-2-
• Оглавление
Основные обозначения, используемые в работе...................3
Введение......................................................5
§1. Вспомогательные результаты...................................21
1.1. Леммы об оценке норм резольвент операторов А и Ао 21
1.2. Лемма о максимальной функции............................24
1.3. Леммы о подпространствах................................26
1.4. Лемма из теории целых функций...........................29
1.5. Геометрическая лемма....................................30
1.6. Лемма о базисности Рисса................................32
§2. Случай р(1 - #) > 1. Базисность Бари и скорость сходимости
• рядов со скобками. Асимптотика собственных значений..........33
2.1. Построение системы концентрических окружностей..........33
2.2. Теорема о базисности Бари со скобками ..................36
2.3. Оценка скорости сходимости разности рядов...............43
2.4. Асимптотика модулей собственных значений
оператора А...............................................45
§3. Случай 1/2 < р(1 — д)<1. Безусловная базисность и
суммирование по Абелю........................................48
3.1. Лемма о дискретности спектра оператора А................48
3.2. Оценка норм резольвент операторов А и Ао вблизи
Ф спектра...................................................51
3.3. Подготовка к делению угла Ла+г..........................58
3.4. Построение системы контуров в случае р( 1 — #) = 1.....60
3.5. Построение системы контуров в случае р(1 — #) < 1....69
3.6. Теорема о суммируемости методом Абеля...................86
3.7. Теорема о безусловной базисности........................90
§4. Приложения к эллиптическим псевдодифференциальным
операторам на замкнутом многообразии........................100
Литература..................................................104
-3-
Основные обозначения, используемые в работе
Я — сепарабельное гильбертово пространство.
Ао — нормальный замкнутый оператор с дискретным спектром.
Ai — оператор, подчиненный оператору Aq в смысле порядка.
<т(А), Aj(A), Da —спектр, собственное значение и область определения оператора А.
р — порядок роста модулей собственных значений оператора Ао.
q — порядок подчинения оператора А і оператору Ао.
Щ, 01/ — подпространства в Я (линейные оболочки некоторых систем векторов).
Р[, Qi — проекторы Рисса операторов А и Ао •
, Ti — положительно ориентированные контуры на комплексной плоскости.
р — константа, определяющая частоту разбиения положительной полуоси на полуинтервалы.
А/ = [/Р7\ (/ А \ )PV) — полуинтервал.
|А| — оператор, являющийся модулем оператора А.
р(0 — линии (окружности или ломаные), делящие комплексную плоскость на непересекающиеся области.
Яд (А) = (А - XI)'"1 — резольвента оператора А в точке А.
O(x. R) — круг радиуса R с центром в точке х.
ІЇ6' = Uj 0(Aj(Ao), 6(1 + ä')l*iC4o)|9) — объединение кругов, проведенных вокруг собственных значений оператора Aq (6' ^ 0).
Ка = {А € € : |А| Є (р - öbf, р + 6Ьрг)}, W& — {А б С : |А| € А}
— кольцевые области на комплексной плоскости (g<r<l,^€R+> 5 > 0, А — интервал).
.я/(в) — множество операторов, корневые векторы которых образуют
- 4 -
систему для суммирования методом Абеля со скобками порядка ß.
M — замкнутое многообразие класса С°° .
Фр^(М) — класс полиоднородных псев до дифференциальных операторов на М порядка т.
HS{M) — соболевское пространство на многообразии М. до — положительная <7-аддитивная мера в IR71.
(Мр.$)(х) — максимальная функция меры до • т(А') — мера Лебега множества X,
Хл (А) — корневое подпространств оператора А, отвечающее собственному значению Л.
Hi + #2 (Hi 0 #2) — прямая сумма двух (ортогональных) подпространств в Н.
$[Д] — длина интервала (полуинтервала, отрезка) Д.
N[A] — число собственных значений оператора Ао, модули которых лежат на Д.
NAq(Л) — число собственных значений оператора Ао, по модулю не превосходящих Л.
— прямая сумма корневых подпространств оператора А, отвечающих собственным значениям, лежащим внутри кольца с границей .
Л0+£ = {Л € С : |arg Л| < а + є} — угол раствора 2(а + є) с вершиной в начале координат.
Г* = {Л Є С : |arg Л| = ±(а 0 є)}, Г = Г+ U Г7 — границы угла Ла+е. S(X) — площадь области X.
Е(х) — целая часть числа х.
ш
0
- 5 -
Введение
1. Диссертация посвящена главным образом свойствам базисно с ти {в обобщенном смысле) систем корневых векторов операторов, близких к нормальным операторам.
Пусть Я — комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Мы рассматриваем действующий в Я оператор
А = Aq 4* Л\, (0.1)
где А0 — нормальный (неограниченный) замкнутый оператор с дискретным спектром <т(Ао) = расположенным в угле {А 6
€ : |arg А| < а ^ л}. При а = тг угол 3? совпадает со всей комплексной плоскостью и здесь нет никаких предположений. При а < п число а будет учитываться в формулировках. Собственные значения Аj = А;(А0) оператора Ао занумерованы в порядке неубывания модулей с учетом кратностей. Мы предполагаем, что, по крайней мере,
|Aj(A0)| ^ ajp (0.2)
при некоторых положительных аир. Если для простоты предположить, что оператор Aq обратим, то условие (0.2) эквивалентно условию *) < Cj~v, так как s-числа Sj(Aü1) нормального компакт-
ного оператора Aq 1 совпадают с модулями его собственных значений. Оператор Ai будем предполагать имеющим порядок q < 1 относительно Ао (не нарушая общности, можно считать, что 0 не является собственным значением оператора Ао):
||А1Ао,?|КЬ<^. (0.3)
При q > 0 здесь подразумевается, что Ai — замкнутый оператор и для областей определения операторов Ai и Aq имеет место включение Dд, Э DA9. Отсюда, в частности, следует, что DA = DAo.
