиями к последовательности {/х„}, то для пространств и С0 теорема Мюнца обладает полной завершенностью. Однако, вполне естественно рассмотреть не только произвольные вещественные, но и комплексные показатели, а также всю шкалу пространств 1^(0,1), накладывая на показатели степеней в начале лишь условие принадлежности всех функций системы (1) пространствам Ц* и Со- Очевидно, эти условия таковы:
11о/хп > — 1/р, хРп е Ьр,
Ке/1п > 0, хрп е С0.
Именно эту общую ситуацию при р = 2 рассмотрел Сас [22] (см. также [1]), доказавший, что если И.е/хп > —1/2, то система (1) полна в Ь2(0,1) тогда и
только тогда, когда
Repn + 1/2
Задача описания полных систем (1) в пространствах
27(0,1), 1 < р < оо
и Сч)[0,1] (идущая от теорем Мюнца и Саса) может быть переформулирована (замена х = ехр(—£)) как задача описания полных систем из экспонент
в пространствах 27 = 27(0, +оо) и Со — пространстве непрерывных па [0, оо) функций с sup-нормой, для которых
lim f(x) = 0.
По видимому переформулировка в таком явном виде впервые появилась в [18] в книге Пэли и Випера. Начиная с этого момента будем иметь дело только с системой (2). Преимущество такой постановки задачи объясняется возможностью применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом мы вынуждены и ограничиться показателями р ^ 1.
Развитию данной тематики способствовали работы Р. Пэли и Н. Винера,
Н. Левинсона, Л. Шварца и других математиков.
Отправной точкой в нашем изложении будет условие
Верна следующая теорема (см. [19])
ТЕОРЕМА А. Условие (3) достаточно для полноты системы (2) в 27, р ^ 2 и в Со, и необходимо для ее полноты в Lp, 1 ^ р ^ 2.
Б частности, система (2) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3).
Утверждение данной теоремы при р = 2 — это теорема Саса [22], переформулированная для системы (2). Условие (3) при 1 ^ р < 2 не является достаточным (М. Грам, [13], [14]), а в случае пространства Cq не является необходимым (А. Зигель. [21]). Вопрос о необходимости условия (3) при р > 2 открыт.
Глава 1. В связи с результатом Зигеля возникает вопрос о необходимых условий полноты системы (2) в пространстве Cq. Первым содержательным результатом в этом направлении является необходимое условие Саса [22] (см.
{е-л"Ъ„еЛ, Л = {А„ Є С : ReA„ > 0}.
(2)
Z-»-fOO
ОО
то „ \
(3)
также [18], [7, §10.2]), которое, на самом деле, предшествует результату Зигеля
В работе [21] А. Зигелю удалось улучшить результат. Им было найдено следующее необходимое условие
Более тонкое необходимое условие было получено Н.Левинсоном [15]. А именно
Теорема В. Пусть 0(х) — положительная, неубывающая при х ^ 0 функция с условием
Необходимое условие Теоремы В является более содержательным, чем необходимое условие Саса (4) в том случае, когда единственной предельной точкой последовательности А является бесконечно удаленная точка. (Если последовательность А ограничена, то это условие в сущности ничем не отличается от условия (4)). Теорема В была распространена А.М. Седлецким (см. [7, §10.2]) на случай конечного числа предельных точек последовательности А на мнимой оси, одна из которых, возможно, совпадает с бесконечностью. А именно, если последовательность
А — {Ап,оо АП)00 > ос, 71 * оо}п=1,
а в(х) — неотрицательная, неубывающая при х ^ 0 функция, удовлетворяющая условию (5), то из полноты системы {е_Ап*}л ?л в Со и Ц3, р > 2 следует,
(4)
0 < а < 1.
00
(5)
Если система (2) полна в Cq и 1Р, р > 2, то
А = {Хп : ReAn > 0}
имеет вид
А = Л00 U A1 U ... U Лт,
где
= {А: Ariifc -» І7Аг, п -> 00,7* є Щ
что
V2' Re An>(X) + ехрМаЛп,«!))
n=l
m
1 + |An,
+ lr?(R*v‘ + “p("e(tvbs
= oo.
В данной работе продолжается отыскание необходимого условия полноты системы (2) в пространствах IS, р > 2 и (?о. Как видим, все сформулированные необходимые условия содержательны в случае не более чем конечного множества предельных точек последовательности Л на мнимой оси. Естественно, представляет интерес вопрос о необходимом условии (столь же содержательном) для множества предельных точек большей мощности.
В главе 1 рассмотрен случай, когда множество предельных точек последовательности Л на мнимой оси счетно. Доказана следующая
ТЕОРЕМА. Пусть последовательность Л = {An : ReAn > 0} имеет вид
л = л1 и л2 и... и д* и,
где Ак = и Anifc —* 17*, п —► оо, а 7* € К такие, что
inf |7„ - 7т | = р > 0.
nt-m
Пусть 0(х) — неотрицательная, неубывающая при х ^ 0 функция, удовлетворяющая условию (5). Тогда, если система {е~Л"*}Л €Л полна в Со и IS, р > 2, то для любой неотрицательной последовательности а* € /1 верно
Формально, в случае конечного к сформулированная теорема содержится в упомянутом результате А.М. Седлецкого. При доказательстве данной теоремы модифицирован метод Левинсона доказательства Теоремы В.
В Главе 2 речь идет о полноте системы (2) в весовых пространствах на полупрямой.
Пусть w(t) — вес на Ж+ (то есть измеримая по Лебегу, почти всюду положительная функция наЕ'ь). Через обозначаем пространство измеримых (относительно меры w(t)dt) на функций с нормой
Up
= оо, (6)
ii/iuo = (/ m\Mt)dt
V+
, 1 ^ р < оо.
К настоящему моменту наиболее изученным (с точки зрения полноты) является случай степенного веса: -ш(£) = <а, а > —1 (см. [7]). Так, известно
о
- Київ+380960830922