Степень нормального оператора Ао легко определить следующим образом. Пусть — ортонормированный базис из собственных
-6-
векторов оператора Ао: Аое3- = Тогда, если / = /іеі» то
^о/ = Е^і /Д'е,- ($ € К), причем, если 5 > 0, то область определения Д4» состоит из тех /, для которых последний ряд сходится в #.
Ниже будет показано, что при выполнении хотя бы одного из условий
а < к (0.4)
или
р(1 - я) > \ (0.5)
оператор А также имеет дискретный спектр.
Задача нахождения признаков различных видов базисности системы корневых векторов оператора А является обобщением аналогичной задачи в случае оператора Ао, являющегося самосопряженным или нормальным оператором со спектром на конечном числе лучей. Последней задачей занимались В. Б. Лидский [20-22], А. С. Маркус [23], В. А. Кац-нельсон [14, 15], М. С. Агранович [1], А. С. Маркус и В. И. Мацаев [26]. Некоторые результаты этих работ будут сформулированы ниже. Но сначала мы кратко опишем основные результаты диссертации.
Ниже мы напомним понятия суммируемости методом Абеля, безусловной базисности со скобками и базисности Бари со скобками. Эти
свойства систем векторов в гильбертовом пространстве являются последовательно усиливающими друг друга. Мы рассматриваем полную минимальную систему корневых векторов оператора А и устанавливаем достаточные условия для различных видов базисности со скобками. При достаточной близости оператора А к нормальному получены также теорема о скорости сходимости рядов Фурье со скобками по корневым векторам оператора А и теорема об асимптотике спектра оператора А.
В работе приводятся приложения этих результатов к эллиптическим операторам на замкнутом многообразии.
2. Приведем теперь определения базисности со скобками Бари, Рис-са и Абеля.
- 7 -
Пусть — некоторая минимальная система векторов в Я, т. е.
ни один из векторов /і не содержится в замыкании линейной оболочки остальных векторов /і1, /«*+1 >* • ♦ • Обозначим через 9Л/ линейную оболочку векторов /т,+і,..., /т,+, і где — некоторая воз-
растающая последовательность целых неотрицательных чисел, ті = 0.
Система векторов {/,•} называется полной в пространстве Я, если замыкание линейной оболочки этих векторов совпадает с Я. Последовательность подпространств {9Иі}і° называется полной, если замыкание линейной оболочки всех подпространств совпадает с Я. Это равносильно полноте системы векторов {//}. Последовательность называется базисом из подпространств, если любой вектор / из Я однозначно представим в виде
ос
1=1
где для любого / вектор д\ лежит в Щ. Последовательным усилением свойства базисности из подпространств являются свойства базисности Рисса из подпространств и базисности Бари из подпространств.
Пусть — ортонормированный базис в Я, а 91/ — линейная
оболочка векторов ет,+і,..., еті+1.
Если существует такой ограниченный оператор Я в Я, имеющий ограниченный обратный, что 9Я/ = Я9І/ при всех /, то говорят, что {ШТ/}^ — базис Рисса из подпространств или безусловный базис из подпространств в Я. Система {/,•} называется тогда безусловным базисом со скобками в Я. В этом случае, в частности, для любого вектора / из Я
оо ті+1
/ = (°-6) /=1 І=ГП| + 1
где Су = (/,£/)> {ду}і° — биортогональная к системе система
векторов в Я, и порядок слагаемых в сумме по / можно произвольно менять. Это теорема Гельфанда (см. теорему 5.1, глава 6 из [9]). Существование системы {ду} следует из минимальности системы {/?}.
рії= Е сл-
(0.7)
І = 77їі+1
Это проектор на подпространство 9Л* .
Пусть (іі — ортопроектор на %.
Предположим, что система полна и сходится ряд
оо
(0.8)
Доказывается (это результат А. С. Маркуса), что тогда это безусловный базис со скобками (см., например, [9, гл. VI, теорема 5.2]). Принято называть его в этом случае базисом Бари со скобками в Я. Система {Ф?/} называется тогда базисом Бари из подпространств.
Введем проекторы Рисса для операторов А и Ао .
Пусть — последовательность простых замкнутых контуров
на комплексной плоскости с выбранным на каждом контуре положительным направлением обхода. Обозначим через Сії ограниченную область с границей ^. Пусть эти области попарно не пересекаются и их объединение содержит все собственные значения оператора А. Проектором Рисса оператора А, отвечающим контуру 5Г[, называется оператор
где Яд (Л) = (А - Л/)“1 — резольвента оператора А в точке Л. Аналогично определяются проекторы Рисса С}і для оператора А0.
Как легко видеть, проекторы Рисса для операторов А и Ао совпадают соответственно с проекторами Р{ и <2/ для систем собственных и присоединенных (для А) векторов операторов А и Ао (поэтому мы обозначили проекторы Рисса теми же буквами Р( и (}і). Подпространства ОТТ/, Лі в этом случае натягиваются на собственные и присоединенные векторы операторов А и Ао, отвечающие некоторым группам
(0.9)
- Київ+380960830922